2023年辽宁省阜新市中考数学真题卷（含答案与解析）

辽宁阜新市2023年初中学业水平考试数学辽宁阜新市2023年初中学业水平考试数学本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟.A2B.-2C.--22.如图所示的几何体是由5个大小相同的立方块搭成的，它的左视图是(注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分.在每一个小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1.一2的相反数是()A.5+(-6)=-!B.±=龙C.3x(-2)=6D.sin30°=—4.某中学甲、乙两支国旗护卫队的队员身高(单位：cm)数据如下:若要判断哪支护卫队队员身高更为整齐,应该比较两组数据的()A.平均数B.众数C.中位数D.方差精神”的概率是()A.y5精神”的概率是()A.y5某.中学举办“传承红色精神，讲好阜新故事”演讲比赛，共设置“海州矿精神”“三沟精神”“治沙精神”三个主题，每位选手随机选取一个主题参赛.如果小明和小宇都参加比赛，他们同时选中主题“海州矿A.x<3B.x>37.如图，A,B,C是O。上的三点，若ZAOC=90°,B.25°C.40°D.50°8.近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动.某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元.设该款汽车这两月售价的月均下降率是X,则所列方程正确的是()A.16(1+x)2=23B.23(1-x)2=16C.23-23(1-x)2=16D.23(1—2x)2=169.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点为（3,0）,对称轴是直线工=1,下列结论正确ZACB=25°,则NBOC的度数是()6.不等式x+8<4x-l的解集是()x<-3D.x>--3B.2。+人=0C.4ac>b2D.点（-2,0）在函数图象E13.如图，13.如图，与SEF是位似图形，位似比为2:3,则与好尸的面积比为10.如图，四边形OABC.是正方形，曲线GGGGG叫作“正方形的渐开线”，其中GG，GG，C3C4，C4C5,...的圆心依次按o,a,b,G循环.当qa=i时，点C2023的坐标是()A.(-1,-2022)B.(-2023,1)C.(-1,-2023)D.(2022,0)二、填空题(本题共6个小题，每小题3分，共18分)11.计算：扼+(-2)°=.12.将一个三角尺(4=30。)按如图所示的位置摆放，直线a//b.若ZABD=20°,则Za的度数是16德.力格尔草原位于彰武县境内，以草场资源丰富，景色优美著称.今年16德.力格尔草原位于彰武县境内，以草场资源丰富，景色优美著称.今年5月在此举办的“漠上草原欢乐跑”首届马拉松比赛，吸引了千余名国内外选手参加.甲、乙两名选手同时参加了往返10饥（单程的业余组比赛，如果全程保持匀速，甲、乙之间的距离s（Am）与甲所用的时间（h）之间的函数关系如图所示，那么当甲到达终点时，乙距离终点km.点H,则线段的长是•14.正比例函数y=x的图象与反比例函数=2的图象相交于A,B两点,过点A作AC__Lx轴，垂足为x点C,连接则的面积是.15.如图，在矩形ABCD中，A8=6,AD=8.连接AC,在AC和ADh分别截取AE,AF,使AE=AF.分别以点E和点F为圆心，以大于上欣的长为半径作弧，两弧交于点G.作射线AG交CD于2三、解答题（本题共8个小题，17、18题每题6分，19、20题每题8分，21、22题每题10分，23、24题每题12分，共72分）17.先化简，再求值二+其中。=右18.某中学数学兴趣小组的同学们，对函数y=a\x-b\+c（a,b,c是常数，〃壬0）的性质进行了初步探究，部分过程如下，请你将其补充完整.口1）当a=l,人=。=0时，即y=|』，当x>0时，函数化简为）=工；当xvO时，函数化简为）=（2口当。=2,（2口当。=2,b=l,c=0时，即y=2|x-l|.①该函数自变量x和函数值y的若干组对应值如下表:其中用=②在图1所示的平面直角坐标系内画出函数y=2\x-\\的图象.（3口当a=-2,b=\,c=2时，即y=-2|x-l|+2.①当x21时，函数化简为卜=.②在图2所示的平面直角坐标系内画出函数y=-2|x-l|+2的图象.（4口请写出函数y=a\x-k\-^-c（sb,。是常数，〃。0口的一条性质：.（若所列性质多于一条，则仅以第一条为准）19.如图，是。。的直径，点C,。是O。上A8异侧的两点，DELCB,交CB的延长线于点£,且BD平分NABE.（1口求证：OE是。。的切线.数人（2）数人（2）若ZABC=60°,AB=4，求图中阴影部分的面积.20.端午节是中华民族的传统节日，节日里吃粽子是传统习俗.为了了解附近居民对人（肉粽子3（蛋黄粽子）.C（红枣粽子。（葡萄干粽子）四种口味粽子的喜爱情况，某商场随机抽取了某小区的部分居民进行问卷调查（每人只能选一种口味并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.请根据图中提供信息，解答下列问题：（1）参加此次问卷调查的居民共有人.（2）通过计算将条形统计图补充完整.（3）若该小区共有2000名居民，请估计喜爱A（肉粽子）的居民约有多少人.21.如图，小颖家所在居民楼高为46m,从楼顶A处测得另一座大厦顶部C的仰角。是45。，而大厦底部。的俯角乃是37。.BD（1）求两楼之间的距离.（2）求大厦高度CD.（结果精确到0.1m.参考数据：sin37°«0.6,cos37°®0.8,tan37°®0.75）22.为了进一步丰富校园文体活动，某中学准备一次性购买若干个足球和排球，用480元购买足球的数量和用390元购买排球的数量相同，己知足球的单价比排球的单价多15元.(1)求：足球和排球的单价各是多少元？(2)根据学校实际情况，需一次性购买足球和排球共100个，但要求其总费用不超过7550元，那么学校最多可以购买多少个足球？23.如图，在正方形A8CQ中，线段CD绕点C逆时针旋转到CE处，旋转角为。，点F在直线DE上,且AD=AF,连接听.(1)如图1,当0°<«<90°时，①求Z.BAF的大小(用含a的式子表示).②求证：EF=41BF•(2)如图2,取线段EF的中点G,连接AG,已知AB=2,请直接写出在线段CE旋转过程中(0°<a<360°)ΔAZX7面积的最大值.24.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx-c的图象与工轴交于点A(-3,0)和点3(1,0),与y(1)求这个二次函数表达式.(2)如图1,二次函数图象的对称轴与直线AC:y=x+3交于点D,若点M是直线AC上方一个动点，求&/皿面积的最大值.(3)如图2,点/>是直线AC上的一个动点，过点〜的直线/与平行，则在直线/上是否存在点Q,使点8与点〜关于直线使点8与点〜关于直线G2对称？若存在，请直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分.在每一个小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1.-2的相反数是（)A.2B.-2号D.|【解析】【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的数是相反数，即可进行解答.【详解】解：一2的相反数是2,故选：A.【点睛】本题主要考查了求相反数，解题的关键是掌握相反数的定义：只有符号不同的数是相反数.2.如图所示的几何体是由5个大小相同的立方块搭成的，它的左视图是()正面【解析】【分析】根据左视图是从左面看到的图形判定则可.【详解】解：从左边看，该几何体有2层，从上到下，第一层有1个正方形，第2层有2个正方形，故选：C.【点睛】本题考查简单组合体的三视图，找到从左面看所得到的图形即可，注意所有看到的棱都应表现在左视图中.3.在下列计算中，正确的是()【分析】根据有理数的混合运算法则、分母有理化及特殊角的三角函数值进行计算即可.【详解】解：A、5+(-6)=-1,正确，本选项符合题意；B、-4==—»原计算错误，木选项不符合题意；722C、3x(—2)=-6,原计算错误，本选项不符合题意；D、sin30°=1,原计算错误，本选项不符合题意.故选：A.【点睛】本题考查的是分母有理化及有理数的混合运算、特殊角的三角函数值，熟知以上知识是解题的关4.某中学甲、乙两支国旗护卫队的队员身高(单位：cm)数据如下：若要判断哪支护卫队队员身高更为整齐，应该比较两组数据的()A,平均数B.众数C.中位数D.方差【分析】根据方差的意义求解即可.【详解】解：若要判断哪支护卫队队员身高更为整齐，应该比较两组数据的方差.故选：D.【点睛】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好.5.某中学举办“传承红色精神，讲好阜新故事”演讲比赛，共设置“海州矿精神”“三沟精神”“治沙精神”三个主题，每位选手随机选取一个主题参赛.如果小明和小宇都参加比赛，他们同时选中主题“海州矿精神”的概率是()A5+(-6)=一1B.-^=>/2C.3x(-2)=6D.sin3°o=手故选：D.【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出〃，再从中选出符合事件人或B的结果数目川，然后根据概率公式计算事件故选：D.【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出〃，再从中选出符合事件人或B的结果数目川，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率.6.不等式x+8<4x一1的解集是()A.x<3B.x>3C.x<—3D.x>--3共有9种等可能的结果，其中他们同时选中主题“海州矿精神”的结果数为1,所以他们同时选中主题“海州矿精神”的概率=1.9【分析】先移项合并同类项，然后再将未知数的系数化为1即可.【详解】解：x+8v4jv-1,移项，合并同类项得：-3x<-9,未知数系数化为1得：x>3,故B正确.故选：B.【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式的-•般步骤，准确7.如图，A,B,C是。。上的三点，若ZAOC=90°,ZACB=25°,则NBOC的度数是()【分析】用1、2、3分别表示“海州矿精神”“三沟精神”“治沙精神”三个主题，画树数状图展示所有9种等可能结果，再找出他们同时选中主题“海州矿精神”的结果数，然后根据概率公式计算.【详解】解：用1、2、3分别表示“海州矿精神”“三沟精神”“治沙精神”三个主题,画树数状图为:A.yC.—6*cA.*cA.20°B.25°【解析】【分析】先利用圆周角定理求出ZAOB=50°,然后利用角的和差关系进行计算，即可解答.【详解】解：.ZACB=25。，ZAOB=2ZACB=50°,°,故选：C.【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关铤.8.近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动.某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元.设该款汽车这两月售价的月均下降率是x,则所列方程正确的是()【解析】【分析】设该款汽车这两月售价的月均下降率是》，根据“今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元"即可列出方程.【详解】解：设该款汽车这两月售价的月均下降率是x,由题意可得故选：B【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找到等量关系，正确列出方程是解题的关键.9.如图，二次函数y=ax2+bx^-c的图象与x轴的一个交点为（3,0对称轴是直线尤=1,下列结论正确【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得出，。、久c的正负，进而得出血的正负；利用对称轴为直线x=l,可得出2a+b与。的关系；由抛物线与］轴的交点情况，可得出屏与4qc•的大小关系；由抛物线与x轴的一个交点坐标为（3,0）,再结合对称轴为直线尤=1,可得出另一个交点坐标.【详解】解：A、由二次函数的图形可知：>0,bv。,cvO,所以沥c>0.故本选项不符合题意；B、因为二次函数的对称轴是直线x=l,则-—=1,即2a+b=O.故本选项符合题意；2aC、因为抛物线与工轴有两个交点，所以屏-4oc>0,即4ac<b2-故本选项不符合题意；D、因为抛物线与*轴的一个交点坐标为（3,0）,且对称轴为直线x=l,所以它与工轴的另一个交点的坐标为（-1,0）.故本选项不符合题意；故选：B.【点睛】本题考查二次函数图象与各项系数的关系，正确求得s仇c的正负以及巧妙利用抛物线的对称轴是解决问题的关键.10.如图，四边形OABC.是正方形，曲线GC2GC4C5叫作“正方形的渐开线”，其中CXC2,C2C3,C3C4，C4C5,...的圆心依次按O,A,B,G循环.当Q4=l时，点C2023的坐标是()\O\\/\/\/\|I/IA、abc<0B.2o+Z?=0C.4ac>b2D.点（-2,0）在函数图象上A.A.(-1,-2022)B.(-2023,1)C.(-1,-2023)D.(2022,0)【解析】【分析】由题得点的位置每4个一循环，经计算得出。2023在第三象限，与0，G，...符合同一规律，探究出q,G，C”，...的规律即可.【详解】解：由图得G(0,l),C2(l,0),C3(-l,-2),G(T,0),C5(0,5),C6(5,0),C7(-L-6),...点C的位置每4个一循环，2023=505x4+3,.Go23在第三象限，与G，G，G”...符合规律(一1,一〃+1),故选：A.【点睛】本题考查了点的坐标的规律的探究，理解题意求出坐标是解题关键.二、填空题(本题共6个小题，每小题3分，共18分)11.计算：扼+(-2)°=.【解析】【分析】根据立方根和零指数跟计算即可.【答案】50°【答案】50°##50度【分析】根据三角形的外角定理求出ZBDC的度数，再根据两直线平行，内错角相等，即可解答.【详解】解：..匕4位）=20。，ε4=30。，,:a〃b,.Za=ZBDC=50°,故答案为：50°.【点晴】本题主要考查了三角形的外角定理，平行线的性质，解题的关键是掌握三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角之和；两直线平行，内错角相等.13.如图，二ABC与4EF是位似图形，位似比为2:3,则与好尸的面积比为【详解】解：扼+（-2）°=2+1=3,故答案为：3【点睛】此题考查了实数的混合运算，熟练掌握立方根和零指数慕是解题的关键.12.将一个三角尺(ε4=30。）按如图所示的位置摆放，直线a//b,若ZABD=20°,则Za的度数是【答案】4:9【解析】【分析】由^ABC与SET是关于点。的位似图形，且位似比为2:3,又由相似三角形的面积比等于相点H,则线段£>H点H,则线段£>H的长是.AC.Lx轴，垂足为点C,.•S.础。=2x万=5，故答案为：5.【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义：反比例函数图像上一点与原点的连线和到坐标轴垂线围成的三角形面积是邑.215.如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8.连接AC,在AC和ADh分别截取AE,A",使AE=AF.分别以点E和点F为圆心，以大于L时的长为半径作弧，两弧交于点G.作射线AG交CD于2故答案为：4:9.【点睛】本题考查位似图形，如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行或在一条直线上，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方.掌握位似图形的的定义和性质是解题的关键.也考查了相似三角形的性质.14.正比例函数y=x的图象与反比例函数y=2的图象相交于A,B两点，过点A作AC-Lx轴，垂足为x点C,连接8C,则的面积是.【分析】根据反比例函数*的几何意义直接求解即可得到答案；【详解】解：..•正比例函数y=x的图象与反比例函数)，=2的图象相交于A,B两点，过点A作X似比的平方，即可求得一仙C与好F的面积比.与是关于点。的位似图形，ABC与zZ)EF的位似比为2:3,/.^ABC与JDEF的相似比为2:3,.与好尸的面积比为4:9.D过//作HQ1AC于Q,D过//作HQ1AC于Q,在矩形ABCD中，ZB=ZD=90°,.AC=10,由作图得：AG平分ZC4D,•./D=ZAQH=90。，AH=AH，aADH3AQH（AAS）,:.CQ=QC-QA=2t在RtAC/70中，有CQ2+QH2=CH2f【分析】过H作HQ1AC于Q,再根据角平分线的性质和勾股定理列方程求解.【详解】解：设DH=x,Q故答案为：【点睛】本题考查了基本作图，掌握勾股定理的应用是解题的关键.Q解得：X=-,【答案】【答案】?##2-33【分析】先根据图象得甲乙的速度差为【分析】先根据图象得甲乙的速度差为4,再根据相遇时用了0.625小时，列方程求解.【详解】解：设甲的速度为x千米/小时，则乙的速度为(x-4)千米〃J、时，贝1J：|[(-v-4)+x]=5x2,解得：x=10>x-4=6»A10-6x—=10-6=4,故答案为：4.【点睛】本题考查了从函数图象中获取信息，正确提取图象中的信息是解题的关键.三、解答题(本题共8个小题，17、18题每题6分，19、20题每题8分，21、22题每题10分,23、24题每题12分，共72分)17.先化简，再求值：+1)小—2~»其中a=右.16德.力格尔草原位于彰武县境内，以草场资源丰富，景色优美著称.今年5月在此举办的“漠上草原欢乐跑”首届马拉松比赛，吸引了千余名国内外选手参加.甲、乙两名选手同时参加了往返10饥(单程5S)的业余组比赛，如果全程保持匀速，甲、乙之间的距离sCk/n)与甲所用的时间(h)之间的函数关系如图所示，那么当甲到达终点时，乙距离终点km.【分析】先将分子分母因式分解，除法改写为乘法，括号里面通分计算，再根据分式混合运算的运算法则和运算顺序进行化简，最后将。的值代入计算即可.3+^33解解土+1卜刍半a,=刀时，原式=牛=些.V33【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握因式分解的方法，以及分式的混合运算法则是解题的关键.18.某中学数学兴趣小组的同学们，对函数y=a\x-b\+c（a,b,c是常数，〃。0）的性质进行了初步探究，部分过程如下，请你将其补充完整.口1）当〃=1,Z?=c=OH寸，即y=|M，当x>0时，函数化简为）=乂；当xvO时，函数化简为『==3+"__顷+1）口。__1）如。-1）—7\__a+i=（2）当。=2,Z?=l,c=0时，即y=2\x-\\.①该函数自变量工和函数值y的若干组对应值如下表:其中成=②在图1所示的平面直角坐标系内画出函数y=2|x-l|的图象.(3)当(3)当a=-2,Z?=l,c=2时，即y=-2|x-l|+2.①当*21时，函数化简为'=.②在图2所示的平面直角坐标系内画出函数y=-2\x-\\+2的图象.（4口请写出函数y=a\x-t\+c（sb,c•是常数，。壬0口的一条性质：.（若所列性质多于一条，则仅以第一条为准）（2口4,图像见详解；（3口-2x+4,图像见详解；【解析】【分析】（1口根据绝对值的性质直接求解即可得到答案；（2口将工=-1代入解析式即可得到答案，根据表格描点用直线连接起来即可得到答案；（3口根据绝对值性质化简即可得到答案，根据解析式找点，描点用直线连接即可得到答案；（4口根据绝对值性质化简函数解析式，结合一次函数性质直接写即可得到答案；【小问1详解】解：当xv时，故答案为：-工；【小问2详解】解：①当x=-l时，*=2|-1一1|=4,故答案为：4：②根据表格描点再连接起来，如图所示，【小问【小问3详解】解：①当X21时，y故答案为：-2x+4；②当x<l时，y=2(x-1)+2=2x,当x=l时，y=2，当x=o时，y=。，当X=2时，y=-2x2+4=0,描点如图所示，【小问【小问4详解】解：由解析式得，当x>b时，y=ax-ab+c,当。>0时，x>b^i,y随x增大而增大，当〃v0时，工2人时，y随x增大而减小，当x<b^,y=-cvc^ab^-c,当。>0时，x<b^i,y随x增大而减小，当〃v0时，x<b时，y随x增大而增大，故答案为：当。>0时，x>b时，y随工增大而增大，当uvO时，工2人时，y随*增大而减小，当a>0时，时，y随x增大而减小，当。vO时，x<b^i,y随工增大而增大（写其中任意一条即可）.【点睛】本题考查一次函数的图像与性质，解题的关键是根据绝对值的性质化简出解析式.19如.图，是。。的直径，点C,。是QO1.AB异侧的两点，DELCB,交CB的延长线于点E,且BD平分NABE.((1)求证：。匹是00的切线.(2)若ZABC=60°,AB=4，求图中阴影部分的面积.【答案】(1)见解析(2)|^-73【解析】【分析】(1)连接0D,根据OB=OD,得出ZOBD=/ODB.根据平分NA8E,得出ZOBD=ZEBD,则』EBD=Z0DB.根据DEA.CB得出ZEBD+ZEDB=90。,进而得出ZODB+ZEDB=90。,即可求证：(3)连接。C,过点。作OF1.BC于点F,通过证明△OBC为等边三角形，得出匕BOC=60。，0B=0C=BC=2.求出OF=OBsin60°.最后根据S阴影=S扇形即可求解.小问1详解】解：连接0D,...8£口平分匕人曲，DE1.CB,ZEBD+ZEDB=90。,・.・ZODB+ZEDB=90。,即OD1DE,..。匹是O。的切线.【小问2详解】解：连接。C,过点。作OF.LBC于点F,.."=4,D2.：2.：OB=OC,ZABC=60。，.△破C为等边三角形，AZBOC=60°,OB=OC=BC=2.VZABC=60°,OF上BC,OB=2,•OP=OBsin6O°=2x^=0260^-x22360【点睛】本题主要考查了切线的判定，等边三角形的判定和性质，解直角三,x2x^=—角形，求扇形面积，解题的关键是掌握经过半径外端切垂直于半径的直线是圆的切线；扇形而积公式8=-----•36020.端午节是中华民族的传统节日，节日里吃粽子是传统习俗.为了了解附近居民对A（肉粽子B（蛋黄粽子）.C（红枣粽子。（葡萄干粽子）四种口味粽子的喜爱情况，某商场随机抽取了某小区的部分居民进行问卷调查（每人只能选一种口味并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.11人数请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1口参加此次问卷调查的居民共有数人（2）通过计算将条形统计图补充完整.口3数人（2）通过计算将条形统计图补充完整.口3）若该小区共有2000名居民，请估计喜爱A（肉粽子）的居民约有多少人.【答案】⑴50口2）见解析【解析】【分析】（1）用喜爱红枣粽子的人数除以其所占百分比，即可求解：口2）用总人数分别减去A、C、。的人数，即可求出8的人数；口3）先计算喜爱A（肉粽子）的人数所占百分比，再用小区总人数乘以喜爱A（肉粽子）的人数所占百分比即可求解.【小问1详解】解：20-40%=50（人故答案为：50；【小问2详解】解：喜爱蛋黄粽子人数：20-10-20-4=16（人补全条形统计图如图所示：A1/0/【小问3详解】7531/A解：2000x—=400（人答：喜爱A（肉粽子）的居民约有400人.【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，用样本估计总体，解题的关键是正确识图，从图中获取需要数据，掌握用样本估计总体的方法和步骤.21.如图，小颖家所在居民楼高为46m,从楼顶A处测得另一座大厦顶部C的仰角。是45°,而大厦底部。的俯角“是37。.解得：B£>q61.3,解得：B£>q61.3,答：两楼之间的距离约为61.3m.（!）求两楼之间的距离BD.（2）求大厦的高度CD.（结果精确到0.1m.参考数据：sin37°«0.6,cos37°«0.8,tan37°«0.75）【答案】（1）两楼之间的距离约为61.3m（2）大厦的高度C£>为107.3m【分析】（1）过点A作AE1CD于点E,易得AADB="=37°,根据tanADB=tan37°=-----a0.75,即可求解：BD（2）易证四边形ABDE为矩形，则AE=BD=61.3m4B=D£=46m,根据等腰直角三角形的性质得出AE=CE=61.3m,最后根据CD=CE+DE,即可求解.【小问1详解】解：过点A作AE1CD于点氏根据题意可得：BD1.CD,#=37。,VAB=46m,tan37°»0.75,cad46/.tanADB=tan37°=—=0.75，即一«0.75,BDBDcBcBD解：根据题意可得：AB±BD,CD±BDyAE±CDt.•四边形ABDE为矩形，VZa=45°,AE±CD,.ZACE=45°,.AE=CE=61.3m,CD=CE+庞=61.3+46=107.3（m）,答：大厦高度CD为107.3m.【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，掌握解直角三角形的方法和步骤.22.为了进一步丰富校园文体活动，某中学准备一次性购买若干个足球和排球，用480元购买足球的数量和用390元购买排球的数量相同，已知足球的单价比排球的单价多15元.（1口求：足球和排球的单价各是多少元？（2口根据学校实际情况，需一次性购买足球和排球共100个，但要求其总费用不超过7550元，那么学校最多可以购买多少个足球？【答案】（1口足球的单价是80元，排球的单价是65元；（2口学校最多可以购买70个足球.【解析】【分析】（1）设足球的单价是工元，则排球的单价是（X-15）元，根据数量=总价小单价，结合用480元购买足球的数量和用390元购买排球的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结(2)设学校可以购买m个足球，(2)设学校可以购买m个足球，则可以购买(100-〃。个足球，利用总价=单价x数量，结合购买足球和排球的总费用不超过7550元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结【小问1详解】解：设足球的单价是x元，则排球的单价是(%-15)元，心…妨480390xx-15解得：x=80,经检验，x=80是原方程的解，且符合题意，:.x-15=65.答：足球的单价是80元，排球的单价是65元；【小问2详解】解：设学校可以购买m个足球，则可以购买(100-/H)个排球，依题意得：80/n+65(100-/w)<7550,解得：/n<70.又为正整数，答：学校最多可以购买70个足球.【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程：(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式.23如.图，在正方形ABCD中，线段CQ绕点C逆时针旋转到CE处，旋转角为。，点F在直线DE上,且AD=AF,连接听.图1(1)如图1,当0°vav90。时,①求①求ZBAF的大小（用含。的式子表示）.②求证：EF=>/2BF•（2）如图2,取线段£尸的中点G,连接AG,已知人8=2,请直接写出在线段CE旋转过程中（0°<a<360°)/XADG面积的最大值.【答案】（1）①ZBAF=90°-a；②见解析；（2）ZVIDG面积的最大值为1+72-【分析】（1）①利用等腰三角形性质，三角形内角和定理计算得到ZMD=180°-a,据此求解即可;②连接战，计算得到ZBCE=90°-a=ZBAF,利用SAS证明△BCE#Z\BAF,推出是等腰直角三角形，据此即可证明ef"bf；口2）过点G作AD的垂直，交直线AO于点H,连接AC、相交于点。，连接0G,利用直角三角形的性质推出点G在以点。为圆心，。8为半径的一段弧上，得到当点H、。、G在同一直线上时，GH有最大值，则△△£>&面积的最大值，据此求解即可.【小问1详解】解：①..•四边形ABCD是正方形，/.AB=BC=CD=DA,ZADC=ZBCD=ZDAB=90°,由题意得CD=CE,』DCE=a,•ZCDE=ZCED=^（180°-a）=90o-^a,ZADF=90°-ZCDE=90°-（90。—?a）=：a,,:AD=AF,2:.ZFAD=\80°-ZADF-ZAFD=lS0°-af・•・ZBAF=ZFAD-ZBAD=180°-a-90°=90°-a；②连接BE,(1)求这个二次函数的表达式.(1)求这个二次函数的表达式.(2)如图1,二次函数图象的对称轴与直线AC:y=x+3交于点O,若点M是直线AC上方抛物线上的一个动点，求ΔMCQ面积的最大值.(3)如图2,点P是直线AC上的一个动点，过点P的直线/与平行，则在直线/上是否存在点Q,使点B与点P关于直线CQ对称？若存在，请直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)y=-x2-2x+3；9【分析】(1)根据抛物线的交点式直接得出结果；(2)作MQLAC于。，作MELAB于F，交AC于先求出抛物线的对称轴，进而求得C,D坐标及CD的长，从而得出过M的直线y=x+m与抛物线相切时，MCZ)的面积最大，根据..•点G在以点。为圆心，。8为半径的一段弧上，当点H、O、G在同一直线上时，GH有最大值，则ZkADG面积的最大值,AG//=-AB+OG=-AB+-BD=-x2+-x2>/2=l+^,...ΔADG面积的最大值为lADxGH=l+q.2【点睛】本题考查的是正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键.24.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx-c的图象与工轴交于点A(—3,0)和点3(1,0),与y图1作图1作MQLAC于。，作MEA.AB于F,交AC于E，OA=OC=3,ZAOC=90°,:,ZCAO=ZACO=45°,:.ZMEQ=ZAEF=90°-ZCAO=45°,抛物线的对称轴是直线：x=H=-l,2y=x+3=—1+3=2,0(1,2),.C(0,3),:,CD=ex+m=-x1-2x+3的△=()求得〃，的值，进而求得M的坐标，进一步求得CD上的高的值，进一步得出结果；(3)分两种情形：当点P在线段AC±时，连接况，交CQ于R,设P(r+3),根据CP=CB求得，的值，可推出四边形BCPQ是平行四边形，进而求得。点坐标；当点P在AC的延长线上时，同样方法得【小问1详解】解：由题意得，y=-(x+3)(%-1)=-x2-2x+3；【小问2详解】解：如图1,故只需的边CQ上的高最大时，△”《£)的面积最大,设过点M与AC平行的直线的解析式为：故只需的边CQ上的高最大时，△”《£)的面积最大,设过点M与AC平行的直线的解析式为：y=x十〃，当直线y=x+〃z与抛物线相切时，△MCZ）的面积最大，由x+m=—x2一2工+3得，x2+3x+(m-3)=0,32-4(/n-3)=0得,m-3=—f494^=x+3=-3|+3=3|,9J29J2MQ=MEsinZMEQ=ME^n45°=-x^-=-^-f234X}=X2=,=\序瓯=2【小问3详解】解：如图2,图2当点P在线段当点P在线段AC上时，连接8P，交CQ于R,点B和点。关于CQ对称，:.CP=CB,由CP2=CB2得，2户=10，志,3-句,PQ〃BC,CRBR1QRPRCR=QR,四边形BCPQ是平行四边形，3+（__姊-0=3-妁0+口3->/5）-3=-75,:.Q（3-底-够如图3,Q图3当点P在AC的延长线上时，由上可知：P悟,3+句,同理可得：。（3+必点）,综上所述：e综上所述：e（3->/5,->/5）或（3+右,必）.【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，一元二次方程的解法，平行四边形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论.23.如图，在正方形中,线段CD绕点C逆时针旋转到CE处，旋转角为。，点F在直线DE上,且AD=AF,连接眺.(1)如图1,当0°<《<90°时,①求ZBAF的大小（用含。的式子表示）.②求证：EF=y/2BF•（2）如图2,取线段EF的中点G,连接AG,已知AB=2,请直接写出在线段CE旋转过程中（0°<a<360°)ZkADG面积的最大值.【答案】（1）①ZBAF=90°-a；②见解析；（2）ΔADG面积的最大值为1+很.【分析】（1）①利用等腰三角形性质，三角形内角和定理计算得到ZMD=180°-a,据此求解即可;②连接既，计算得到ZBCE=9o—a=ZBAF,利用SAS证明ΔBCE£ABAF,推出是等腰直角三角形，据此即可证明EF=V2BF:（2）过点G作人。的垂直，交直线AD于点H,连接AC、相交于点。，连接OG,利用直角三角形的性质推出点G在以点。为圆心，。8为半径的一段弧上，得到当点H、。、G在同一直线上时，GH有最大值，则ΔAPG面积的最大值，据此求解即可.【小问1详解】解：①..•四边形ABCD是正方形，AAB=BC=CD=DA,ZADC=ZBCD=ZDAB=90°,ADBADB.:CD=CE=AD=AF=BC,:.ABCE^ABAF(SAS),：BF=BE,ZABF=/CBE,ZABC=9O°,•ZEBF=90°,..△EBP是等腰直角三角形，【小问2