2021年新高考数学名校押题06 函数与方程（选择与填空）（解析版）

精选06函数与方程（选择与填空）

1.函数零点的求解与判断方法：

（1）直接求零点：令yu）=o,如果能求出解，则有几个解就有几个零点.

（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间口，句上是连续不断的曲线，且人。）十〃）

<o,还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点.

（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点

的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.

2.已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中

画出函数的图象，利用数形结合的方法求解

一、单选题

|2r-l|,x<2,

1.已知函数/（x）=<3若方程/（%）=々有且仅有两个不等实根，则实数人的

.x—1

取值范围是

A.1＜女＜3B.1,,女＜3

C.0＜攵＜3D.k＜3

【答案】B

|2A-l|,x<2,

【解析】已知={3，作出函数图象，

----,x..2,

、九一1

通过函数图象可以看出，当x<0,函数无限趋近于1,但不等于1,当x>2,函数无限趋

近于0,但不等于0,所以/（X）=々行且仅有两个不等实根，可以得到L,女<3.故选B.

y

(x+1)',x<0

2.已知函数/(x)=若方程/(x)=a有四个不同的解玉,々，％3，/，且

|log2x|,x>0

x1<x2<x3<x4,贝|JX3•(占+w)+-T—的取值范围是

芯,X4

A.(—1,1]B.[-1,1]

c.[—1,1)D.(Tl)

【答案】A

因此X3，(％+工2)+/=-2七+，1为单调递减函数,

X3,-^4

-2xl+l=l,-2xl+U-l(从而演G+xJ+qeCi』]故选人

2天乜

3.定义在R上的奇函数_/(x)满足y(x+4)=yu),且在区间［2,4)上/(x)=〈，“一，则

x-4,3<x<4

函数y=/(x)-log5凶的零点的个数为

A.3B.4

C.5D.6

【答案】C

【解析】因为f(x+4)=f(x),可得f(x)是周期为4的奇函数，先画出函数f(x)在区间［2,4)

上的图象，根据奇函数和周期为4,可以画出f(x)在R上的图象，由y=/(x)—k)g5|M=0,得

1/(%)=logslx|,分别画出y=7㈤和y=log51M的图象，如下图,由/(5)=/(1)=1,而1。的5

=1,4-3)=/⑴=1,log5|-3|<1,而7)=/(1)=1,Mlogsl-7|=log57>l,可以得

A./(x)的图象关于了轴对称B.方程/(x)=0的解的个数为2

C./(X)在(L+W)上单调递增D./(幻的最小值为

4

【答案】B

【解析】/(乃=/-/定义域为R,显然关于原点对称，

又/(-%)=(-%)4-(-x)2=x4-X2=f(x),

所以y=/(x)是偶函数，关于y轴对称，故选项A正确.

令/(X)=0即》2(》+1)(*_1)=0,

解得X=0，1,-1，函数“X)有3个零点，故B错误；

令工=》2,g(f)=y-f=(f-g)2一;，%>1时，

函数f=f,g(f)=f2一/都为递增函数，故/(X)在(1,+00)递增，故©正确；

由，=工时，g(r)取得最小值—《，故/(X)的最小值是—!，故D正确.故选B.

244

5.已知函数是定义在R上的偶函数，对于任意xwR,都有/(x+4)=/(x),且当

xe[0,2]时，/(X)=X2-3,若方程/(幻=1。8“*3>0,。声1)在区间(0/0)上有5个不

同的实数根，则实数。的取值为

A.(0,1]U[8,10)B.(0,^]U[6,10)

o2

C.(0,1)U(6,10]D.(0,^)U(6,10]

o2

【答案】D

【解析】因为函数〃x)对于任意xeR,都有/(x+4)=/(x),

所以函数的周期为4,由函数/(x)是定义在/?上的偶函数，目当xe[0,2]时，f(x)=x2-3,

由此画出/(x)在区间(0,10)上的图象如图所示，

所以函数/(力与y=log“％的图象在(0,10)有5个交点.

log,,6<1

由图象知<s,，解得6<qM10

loga10>l

当0<a<l时，如图所示:

由图象知log“8>-3,解得Ocacg,

综上，实数a的取值范围为(0,g)u(6,10].故选D.

6.己知函数/(X)"?一刈,且关于x的函数g(x)=/(x)-m有4个不同的零

尤-2x+3,x..O

点番,々,七,/，则玉・Z•马,尤4的取值范围为

A.[0,1)B.[0,1]

C.(0,1)D.(0,1]

【答案】A

【解析】因为函数g(x)=/(x)-m有4个不同的零点办,工2，刍，*4，

不妨记王〈工2〈七<%4结合y=/(幻的图象分析可知

lg(-X])=-lg(-x2)=>1g(-％)+lg(-x2)=0=lg(X|%2)=o=>中2=1

x3+x4=2,0„x3<1,所以百仁•玉•乂=w=曰(2-七)=2x,-%2e[O,l),故选A

7.己知0<“<1,方程/一|侬涧=0的解的个数为

A.2B.3

C.4D.2或3或4

【答案】A

【解析】0<。<1时，方程"一|胸“卅=0的解的个数，等于0<。<1时，函数y="和

函数>=|bg“x|的图象的交点个数，如图所示：

数形结合可得，函数>和函数y=|/og.x|的图象的交点个数为2,

故0<。<1时，方程"一|/"«|=0的解的个数为2,故选A.

8.己知函数/(x)=|2，X~Q，若方程/(x)+x+a=0恰有两个不相等的实数根，则实

log4x,x>0,

数。的取值范围为

A.[—1,0)B.[0,+<x>)

C.D.[-l,+oo)

【答案】D

【解析】方程/(x)+x+a=0恰有两个不相等的实数根，

则函数g(x)=/(x)+x+a有两个零点,

2X+x,x<0,

令令X)=f(x)+x=<

log2x+x,x>0

所以函数力(x)与函数y=-a有两个不同的交点,

当XW0时，函数力(X)单调递增，故函数有最大值加0)=1,

当x>0时，函数力(彳)单调递增，函数没有最小值，函数图象如下图所示:

4X

因此有一aWina之一1，故选D

【名师点睛】已知方程的根的个数求参数，一般转化为函数零点个数问题，再转化为两个函

数图象交点个数问题，运用数形结合思想进行求解即可.

log,(%+l),0<x<3

2

9.已知函数/(x)为定义在R上的奇函数，当x»0时，/(幻=<2八…、，则

X2-10X+23,X>3

关于％的函数g(x)=/(x)+a(0<。<2)的所有零点之和为

A.10B.21-2°

C.0D.i-2a

【答案】D

【解析】因为/'(x)为定义在R上的奇函数，先画当xNO时/(x)的图象如图,

再围绕原点将x2()的图象旋转180°得到x<0时/(X)的图象，

g(x)=/(x)+a的零点可以看做y=f(x)与丫=-«(0<。<2)的图象的交点，

由图象可知交点一共有5个，设交点的横坐标从左到右依次为为、々、七、/，

则王+工2=-10,X4+X5=10,且£满足log2(一刍+1)=。，解得刍=1一2",

所以X]+Xj+*3+*4+X5=1—2".故选D.

2A—1,x<2,....、

10.函数/(x)=<,若函数g(x)=/(x)T(eR)有3个不同的零点a,b,

-x+5,x>2

c,则2"+2h+2C的取值范围是

A.[16,32)B.[16,34)

C.(18,32]D.(18,34)

【答案】D

【解析】作出函数y=/(x)的图象和直线y=f,它们的交点的横坐标即为g(x)的零点,

如图,则1—2。=2-，4<c<5,

2"+2”=2,

【名师点睛】本题考查函数零点问题，解题关键是把函数零点转化为函数图象与直线的交点

的横坐标，从而可通过作出函数图象与直线，得出零点的性质与范围.

lnx,x>l.、/、

11.已知函数〃x)=<—ln(2—x)x<］则方程(％-1)/(可=1的所有实根之和为

A.2B.3

C.4D.1

【答案】A

【解析】当x>l时，所以/(2—x)=—ln[2—(2—x)]=—lnx=—/(x),

当x<l时，2-x>l.所以〃2—x)=ln(2-元)=一〃可，当x=l时，〃1)=0,

所以函数/(x)的图象关于点(1,0)对称.显然x=l不是方程的根,

1

当时，原方程可变为〃X)=

X-1

画出函数y=/(x)和y=」一的图象(如图所示),

X—1

由图知，二者仅有两个公共点设为A(x，y),B(w，%),

因为函数y=/(x)和y=」一的图象都关于点(1,0)对称，所以A5关于点(1,0)对称,

所以出产=1,即再+々=2故选A

12.定义在R的奇函数/(x)满足/(x+4)=/(x),且当xe(O,2)时，/(x)=(x—炉,

则函数/(x)在区间［0,4］上的零点个数为

A.3B.5

C.2D.4

【答案】B

【解析】••"(X)为R匕的奇函数，.•・/(())=0,且/(X)图象关于原点对称，

由/(x+4)=/(x)知/(x)是周期为4的周期函数，

且"2)=/(-2+4)=/(-2)=-〃2),;.”2)=0：

・・・/(X)部分图象如下图所示：

y

由图象可知［o,4］，l仃5八零点，分别为x=0，X=l.x=2,X=3.x=4.故

选B.

13.设是定义在R上的偶函数，且火x+2)于2-x)时，当xW[-2,0]时，/(可=[5-)-1,

若在区间(-2,6)内，关于x的方程f(x)-logfl(x+2)=0(a>0且存1)有且只有4

个不同的根，则实数。的范围是

B.(1,

C.(1,8)D.(8,

【答案】D

【解析】因为对于任意的XGR,都有/(%—2)=/(2+力,

/(x+4)=/[2+(x+2)]=/[(x+2)-2]=/(x),

所以函数/(x)是一个周期函数，且7=4.

因为当xw[—2,0]时,-1.口函数/(力是定义在R上的偶函数,

若住区间(一2,6)内厂]-.r的叮程/(、)一log“(x+2)=()恰仃4个不同的次数解.

易知当Owl时，方程最多有1个解，故舍去；

则函数>=/(X)与>=log”(X+2)(a>1)在区间(-2,6)匕有四个不同的交点，

如下图所示；

12345671

又/(一2)=〃2)=〃6)=1,则对于函数y=log”(x+2),由题意可得，当x=6时的函

数值小于1,即log〃8<l,由此解得。>8,所以a的范围是(8,+8).故选D.

【名师点睛】数形结合求解函数交点问题非常形象直观，易于解决这类问题.

14.已知函数y(x)=ln(>/i17-x),若不相等的正实数a,。满足/(a)+/S-|)=0,且

a,人恰为函数g(x)=|lnx|-k的两个零点，则依

5

A.—B.In3

2

C.1D.In2

【答案】D

【解析】由/(x)=ln(\/l+x2-x),

可得/(x)+/(-x)=imJl+x?-x)+ln(Jl+(-x)~+x)=lnl=0,所以/(x)为奇函数.

又/(x)=lnb/I77-x)为R上的减函数，正实数满足f(a)+fS-|)=0,

所以a+b-|=0.因为4/恰为函数g(x)=|1nx|一出的两个零点，

所以g(a)klna|一k=0,g(6)=|lnb|-&=0,

plij|lna|=|lnZ?|,即Ina=In》(舍去)，或lna=-ln〃，

故。力=1,可得a=2,b=，或b=2,a=,，故k=In2.故选D.

22

【名师点睛】(1)灵活应用函数性质解抽象函数型方程(不等式)；

(2)求函数零点(方程)类问题分为两大类：①零点直接解出来：方程可解；②方程不可

解：二分法估计近似值.

3Q

15.设函数/。)=｛一"若/(幻恰有两个零点，则实数。的取值范围是

2x,x..a

A.[—5/395/3]B.(―>/3,4-OO)

C.C-V3,V3]D.(-oo,V3)

【答案】C

【解析】在同一坐标系中，画出y=—V+3x和y=2x的函数图象，

可知y=-丁+3%由三个零点-百,0,、回，y=2x只有一个零点0

当a4-6时，只有y=2x一个零点0；

当-6<a40时，有y=-V+3x一个零点一6和y=2x一个零点o

当0<awG时，有y=-/+3x两个零点一百和0

当时，有y=—x3+3x三个零点一石,(),百

所以有两个零点，〃的取值为若故选C

【名师点睛】在同一坐标系中，画出y=—/+3x和y=2x的函数图象，结合函数图象，

依次讨。的取值是解题的关键.本题考查了作图能力，数形结合思想和逻辑推理能力，属于

一般题目.

16.已知函数/(%)满足：①定义域为R；②对任意xeR,有/(x+3)=/(x)；③当xe［0,3］

x2,0<x<l

时，/(x)=<J3.若函数g(x)=2ln|A|,则函数y=/(x)-g(x)在［-5,5］上

——x+—,1<x<32

I22

零点的个数是

A.3B.4

C.5D.6

【答案】C

【解析】当xe［0,3］时，根据函数/(X)的解析式，作出函数/(x)的图象，

因为/(x+3)=/(x),所以函数的周期为3,作出函数“X),xw［—5,5］的大致图象如图

所示,

易知函数g(x)=gln|M为偶函数，作出g(x)的大致图象，可知两个函数图象在［-5,5］上有5

个交点，即函数丁=/。)一8。)在［-5,5］上有5个零点.故选C.

17.己知函数/(x)满足：①定义域为R；②对任意的xeR,有/(x+3)=/(x)；③当

x2,0<x<l

xe［0,3］时，/(x)=<i3.若函数g(x)=-lnx,则函数

——x+—,1<x<32

22

>=/(x)-g(x)在［0,5］上零点的个数是

A.1B.2

C.3D.4

【答案】C

【解析】)="X)-g(x)在［0,5］上的零点个数等价于/(X)与g(X)在［0,5］上的交点个

数；由〃x+3)=/(x)知/(x)是周期为3的周期函数;

x2,0<x<l

又当xw[0,3]时，/(%)=■13，

—xH—,l<x43

I22

可得/(X)与g(X)住［0,5］上的图象如下图所示:

由图象可知/1(力与g(%)在［0,5］上有3个不同交点,

即y=/(%)—g(x)在［。，5］上零点的个数为3个.故选C.

18.已知函数“X)是定义在R上的偶函数，满足=—/(%),当XG［0,1］时,

/(x)=cos^x,则函数y=/(x)—|x|的零点个数是

A.2B.3

C.4D.5

【答案】A

【解析】因为/(%+1)=—所以/(x+2)=-/(x+l)=-［一/(x)］=/(x),

所以/(x+2)=/(x),即函数/(x)是周期T=2的周期函数.

因为函数/(力是定义在R上的偶函数，且xe［O,l］时，/(x)=cos^x,

7T7T

所以当xe［-l,O)时,f(x)=f(-x)-cos(--x)=cos—x,

令/"(x)-国=0,则函数y=/(%)-忖的零点个数即为函数了=f(x)稹展。=M的图

象交点个数，分别作出函数y=/(x)和8(司=凶的图象，如下图，

显然/(H与g(x)在［T,。)上有1个交点，在［0』］上有一个交点，

当国>1时,g(x)>l,而

所以X>1或X<-1时，/(X)与g(x)无交点.

综上，函数y=/(x)和g(x)=W的图象交点个数为2,

即函数)=/(力一忖的零点个数是2.故选A.

【名师点睛】本题考查求函数零点个数问题,一般的，求函数y=/(x)的零点个数，常用

的方法：(1)直接解方程/(x)=o,求出方程的解的个数，也就是函数y=F(x)的零点个

数；(2)作出函数y=/(x)的图象，其图象与X轴交点的个数就是函数y=/(x)的零点的

个数；(3)化函数零点个数问题为方程g(x)=〃(x)的解的个数问题，在同一平面直角坐标

系中画出两个函数的图象，两函数图象的交点个数就是函数y=/(%)的零点的个数.

x.

19.已知函数/(x)={,"一，g(x)=/(x)+2x+a.若g(x)存在2个零点，则4的

Inx,x>0,

取值范围是

A.[-1,0）B.[0,+<»）

C.[-l,+oo）D.[l,+oo）

【答案】C

【解析】g(x)存在2个零点等价于/(x)与y=-2%-a有两个交点；

在平面直角坐标系中作出/(%)图象如下图：

由y=-2x平移可知当y=-2x-a过图中A点时，一。取得最大值，

又A((),l),叱取=1,.•“NT,即a的取值范围为［―1,+8).故选C.

20.已知函数〃%)={_毒%；蕊1，设了㈤寸⑸寸㈤寸⑷,

且再<々<尤3<%4，则对于下列结论：①再々=1,②七+玉=1,③0cxi々鼻毛<1,④

%,+x2+x3+x4<0.其中正确的个数是

A.1B.2

C.3D.4

【答案】C

【解析】函数/(x)的图象如图所示：

若/(百)=/(%)=/(玉)=/(乂)>且F<%2<巧<14，

则M<-1<x2<0<x3<1<x4<2.

由/（玉）=/（%）可得lOg2（一%）=T0g2（一W），

即1082（—%）+1082（—々）=1082（万々）=。,所以％入2=1，故①正确;

由/（演）=）（5）可得-log?。-W）=-lOg2（%-1）,

即1一%3=匕一1,所以七+%4=2,故②错误;

又xlx2x3x4=x^x4=x,（2-&）e（0,1），故③正确；

1c

因为王<—1<工2<0，冗]工2=1，X3+X4=2,・:X]+尤2+工3+*4=-----FX2+2,

X2

八

-x11

vx2£（-1，。），•­2---->2,所以・•・x24---<-2,

-x2x2

.•・玉+々+退+.<-2+2=0,故④正确.所以正确的个数为3.故选C

【名师点睛】本题考查函数与方程的应用，解题的关键是画出函数图象，通过图象得出

%<-1<x2<0<x3<1<x4<2.

Ax+l,x<0

21.已知函数〃x)=<下列是关于函数y=/[/(%)+1]的零点个数的判断,

log2x,x>0

其中正确的是

A.当攵>0时，有3个零点B.当人<0时，有2个零点

C.当女>0时，有4个零点D.当左<0时，有3个零点

【答案】C

kx+1,x<0

【解析】由题意可知,/(%)=>

log2x,x>0

当%>0时：若无<0,则/(元)+1=京+2,

Q；Ax+2>0时，有log2(依+2)=0,解？Jx=—；

k

12

②kx+2?0时，有k(kx+2)+1=0,解得x---7-~)

若x>0,则/(x)+1=。2*+1,

①log2X+l?0时，有左(log2x+l)+l=0,解得彳=2一8

②log2x+l>0时，有Iog2(log2x+1)=0,解得尤=1,

故当%>0时，有4个零点，C正确，

当A<()时：若xKO,则/(x)+1=京+2?2,有log2("+2)=0,解得彳=一1,

因为x=-J>0,所以不满足x<0,舍去；

k

若尤>0,则/(x)+I=log2%+1,

①log2X+l?0时，有q1Og2X+l)+1?1,无解;

②log2X+l>0时，有Iog2(log2x+1)=0,解得x=l,

故当攵<0时，有1个零点，。错误故选c

【名师点睛】本题考查函数零点的求解，考查学生对分段函数的理解，能否明确每一个区间

所对应的函数是解决本题的关键，考查分类讨论思想，考查计算能力，属于中档题.

—2.x-x?,x40

22.已知函数/(x)=<，若a<b<c<d，且.〃a)=/R)=/(c)=/(d)，

|lgx|,x>0

则a+Z?+c+2d的取值范围是

【答案】B

【解析】由/(%)解析式可得/(x)图象如下图所示:

设/(a)=/(/?)=/((?)=/(△)=%,由图象可知0<女<2,

，一2<a<-1<b<0<c<1<d<10,

又a,/?关于x=-1对称，:.a+b=—2i

由|lgd=|lgd|得一lgc=lgd,即4=1,a+/7+c+2d=-2H----F2d>

d

•.•y=2x+4在(1,10)上单调递增，.•.2d+[e

xd

+1,国

I10故选B.

【名师点睛】本题考查函数与方程的相关知识，解题关键是能够利用数形结合的方式确定

a,Ac,d所处的范围及对称关系，由此化简所求式，得到一个关于某一变量的函数的形式，

利用函数值域的求解方法求得结果.

23.已知函数/(%)=卜2+〃咏%>0).当ae(l,4)时.关于x的方程-a|x-1]=0恰

有两个不同的实根，则〃?的取值范围是

A.(0,2]B.(1,3]

C.(0,3]D.(1,4]

【答案】C

【解析】当x=l时，〃X)=W+1]>1,所以x=l不是方程〃x)-a|x-l|=0的实根；

当xwl时，由=0,得a=(x-l)+——-+m+2.

方程/(x)-a|x-l|=0恰有两个不同的实根等价于直线y=a与函数

y=(%-1)+如：+m+2的图象有两个不同的交点.

X—1

因为机>0，所以加+2=(5加+1)2+1>2/加+1,

1YI+1

则函数y=(》-1)+-+m+2的大致图象如图所示:

X—1

【名师点睛】函数零点的求解与判断方法：

（I）直接求零点：令./u）=0,如果能求出解，则有几个解就有几个零点.

（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间/，力上是连续不断的曲线，且,曲）贝b）

<0,还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点.

（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的

横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.

24.已知函数/。）=%2+6*-3]<0）与8（X）=/+1110+4）的图象上存在关于丁轴对称

的点，则。的取值范围

【答案】B

【解析】fix)与g(x)的图象上存在关于y轴对称的点,

等价为3=g(x)在,>。时，有解即可，则心+0,

即e-x--=ln(x+a),在(0,+oo)上有解即可,

2

当x=0时，y=ex--=1--=—,

222

当。<0,将府的图象向右平移，此时历(x+〃)一定与丁="'-3有交点，满足条件,

当。>0时，则人(0)=痴<；，得0<〃」=及，

综上a<&，

即实数。的取值范围是(—00,故选B.

【名师点睛】本题主要考查函数与方程的应用，结合条件进行转化为/(-X)=g(x)在％>0时,

有解即可，利用函数与方程之间的关系利用数形结合是解决本题的关键，考查了数形结合的

思想以及分类讨论的思想.

25.已知函数/(x)=min|x|x-2a|,x2-6ar+8a2+41(«>1),其中

/.\p,p<q,.5

min(p,g)=<,若方程/(月=不恰好有3个不同解罚，x2,&(内<z<工3)，

q,P>q2

则王+马与七的大小关系为

A.不能确定B.xt+x2=x3

C.xt+x2<x3D.%!+x2>x3

【答案】A

*2

I-]x—2ax.x>2a

【解析】x\x-2a\=<,a>l.

[一厂+lax,x<2a

当时，一x?+2（ix—（龙？-6ux+8Q“+4）——2（尤一2cl）—4<0,

即-x2+2ax<x2-6奴+8。2+4，

当x>2a时，x?-2cvc-（%?—（）cix+8/+4）—4aY-8。~-4,

若4办一8。2-4>0，则1>2。+‘，f-2aY>f一66+8/+4；

a

若4以一8。2-4«0，则XW2Q+'，x2-2ax<x2-6ax+Sa2+4»

a

-x2+2ax,x<2a

乂2Q+L〉2Q,所以/（犬）=<x2-lax,2a<x<2a+—

aa

x2-6cix+8Q~+4,尤>2。H—

a

又/（“）="（极大值），/（2a）=0（极小值），/（2a+g[=2+*（极大值）,

f（3a）-4-a2（极小值）.

要使/（x）=2恰好有3个不同解，结合图象得

①当5不存在这样的示数

”3。）>]

“)<|

«2<-

2

〃3。)<|

②当《,QpM-a2</时，解得<a<V2，

f[la^55

>—2>—

Ia，2V2

此时2a<x<2a+-<x<3a<x,因为々与七关于x=3〃对称,

]a23

所以西+%2=2。，而七＞3。，所以玉+々＜%3.故选A.

【名师点睛】研究函数的零点问题常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得解）；（2）图

象法（直接画出函数/（幻的图象分析得解）；（3）方程+图象法（令函数f（x）=O得到

g（x）=/z（x）分析函数g（x）,/z（x）的图象即得解）.数形结合是高中数学的一种重要数学思

想，要注意灵活运用，提高解题效率.

二、多选题

x2+2x,x＜0八/、

26.己知函数/(x)=<履+2；〉0,若J（x）的图象上存在关于原点对称的点，则实数左

的可能取值有

A.2-2V2B.3-273

C.-5D.-1

【答案】ACD

【解析】易知J=/（%）左边的图象关于原点对称的图象的解析式为

y=-x2+2x(x>0).由题意，曲线y=-/+2Mx>0)与直线y=Ax+2(x>0)存在交

点，设过定点（0,2）的直线y=k1x+2与曲线y=/（x）=—x2+2Mx>0）切于点

//、\+2

A("㈤)，则仆+2ix+2・解得西=0或玉=-V^，所以£=一2&+2.

由图可知，贝廉《2-20.故选ACD.

27.已知函数〃耳=[M¥">°,若存在a</j<c,使得〃a)=〃b)=/(c)成立,

-%+l,x<0

则

A.hc=\B.b+c=\

C.a+b+c>lD.abc<-\

【答案】AC

【解析】如图:

可知一IvaKO,—1,l<cWe,则/?+c>c>l,

且一lnb=lnc,所以ln5+lnc=lntc=0,即。c=l.

因为bc=l,所以。Z?c=ae(-LO],a+b+c=a+-+c>a+2>l.故选AC.

c

28.若函数)讨x)是偶函数，定义域为R,且该函数图象与x轴的交点有3个，则下列说法

正确的是

A.3个交点的横坐标之和为0

B.3个交点的横坐标之和不是定值，与函数解析式有关

c.,AO)=O

D..K0)的值与函数解析式有关

【答案】AC

【解析】由于偶函数图象关于y轴对称，若(冲，0)是函数与无轴的交点，

则(-xo,0)一定也是函数与x轴的交点，当交点个数为3个时，有一个交点一定是原点，

从而AC正确.故选AC.

29.高斯是德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一.高

斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.有这样一个函数就是以他

名字命名的：设xeR,用[x]表示不超过》的最大整数，则f(x)=[x]称为高斯函数，又

称为取整函数.如：/(2.3)=2,/(-3.3)=-4.则下列正确的是

A.函数/(幻是火上单调递增函数

B.对于任意实数。，6,都有/(a)+/(0)</(a+。)

<341「43、

C.函数g(x)=/(x)-44X(XH0)有3个零点，则实数a的取值范围是。

D.对于任意实数x,»则/(x)=/(y)是卜一引<1成立的充分不必要条件

【答案】BCD

【解析】对于A选项，〃1)=〃1.2)=1,故4错误：

对于8选项，令a=[a]+r,/?=回+式「,夕分别为a,6的小数部分)，

可知0,,r=a-[a]<l,0„q-b-[b]<\,[r+^]>0,

则/(a+b)=[[a]+回+r+q[=[a]+[b]+r+q]..[a]+[A]="a)+f(6)，故B错误;

对于C选项，可知当々4x<Z+l,AwZ时，则/(x)=[x]=攵，

二函数“X)的图象和直线y="有3个交点，且(0,0)为/(X)和直线丁=口必过的点，

由图可知,实数”的取值范围是偿故c正确；

(45J32)

对于。选项，当f(x)=/(y)时，即r,q分别为的小数部分，可得04r<l,0<q<l,

|x-y|=3+T)]-q|=|一同<|1-。|=1；

当k一乂<1时，取X=-0.9,y=0.09,可得[x]=-1，[H=0,此时不满足=/()，),

故/(%)=/(>)是[%-乂<1成立的充分不必要条件,故。正确；故选BCD

【名师点睛】本题考查函数新定义问题，解答的关键是理解题意，转化为分段函数问题，利

用数形结合思想；

112Tx<l,,

30.已知/(x)=F1,则关于x的方程"(x)F—/(x)+201=0,下列正

Inx,x>1,

确的是

A.存在实数使得方程恰有1个不同的实数解

B.存在实数Z,使得方程恰有2个不同的实数解

C.存在实数Z,使得方程恰有3个不同的实数解

D.存在实数女，使得方程恰有6个不同的实数解

【答案】ACD

【解析】令〃x)=/NO,则关于龙的方程"(x)]2—/(x)+2左一1=0,

可得产一1+2左一1=0,

当女=*时，△=1一4(2左一1)=0,此时方程仅有一个根f=!；

82

当&<*时，A=l—4(2%-1)>0,此时方程有两个根小马，

且4+，2=1，此时至少有一个正根；

当我>|时，A=l—4(2攵-1)<0,此时方程无根；

当人<：时，此时方程有两个根艮4+»2=1，此时至少有一个正根，

O

当彳«0,1)、f2G(0,1)，且/产G时，/(x)=r，有6个不同的交点,D正确;

当方程有两个根小/2,一个大于1，另一个小于0，

此时/(x)=r，仅有1个交点，故A正确：

当方程有两个根工,三，一个等于1，另一个等于0，/(力=上有3个不同的交点,

当女>■!时，八=1一4(2左一1)<0,此时方程无根.故选ACD

O

【名师点睛】本题考查了根的个数求参数的取值范围，解题的关键是利用换元法将方程化为

『一/+24_1=0,根据方程根的分布求解，考查了数形结合的思想，分类讨论的思想.

31.已知二次函数/(x)=—/+法+c("ceR),若关于x的方程f(x)=0有两个不同实

数解，且关于x的方程/(/(*))=0恰有两个不同实数解，则

>0

2>B.々助>。

C./0)>0D./(/(。))=0

【答案】AB

【解析】关于x的方程/(x)=0有两个不同实数解，则A=〃+4C>0,也即>0,

A正确;

设f(x)=0的两个解是％目且％于是共有两个不同的解,

则a，而I冈帧S,所以।，B正确;

而冈无法进一步判断向|和|的正负,CD错误.故选AB.

【名师点睛】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的图象与性质是解题关键.利用二次

函数图象可得函数的对称轴，单调区间，顶点，函数的零点，不等式阈.|的

解.

32.若方程囚有且仅有1个实数根，则实数加的值不可

能为

A.2B.-2

C.4D.-4

【答案】BCD

因为方程|冈|有且仅有］个实数根，

所以|冈|，即|㈤解得耳I或耳二

当耳二I时，函数|冈|，易知函数“X）是连续函数，

又|南―I，gI,所以函数f（x）在百~|上也必有零点,

此时/（X）不止有一个零点，故耳二|不符合题意；

当耳二I时，I冈~|，此时/（X）只有X=—l这一个零点，

故国二I符合题意・

因此实数〃?的值不可能为臼I故选BCD

【名师点睛】本题的解题关键是构造函数/（x）,求出函数图象的对称轴，利用对称的

性质得出区］.

33.已知关于x的方程|冈则下列说法正确的是

A.当［冈］时,方程的两个实数根之和为0

B.方程无实数根的一个必要条件是耳|

C.方程有两个正根的充要条件是|冈|

D.方程有一个正根和一个负根的充要条件是五二

【答案】BCD

【解析】对于选项A,方程为|同方程没有实数根，所以选项A错误；

对于选项B,如果方程没有实数根，则|冈一

所以|W可I是|冈的必要条件,所以选项B正确；

可

对于选项C,如果方程有两个正根，则

所以|司I，所以方程有两个正根的充要条件是I冈I，所以选项C正确；

区----

对于选项D,如果方程有一个正根和一个负根，则1所以I冈I，

所以方程有一个正根和一个负根的充要条件是「反|，所以选项D正确.故选BCD

【名师点睛】判断充分条件必要条件，常用的方法有：(1)定义法；(2)集合法；(3)转化

法.要根据已知条件，灵活选择方法判断得解.

34.己知函数y=/(x)是定义在上的奇函数,当x>0时，|臼则下列

说法正确的是

A.函数y=/(x)有2个零点

B.当x<0时，国

C.不等式I的解集是(0,1)

D.|冈都有同

【