概率统计第3章答案

第三章作业一1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以YX和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表：00123XY111131110C1C23/822282223331800111122282.盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到白球的只数，求X，Y的联合分布律。X000123Y320120353561235235351630353535解：（X，Y）的可能取值为(i,j)，i=0，1，2，3，j=0，12，i+j≥2，联合分布律为2CC2135P{X=0,Y=2}=P{X=1,Y=1}=P{X=1,Y=2}=P{X=2,Y=0}=P{X=2,Y=1}=P{X=2,Y=2}=2C427C1C1C2623532C47C1C2C1623532C472CC23353C427C2C1C11223532C472CC23353C4273C473C473.设随机变量（X，Y）的分布密度f（x，y）=0,其他.求：（1）常数A；Ae-(3x4y)【解】（1）由f(x,y)dxdydxdyA11200得A=12F(x,y)yy12e(3u4v)dudv(1e3x)(1e4y)y0,x0,y00,00,其他(3)P{0X1,0Y2}P{0X1,0Y2}00212e(3x4y)dxdy(1e3)(1e8)0.9499.14.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，0.2）上服从均匀分布，Y的密度函数为5e5y,y0,f（y）=其他.Y0,求：（1）X与Y的联合分布密度；（2）P{Y≤X}.题6图【解】（1）因X在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X的密度函数为1,0x0.2,f(x)0.2X0,其他.而5y,y0,5ef(y)Y0,其他.所以f(x,y)X,Y独立f(x)f(y)YX10.25e5y5y,0x0.2且y0,25e0,其他.0,(2)P(YX)f(x,y)dxdy如图25e5ydxdyyxD(5e5x5)dx0.20.2dxx25e-5ydy000=e-10.3679.1.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X，最大（1）求X与Y的联合概率分布；（2）X与Y是否相互独立？345P{Xx}YXi6111223310C3105C10C10335532300112210C3105C1035101110C1025136P{Yy}i1010106161P{X1,Y3},(2)因P{X1}P{Y3}101010010故X与Y不独立2.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为cxy,xy1,22f（x，y）=0,其他.（1）试确定常数c；（2）求边缘概率密度.f(x,y)dxdy如图f(x,y)dxdy【解】（1）Dcx2ydy214c1.=1dx1-1x221得c.4X12121x2yydx2(1x4),1x1,48x20,0,其他.f(y)f(x,y)dxY21754x2ydxy2,0y1,y20,y0,其他.3.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布，Y的概率密度为1ey/2,y0,20,f（y）=Y其他.（1）求X和Y的联合概率密度；（2）设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率.1【解】（1）因f(x)1,0x1,fy()2ye2,y1,0,其他;XY0,其他.1ey/20x1,y0,故f(x,y)X,Y独立f(x)f(y)2XY0,其他.题14图a2XaY0有实根的条件是(2)方程2(2X)24Y0故X2≥Y，从而方程有实根的概率为：P{X2Y}f(x,y)dxdyx2y1dx21xey/2dy20012[(1)(0)]0.1445.4.设随机变量（X，Y）的概率密度为1,yx,0x1,f（x，y）=0,其他.求条件概率密度f（y｜x），f（x｜y）.Y｜XX｜Y题11图【解】f(x)f(x,y)dyXx1dy2x,0x1,x0,其他.1dx1,1yy0,1y1dx1y,0y1,1f(y)f(x,y)dxYy0,其他.所以1f(y|x)f(x,y)yx,||1,2xf(x)0,其他.Y|XX11y,yx1,f(x|y)f(x,y)1f(y)1y,yx1,X|YY0,其他.第三章作业三1.设随机变量（X，Y）的分布律为012345XY0123（1）求P{X=2｜Y=2}，P{Y=3｜X=0}；（2）求V=max（X，Y）的分布律；（3）求U=min（X，Y）的分布律；（4）求W=X+Y的分布律.【解】（1）{PX2|Y2}P{X2,Y2}P{Y2}P{X2,Y2}0.051,0.252P{Xi,Y2}5i0P{Y3|X0}P{Y3,X0}P{X0}P{X0,Y3}0.011;0.033P{X0,Yj}3j0}{max(,)}{（2）P{ViPXYiPXi,Yi}P{Xi,Yi}i1iP{Xi,YkP{Xk,Yi},i0,1,2,3,4,5}k0k0所以V的分布律为V=max(X,Y)012345P0(3)P{Ui}P{min(X,Y)i}P{Xi,Yi}P{Xi,Yi}i0,1,2,3,3P{Xi,Yk}P{Xk,Yi}5kiki1于是U=min(X,Y)0123P(4)类似上述过程，有W=X+Y012345678P02.设X，Y是相互独立的随机变量，它们都服从参数为分布.【证明】方法一：X+Y可能取值为n，pZ=X+Y服从参数为2n，p的二项0，1，2，…，2n.P{XYk}P{Xi,Yki}ki0kP(Xi)P{Yki}i0nnkpiqnipqkinkiikii0pkqnnk2nkikii02npkq2nkk方法二：设μ,μ,…,μ;μ′,μ′,…，μ′均服从两点分布（参数为p），则12n12nX=μ+μ+…+μ，Y=μ′+μ′+…+μ′,12n12nX+Y=μ+μ+…+μ+μ′+μ′+…+μ′,12n12n所以，X+Y服从参数为（2n,p)的二项分布.3.雷达的均匀分布.圆形屏幕半径为R，设目标出现点（X，Y）在屏幕上服从（1）求P{Y＞0｜Y＞X}；（2）设M=max{X，Y}，求P{M＞0}.题20图【解】因（X，Y）的联合概率密度为1,x2y2R2,f(x,y)πR20,其他.（1）P{Y0|YX}P{Y0,YX}P{YX}f(x,y)dy0yxf(x,y)dyxπd1Rrdrrdr0πR2π/415πRd4π/40πR23/83;1/24(2)P{M0}P{max(X,Y)0}1P{max(X,Y)0}11344.1P{X0,Y0}1f(x,y)dx0y04.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（160，202）分布.随机地选取4只，求其中没有一只寿命小于180的概率.【解】设这四只寿命为X(i=1,2,3,4)，则X~N（160，202），ii从而P{min(X,X,X,X)180}X之间独立P{X180}P{X180}1234i12P{X180}P{X180}34[1P{X180}][1P{X180}][1P{X180}][1P{X180}]12341801604[1P{X180}]41201[1(1)]4(0.158)40.00063.第三、四章练习题一、选择题1.设X~N1,1，概率密度为fx，则（）正确.B)PX1PX10.5A)PXPX000.5C)fxfx,x,D)Fx1Fx,x,XY2.已知随机变量，，则（）是正确的EXYEXEYDXYDXDYA.B.EXYEXEYDXYDXDYC.D.X,Y3.设是两个随机变量，则有()正确.A.RX,Y是X和Y的相关矩B.RX,Y是X和Y的相关矩C.RX,Y的绝对值可以大于一D.X和Y存在线性关系YbXa的充要条件RX,Y1XY4.如果与不相关,则().B.DXYDXDYA.DXYDXDYC.DXYDXDYD.X与Y相互独立5.设X,Y都是服从二维正态分布的随机变量,则X与Y不相关是X与Y相互独立的().A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要DXYDXY,则必有()正确.X,Y6.如满足a.X与Y独立b.X与Y不相关c.DY0d.DXDY07.已知随机变量X满足PXEX265,则（）A.DX23D.DX103B.DX103C.DX238.随机变量Y2X,YX~N0,1,1则服从()A.N0,1B.N1,4C.N1,3D.N1,1PX，其中，则随着的增大，概率0X~N,9．设2（）.A)单调增大B)单调减小C)保持不变D)增减不定X~N0,1Y~N1,1与相互独立，且，，则（XY）正确.A.PXY01B.PXY1122C.PXY01D.PXY1122X~B3,pPX1PX2，则为（）.p11.设，且A)B)C)D)XYA.EXYEXEY12.如果随机变量与不相关,则下列选项中错误的是().B.DXYDXDYD.DXYDXDYC.DXYDXDYa,ba0YaXbRX,Y,则为().13.若存在常数,使得D.RX,Y1aaA.1B.1C.二、填空题X~N1,41.设10.841320.977230.9987，则，且，，PX5PX4=________.=____________，PX3=_________，PX0=0.3,则=2．设随机变量X~N2,P2X42,且.EY=3．已知随机变量X~B(100,1)，则随机变量的数学期望Y2X32EX2X4．设表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则=1EX5．设随机变量服从[1,3]上的均匀分布,则=。XDX4DY9RX,YD2X3Y6.设，，=0.5，则DX3DY6D2XYY7.设随机变量X，相互独立，且，，则8．设随机变量X~N0,10,则.X9.随机变量X~B(10000,0.01)P(100000.010.01)，则用切比雪夫不等式估计。三、计算题1.已知随机变量X~Bn,p，EX2.4DX1.44，求二项分布中的参数及的值.np，且axbxc0x1，已知EX0.5，DX0.15，2f(x)X2．设随机变量的概率密度为求a,b,c的值。0其他ax,0x2EX，己知2,3P1X3=,4X3．设随机变量的密度函数为fxcxb,2x40,其它a,b,c求的值。EXDX。证明对任意常数C，都有E(XC)2DX。X4.设随机变量的数学期望为，方差为0x1xEXDXf(x)2x1x2，求，.X5.设随机变量的概率密度为0其他6.