概率论与数理统计魏宗舒答案

3232，b，b2，b3，r1，r2，r3，V(i)A={31，321(i)B={r1，〃2，-3，…写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。（1）10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。⑵一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，（i）得白球，（ii）得红球。解（1）记9个合格品分别为正1,正/…，正9，记不合格为次，则b2，b3，4个红球分别为，，厂b2，b3，4个红球分别为，，厂2，厂3，在数学系的学生中任选一名学生，令事件A表示被选学生是男生，事件B表示被选学生是三年级学生，事件C表示该生是运动员。（1）叙述ABC的意义。（2）在什么条件下ABC=C成立？（3）什么时候关系式CuB是正确的?（4）什么时候A=B成立?解（1）事件ABC表示该是三年级男生，但不是运动员。（2）ABC=C等价于CuAB，表示全系运动员都有是三年级的男生。⑶当全系运动员都是三年级学生时。⑷当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时、。一个工人生产了n个零件，以事件A,表示他生产的第i个零件是合格品（1<i<n）。用Ai表示下列事件:⑴没有一个零件是不合格品；（2）至少有一个零件是不合格品；（3）仅仅只有一个零件是不合格品；（4）至少有两个零件是不合格品。解⑴仃A；ii解⑴仃A；ii=1(2)日A=UA；i ii=1 i=1(3)（4）原事件即“至少有两个零件是合格品”iji=1 j=1j于i，可表示为UAA；

iji,j=1

i巧于是解样本点总数为=于是解样本点总数为=10。所取三条线段能构成一个三角形，这三条线段必须是3、5、7或3、7、9或多或5、证明下列各式:⑴AUB=BUA；(2)AcB=BCA(3)(AuB)uC=Au(BuC)；(4)(AcB)cC=Ac(BcC)（AUB）cC=（AcC）u（BcC）（6）p|A=UAi ii=1 i=1证明（1）—（4）显然，（5）和（6）的证法分别类似于课文第10—12页（1.5）式和（1.6）式的证法。在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。解样本点总数为A2=8X7。所得分数为既约分数必须分子分母或为7、11、13中的两个，或为2、4、6、8、128中的一个和7、11、13中的一个组合，所以事件A“所得分数为既约分数”包含A；+2A1XA5=2X3X6个样本点。8x7 14有五条线段，长度分别为1、3、5、7、9。从这五条线段中任取三条，求所取三条线段能构成一个三角形的概率。/51 ―

， 〜，、37、9。所以事件A”所取三条线段能构成一个三角形”包含3个样本点，于是P(A)=历。一个小孩用13个字母A,A,A,C,E,H,I,I,M,M,N,T,T作组字游戏。如果字母的各种排列是随机的(等可能的)，问“恰好组成"MATHEMATICIAN”一词的概率为多大？解显然样本点总数为13!,事件A”恰好组成"MATHEMATICIAN”包含3!2!2!2!个样本点。所以PP(A)=3!2!2!2!_4813!―13!在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”，求它们正好可以相互吃掉的概率。解任意固定红“车”的位置，黑“车”可处于9x10-1=89个不同位置，当它处于和红“车”同行或同列的179+8=17个位置之一时正好相互“吃掉”。故所求概率为P(A)二89一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客。电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。解每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为97。事件A”没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层，各有一位乘客离开电梯”。所以包含A；个样本点，于是A7P(A)=外。97某城市共有10000辆自行车，其牌照编号从00001到10000。问事件“偶然遇到一辆自行车，其牌照号码中有数字8”的概率为多大？TOC\o"1-5"\h\z94 (9)4解用A表示“牌照号码中有数字8"，显然P(A)=苗芯——，所以10000110J94 “P(A)=1-P(A)=1 =1-10000任取一个正数，求下列事件的概率：(1)该数的平方的末位数字是1;(2)该数的四次方的末位数字是1；(3)该数的立方的最后两位数字都是1；1 4 2解(1)答案为5。(2)当该数的末位数是1、3、7、9之一时，其四次方的末位数是1,所以答案为——5(3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，所以样本空间包含102个样本点。用事件A表示“该数的立方的最后两位数字都是1"，则该数的最后一位数字必须是1,设最后第二位数字为。，则该数的立方的最后两位数字为1和3a的个位数，要使3a的个位数是1,必须a=7，因此A所包含的样本点只有71这一点，于是(……)一个人把6根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。然后请另一个人把6个头两两相接，6个尾也两两相接。求放开手以后6根草恰好连成一个环的概率。并把上述结果推广到2n根草的情形。解(1)6根草的情形。取定一个头，它可以与其它的5个头之一相接，再取另一头，它又可以与其它未接过的3个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故对头而言有5・3-1种接法，同样对尾也有5・3•1种接法，所以样本点总数为(5-3-1)2。用A表示“6根草恰好连成一个环”，这种连接，对头而言仍有5・3-1种连接法，而对尾而言，任取一尾，它只能和未与它的头连接的另4根草的尾连接。再取另一尾，它只能和未与它的头连接的另2根草的尾连接，最后再将其余的尾连接成环，故尾的连接法为4・2。所以A包含的样本点数为(5•3•1)(4•2),于是

P(AP(A)=(5•3-1)(4-2)_8(5•3•1)2 15(2)2n根草的情形和(1)类似得/N+n-k-2/N+n-k-2、的概率为[n-kJ，0<k<n'N+n-1InJ5 4人AMeNYn-1 1入7/jMl(2)恰好有m个盒的概率为ImJIN-m-1J，N-n<m<N-1'N+n-1InJ'm+j-1)(N-m+n-j-1、⑶指定的m个盒中正好有j个球的概率为[m-1.n-jJ，1<m<N,0<j<N.解略。'N+n-1、nj某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过3分〜，、3钟的概率。 解所求概率为P(A)=5TOC\o"1-5"\h\zn一1 1在AABC中任取一点P，证明AABP与AABC的面积之比大于——的概率为——。n n2一〜1 n-1解截取CD'=—CD，当且仅当点P落入ACA'B'之内时AABP与AABC的面积之比大于——，因此所求概

nn率为P(A)率为P(A)=AA'BC有面积

AABC的面积CD'2CD2——CD'2n2CD2n2两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达。设两船停靠泊位的时间分别为1小时与两小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率。解分别用％,y表示第一、二艘船到达泊位的时间。一艘船到达泊位时必须等待当且仅当242-1x232-1x2220<x-y<2,0<y-x<1。因此所求概率为P(A)= ^―-—2 氏0.121242在线段AB上任取三点x1，x2,x3,求：(1)x2位于5与x3之间的概率。(2)Ax1，Ax2,Ax3能构成一个三角形的概率。…111—3x—x解(1)P(A)=- (2)P(B)= ^-2=13 1 2在平面上画有间隔为d的等距平行线，向平面任意地投掷一个三角形，该三角形的边长为a,b,c(均小于d)，求三角形与平行线相交的概率。解分别用A1,a2,a3表示三角形的一个顶点与平行线相合，一条边与平行线相合，两条边与平行线相交，显然P(AJ=P(A2)=0.所求概率为P(A3)。分别用A/,A」AbA^,A*表示边a,b,c，二边ab,ac,bc与平行线相交，TOC\o"1-5"\h\z则 P(A3)= P(AbuA uAb).显然P(Aa) PA^)+PAJ， P(Ab)二 P(A/+P(AJ ， …1 2 ， ， 、 1， ， 、P(A)=P(A)+P(A)。所以P(A)=-[P(A)+P(A)+P(A)]二——(a+b+c)=--(a+b+c)cacbc 3 2abc 2兀d 兀d(用例1.12的结果)己知不可能事件的概率为零，现在问概率为零的事件是否一定为不可能事件？试举例说明之。解概率为零的事件不一定是不可能事件。例如向长度为1的线段内随机投点。则事件A“该点命中AB的中点”

的概率等于零，但A不是不可能事件。甲、乙两人从装有。个白球与b个黑球的口袋中轮流摸取一球，甲先取，乙后取，每次取后都有不放回，直到两人中有一人取到白球时停止。试描述这一随机现象的概率空间，并求甲或乙先取到白球的概率。解①]解①]表示白，①2表示黑白，则样本空间Q={①]，①2，①3表示黑黑白，…，M表示黑…黑白，"b/,并且尸({”x,口{①2月bb-1a

. 口{①2月a+ba+b—1a+b—2甲取胜的概率为尸({”)+P(叫D+P(eD+…乙取胜的概率为P(忡2})+尸也J+不"6))+…设事件A,B及AuB的概率分别为p、q及r，求P(AB)，P(AB)，P(A.B)，P(A.E))解由P(AuB)=P(A)+P(B)—P(AB)得 P(AB)=P(A)+P(B)—P(AuB)=p+q—rP(AB)=P(A—AB)=P(A)—P(AB)=r—q，P(AB)=r—p设a]、A2为两个随机事件，证明：(1)P(A]A2)=1—P(A1)—P(A2)+P(A]A2);⑵1—P(.)—P(A2)<P(A1AJ<P(A]uA2)<P(AJ+P(A2).证明⑴P(A]A2);P(.uA~)=1—P(.u.)=1—P(.)—P(A~)+P(A&)(2)由(1)和P(A1AT)>0得第一个不等式，由概率的单调性和半可加性分别得第二、三个不等式。对于任意的随机事件A、B、C，证明：P(AB)+P(AC)—P(BC)<P(A)证明P(A)>P[A(BuC)]=P(AB)+P(AC)—P(ABC)>P(AB)+P(AC)—P(BC)在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订甲报的有45%，订乙报的有35%，订丙报的有30%，同时订甲、乙两报的有10%，同时订甲、丙两报的有8%，同时订乙、丙两报的有5%，同时订三种报纸的有3%，求下述百分比：(1)只订甲报的；(2)只订甲、乙两报的；(3)只订一种报纸的；(4)正好订两种报纸的；(5)至少订一种报纸的；(6)不订任何报纸的。解事件A表示订甲报，事件B表示订乙报，事件C表示订丙报。(1)P(ABC)=P(A—(ABuAC))=P(A)—P(ABuAC)=30%(2)P(ABC)=P(AB—ABC)=7%P(BAC)=P(B)—[P(AB)+P(BC)—P(ABC)]=23%P(ABCu+BAC+CAB)=P(ABC)+P(BAC)+P(CAB)=73%P(ABC+ACB+BCA)=P(ABC)+P(ACB)+P(BCA)=14% (5)P(A+B+C)=90%(6)P(ABC)=1—P(A+B+C)=1—90%=10%1.26某班有n个学生参加口试，考签共N张，每人抽到的考签用后即放回，在考试结束后，问至少有一张考没有被抽到的概率是多少？解用A表示“第i张考签没有被抽到"，i=1,2，…,N。要求pUA)。i ii=1P(A)=n，P(AA.)=-P(AiA1<i<Nn=(-1)2T所以P(WP(A)=n，P(AA.)=-P(AiA1<i<Nn=(-1)2T所以P(Wa)立(-1)i-1

ii=1 i=11.27从n阶行列式的一般展开式中任取一项，问这项包含主对角线元素的概率是多少?解n阶行列式的展开式中,任一项略去符号不计都可表示为。1「2,2…%当且仅当12…,n的排列印之…口中存在k使ik二k时这一项包含主对角线元素。用Ak表示事件“排列中*=k”即第k个主对角线元素出现于展开式的某项中。则(n—1)!1<i<n P(AA)=(n-2)!(1<i<j<n),ij n!所以A)=Z(-1)iii=1 i=1n! i=1(-1)i-1—i!1.29已知一个家庭中有三个小孩，且其中一个是女孩，求至少有一个男孩的概率(假设一个小孩是男孩或是女孩是等可能的)。解用b，g分别表示男孩和女孩。则样本空间为:P(AB)6/86其中样本点依年龄大小的性别排列。A表示“有女孩”，B表示“有男孩”，则P(BIA)= =--=-P(A) 7/8 7设M件产品中有m件是不合格品，从中任取两件，(1)在所取产品中有一件是不合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。(2)在所取产品中有一件是合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。解(1)设A表示“所取产品中至少有一件是不合格品”B表示“所取产品都是不合格品”，则P(A) P(A) 2M-m-1⑵设C表示“所取产品中至少有一件合格品”，n个人用摸彩的方式决定谁得一张电影票，D表示“所取产品中有一件合格品，一件不合格品”。则他们依次摸彩，求：(1)已知前k-1(kVn)个人都没摸到，求第k个人摸到的概率;⑵第k(k<n)个人摸到的概率。解设Ai表示“第i个人摸到"⑴P(AJ<•.Ai)=n-(k-1)n-k+1⑵P(Ak)=P(A/・9Ap=nn-1n-k+1n九k 、八132已知一个母鸡生k个蛋的概率为石e0)，而每一个蛋能孵化成小鸡的概率为p，证明：一个母鸡恰有r个下一代(即小鸡)的概率为e-即。解用Ak表示“母鸡生k个蛋”B表示“母鸡恰有r个下一代”，则1.33某射击小组共有20名射手其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手一人，四级射手能通过选拔进入决赛的概率分别是0.9、0.7、0.51.33某射击小组共有20名射手赛的概率。解用Ak表示“任选一名射手为k级”,k=1，2,3,4，B表示“任选一名射手能进入决赛”,则P(B)=VP(P(B)=VP(A)P(BIA)=kk=14八八—x0.9420-x0.7+—x0.5+—x0.2=0.645202020在某工厂里有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉，它们的产量各占25%，35%，40%，并在各自的产品里，不合格品各占有5%，4%，2%。现在从产品中任取一只恰是不合格品，问此不合格品是机器甲、乙、丙生产的概率分别等于多少？解用A解用A1表示“任取一只产品是甲台机器生产”内表示“任取一只产品是乙台机器生产”A3表示“任取一只产品是丙台机器生产”A3表示“任取一只产品是丙台机器生产”B表示“任取一只产品恰是不合格品”。则由贝叶斯公式:1.35某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为 9:3:2:11:2:3:1。当有一台机床需要修理时，问这台机床是车床的概率是多少？它们在一定时间内需要修理的概率之比为9解则P(A1)=—P(A'=11，P(A4)=5P(B1A19解则P(A1)=—P(A'=11，P(A4)=5P(B1A1)=7，P(B1A2)=I，P(B1A4)=7由贝时叶斯公式得P(A11.36有朋友自远方来访，他乘火车、1船、汽车来的话，迟到的概率分别是4、k=1轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4。如果他乘火车、轮11Q、不，而乘飞机不会迟到。结果他迟到了，试问他是乘火车来的概率是多JJL乙少？解用A1表示“朋友乘火车来”，表示“朋友乘轮船来”,A表示“朋友乘汽车来”,&表示“朋友乘飞机来”，B表示“朋友迟到了”。1.37证明：若三个事件A、B、k=1C独立，则AuB、AB及A-B都与C独立。证明(1)P((AuB)C)=P(AC)+P(BC)-P(ABC)=P(AuB)P(C)(2)PABC)=P(A)P(B)P(C)=P(AB)P(C)(3)P((A-B)C)=P((A-AB)C)=P(AC-ABC)=P(A-B)P(C)1.38试举例说明由P(ABC)=P(A)P(B)P(C)不能推出P(AB)=P(A)P(B)一定成立。解设。={%,32,巴，咒，35}，P({31})=与18P({35})=64，p({①})= p({①})=PS哈15 1A={3],34} 则 + =—，64644,、 1P(ABC)=P({'})=瓦=P(A)P(B"©但是P(AB)=P({3})=1-丰P(A)P(B)1 64设AjA2,,An为n个相互独立的事件，且p(Ak)=pk(1<k<n)，求下列事件的概率:(1)n个事件全不发生；(2)n个事件中至少发生一件；(3)n个事件中恰好发生一件。

解⑴p(Fhk)=Ilp(Ak)=FI(i-pk)⑵p(^^Ak)=1--(”)=i-Ini(i-pjk=1 k=1 k=1 k=1 k=1 k=1⑶P[U(Ak")]=工(Ak".)=工[pkH(1-p)].k=1 j=1 k=1 j=1 k=1 j=1j于k 并k jwk已知事件A,B相互独立且互不相容，求min(P(A),P(B))(注：min(羽y)表示x,j中小的一个数)。解一方面P(A),P(B)>0，另一方面P(A)P(B)=P(AB)=0，即P(A),P(B)中至少有一个等于0，所以min(P(A),P(B))=0.一个人的血型为O,A,B,AB型的概率分别为0.46、0.40、0.11、0.03,现在任意挑选五个人，求下列事件的概率。（1）两个人为0型，其它三个人分别为其它三种血型；（2）三个人为0型，两个人为A型；（3）没有一人为AB。八 （5）解（1）从5个人任选2人为0型，共有种可能，在其余3人中任选一人为A型，共有三种可能，在余下的2人127中任选一人为B型，共有2种可能，另一人为AB型，顺此所求概率为：x3x3x2x0.462x0.40x0.11x0.13x0.0168 (2)x0.462x0.402x0.1557⑶(1-0.03)5氏0.85871.42设有两门高射炮，每一门击中目标的概率都是0.6,求同时发射一发炮弹而击中飞机的概率是多少？又若有一架敌机入侵领空，欲以99%以上的概率击中它，问至少需要多少门高射炮。解用Ak表示“第k门高射炮发射一发炮弹而击中飞机”，k=1,2，…1.42设有两门高射炮，每一门击中目标的概率都是0.6,求同时发射一发炮弹而击中飞机的概率是多少？又若有一架敌机入侵领空，欲以99%以上的概率击中它，问至少需要多少门高射炮。解用Ak表示“第k门高射炮发射一发炮弹而击中飞机”，k=1,2，…，B表示“击中飞机”。则P(A^)=0.6，k=1,2,…。(1)P(A]uA2)=1-P(qA2)=1-0.42=0.84(2)P(Au…A)=1-P[Ak)=1-0.4n>0.99k=1n>lg001x5.026

lg0.4取n=6。至少需要6门高射炮，同时发射一发炮弹，可保证99%的概率击中飞机。1.43做一系列独立的试验，每次试验中成功的概率为P，求在成功n次之前已失败了m次的概率。解用A表示“在成功n次之前已失败了m次”，B表示“在前n+m-1次试验中失败了m次”，C表示“第n+m次试验成功”(n+m-1、P(A)=P(BC=P(B)P©=[m JPn-1"P)m(n+m-1、“二[m 卜(1-P)m1.45某数学家有两盒火柴，每盒都有n根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根。求他用完一盒时另一盒中还有r根火柴（1Vr<n）的概率。解用A表示“甲盒中尚余i根火柴”，用B表示“乙盒中尚余j根火柴”，C,D分别表示“第2n-r次在甲i j盒取”，“第2n-r次在乙盒取”， A0BC表示取了2n-r次火柴，且第2n-r次是从甲盒中取的，即在前2n-r-1在甲盒中取了n-1，其余在乙盒中取。所以'2n-r-1、<1、n-1In-1人2J,一,一12J 2由对称性知P（ABC）=p（ABD），所求概率为:r0 0rP(ABCuABD)=2P(ABC)=0r r0 0r第二章离散型随机变量2.1下列给出的是不是某个随机变量的分布列?101503305j

\J.JJ11021031J(3)(4)2.2(1)是(2)0.7101503305j

\J.JJ11021031J(3)(4)2.2(1)是(2)0.7+0.1+0.1中1,2 1+ +—2n 一>0,n为自然数，且Xn=1设随机变量乙的分布列为:(2)P(j<自<5))； (3)解(1)尸值=1或己=2)=所以它不是随机变量的分布列。:3，所以它不是随机变量的分布歹限4=1，所以它是随机变量的分布列。kP&—k)=15,k=1,2,3,4,5，求(1)P&—1或m=2)；P(1与<2)。 + =15155；(2)P(2<^<2)=尸&=1)+尸&—2)=5；(3)P(1<W<2)=P&=1)+P&=2)=5.2.3解设随机变量2.3解设随机变量乙的分布列为Pg=i)=。:i=1,2,3。求C的值。27所以C―卫38随机变量占只取正整数N,且Pe=n)与n2随机变量占只取正整数N,且Pe=n)与n2成反比，求白的分布歹限解根据题意知尸化-N)—CN2其中常数C待定。由于xc—C•三—1,所以C——，即白的分布列为N2 6 兀2N=1P《=N)= ，N取正整数。冗2N2一个口袋中装有m个白球、n-m个黑球，不返回地连续从袋中取球，直到取出黑球时停止。设此时取出了自个白球，求白的分布列。解设“工=k”表示前k次取出白球，第k+1次取出黑球，则白的分布列为:31设某批电子管的合格品率为4,不合格品率为4,现在对该批电子管进行测试，设第乙次为首次测到合格品，求白的分布列。k-13,k—1,2，….4一个口袋中有5个同样大小的球，编号为1、2、3、4、5,从中同时取出3只球，以白表示取出球的取大号码，求自的分布列。 解P化一k)=\/,k=3,4,5.抛掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为P(0<p<1)，设自为一直掷到正、反面都出现时所需要的次数，求白的分布列。 解Pe=k)=qk-1P+Pk-1q,k=2,3，…，其中q=1-p。两名篮球队员轮流投篮，直到某人投中时为止，如果第一名队员投中的概率为0.4，第二名队员投中的概率为0.6,求每名队员投篮次数的分布列。解设白，”表示第二名队员的投篮次数，则P化=k)=0.6k-10.4k-10.4+0.6k0.4k-10.6=0.76.0.24k-1，k=1,2，…；P(n=k)=0.6k0.410.6+0.6k0.4k0.4=0.76-0.6k0,4k-1,k=1,2，…。设随机变量自服从普哇松分布，且P&=1)=PR=2)，求尸化=4)。TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"〜 ，、 九k 九2解P(5=k)=ke4(九>0)k=0,1,2，…。由于Xe-入=—e-入,得入1=2,X2=0(不合要求)。所以\o"CurrentDocument"〜 八 24 2P0 =4)=——e-2 =—e-2。4! 3设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为7的普哇松分布，问在月初进货时应进多少件此种商品，才能保证当月不脱销的概率为0.999。解设自为该种商品当月销售数，x为该种商品每月进货数，则PCV])20.999。查普哇松分布的数值表，得x>16。如果在时间t(分钟)内，通过某交叉路口的汽车数量服从参数与t成正比的普哇松分布。已知在一分钟内没有汽车通过的概率为0.2,求在2分钟内有多于一辆汽车通过的概率。(Xt)k .解设自为时间t内通过交叉路口的汽车数，则 P化=k)= e-Xt(X>0),k=0,1,2,…k!t=1时，P化=0)=e-X=0.2，所以X=ln5；t=2时，Xt=21n5,因而PR>1)=1-PR=0)-P&=1)=(24-In25)/25氏0.83。一本500页的书共有500个错误，每个错误等可能地出现在每一页上(每一页的印刷符号超过500个)。试求指定的一页上至少有三个错误的概率。解在指定的一页上出现某一个错误的概率P=击，因而，至少出现三个错误的概率为…1 21-5利用普哇松定理求近似值，取X=np=500x =1，于是上式右端等于1-Xe-1=1-—«0.080301500 k! 2ek=014某厂产品的不合格品率为0.03,现在要把产品装箱，若要以不小于0.9的概率保证每箱中至少有100个合格品，那么每箱至少应装多少个产品？解设每箱至少装100+解设每箱至少装100+x个产品，其中有k个次品，则要求x,使0.9«火(100+x、0.03k0.97100+x-k,ccB3k利用普哇松分布定理求近似值，取X=(100+x)x0.03e3，于是上式相当于0.9VXke-3，查普哇松分布数值表，得k=0 "设二维随机变量&,n)的联合分布列为：P(&=n,n=m)=旦止包=e』Q〉0,0<p<1)m!(n-m!)m=0,1，…,nn=0,1,2，…求边际分布列。TOC\o"1-5"\h\z解P(&=n)=»P(&=nE=m)=-X—n-pm(1-p)n-m=*n=0,1,2,…n! m!(n一m)! n!m=0 m=0P(n=m)=EP(&=n,n=m)=Pm±学—n-pm(1-p)n-m=6P)me一九P m=0,1,2,…。八 m! m!(n—m)! m!n=0 n=m在一批产品中一等品占50%，二等品占30%，三等品占20%。从中任取4件，设一、二、三等品的件数分别为白、n、。，求&内工)的联合分布列与各自的边际分布列。解P(己=m,n=n,。=k)=————0.5m0,3n0,2k，m,n,k=0,1,2,3,4m+n+k=4.m!n!k!((41 P(1=m)= 0.5m0.54-m，m=0,1,2,3,4；ImJ(4一—P(n=n)= 0.3n0.74-n，n=0,1,2,3,4；1nj一.(4\ P&=k)= 0.2k0.84-k，k=0,1,2,3,4。IkJ抛掷三次均匀的硬币，以己表示出现正面的次数，以「表示正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求(己,n)的联合分布列及边际分布列。设随机变量自与“独立，且P(t=1)=P(n=1)=p〉0，又PR=0)=P(n=0)=1-p〉0，定义g=P右匕+”为偶数，问p取什么值时自与q独立?[0若己+n为奇数解P(q=1)=P&=0)P(n=0)+P&=1)P(n=1)=(1-p)2+p2而尸(己=1,q=1)=p(1=1,n=1)=p2，由p(匕=1工=1)=尸(己=1)尸(C=1)得p=12设随机变量自与“独立，且Pe=±D=P(n=±D=2,定义q=^n，证明q,白,n两两独立，但不相互独立。证明P(C=1)=P(匕=1)P(n=1)+P&=-1)P(n=-1)=1因为尸&=1工=1)=P&=1,n=1)=4=P&=1)Pq=1)P&=-1工=-1)=P&=-1,n=1)=4尸值=-1)P(q=-1)所以q,乙相互独立。同理n与q相互独立。但是P&=1,n=1<=1)中P&=1)P(n=1)P(q=1)，因而q,己,n不相互独立。设随机变量自与n独立，，且只取值1、2、3、4、5、6，证明白+n不服从均匀分(即不可能有P&+n=k)=(,k=2,3，…,12。)证明设P(W=k)=p,P(n=k)=q,k=1,2，…,6。 若P&+n=k)=：,k=2,3,…,12，则TOC\o"1-5"\h\zk k 11P&+n= 2)=pq=! (1)P&+n=7)=pq+pq+…+ pq =-1 (2)11 11 16 25 61 11

将（2）式减去（1）式，得：（-pjq1<0,于是<P|。同理％<q。因此P_A<pq=1T，与（3）式矛盾。6 11 6 1 6 1 66 11 112.24已知随机变量乙的分布列为012.24已知随机变量乙的分布列为0142 ，求”=彳己+2与C=cos己的分布列。\o"CurrentDocument"1 34）〜 … 1 〜 -兀、1 〜 -2兀、1解”分布列为 Pm =2)=，P(n =2+—)=5，P(n =2+飞-)=；l" J 4 J l"q的分布列为P(C=_1)=—，P《=0)=—，P(C=1)=—oI 乙 I2.25已知离散型随机变量占2.25已知离散型随机变量占的分布列为L12-101 3)1 1 1 11，二—一—651530)解Pm=0)=5,P(n=1)=370,P(n=4)=5,P(n=9)=3-0.（.（0 1 3\2.26设离散型随机变量自与n的分布列为J 1 3 1二 二 二12 8 8）r01）n： 12，且自与n相互独立，求C=^+n1337的分布列。解11123 4的分布列。解111111——■—42412)设独立随机变量,与n分别服从二项分布：b（k；njp）与b（k；n2,p），求>”的分布列。解设己为n1重贝努里试验中事件A发生的次数（在每次试验中P（A）=p），n为n2重贝努里试验中事件A发生的次数（在每次试验中尸（A）=p），而,与“相互独立，所以^+n为々+n2重贝努里试验中事件A发生的次数，因pkq%+n2—k ,k=0,1,,…，n+no12设己与n为独立同分布的离散型随机变量，其分布列为P&=n）=P（n=n）=3,n=1,2,…2n2k 2n-k 2nk=1求自+n的分布列。 解PG+n=n)=2P&=2k 2n-k 2nk=1k=1设随机变量占具有分布：尸化=k)=5,k=1,2,3,4,5,求E白、E52及E化+2)2。解，E匕=|(1+2+3+4+5)=3，E己2=5(12+22+3+42+52)=11e化+2)2=E工2+4E:+4=27设随机变量0具有分布：PC=k)= ,k=L2,…，求E0及D&o2k解段=£解段=£与=2£k[:k=1 k=11=2"”二g=2£k=1 k=1, 〜/八2j1 _ ,231设离散型随机变量,的分布列为：雄=（-Dk-k工'k=12…，问,是否有数学期望?解£l（-1）k11-；=£,因为级数%发散，所以,没有数学期望。k=1 k=1 k=1

用天平秤某种物品的重量（祛码仅允许放在一个秤盘中），物品的重量以相同的概率为1克、2克、…、10克，（乙组）1，2，3，4，10（克）（丙组）1，1，2，5，10（乙组）1，2，3，4，10（克）（丙组）1，1，2，5，10（克）解设A、,2、己3分别表示及甲组、乙组、丙组祛码秤重时所用的祛码数则有物品重量度910=10(1+1+2+2+1+2+2+3+3+1)=1.8所以，用乙组祛码秤重时所用的平均祛码数最少。某个边长为500解设A、,2、己3分别表示及甲组、乙组、丙组祛码秤重时所用的祛码数则有物品重量度910=10(1+1+2+2+1+2+2+3+3+1)=1.8所以，用乙组祛码秤重时所用的平均祛码数最少。某个边长为500米的正方形场地，用航空测量法测得边长的误差为:0米的概率是0.49,土10米的概率各是0.16，士20米的概率各是0.08，士30米的概率各是0.05,求场地面积的数学期望。解设场地面积为S米2，边长的误差为白米，则E5=0E”=2（102*0.16+202*0.08+302*0.05）=186所以ES=E化+500)2=E52+1000E5+250000:250186(米2)对三架仪器进行检验，各仪器发生故障是独立的，且概率分别为P1、P之、P3。试证发生故障的仪器数的数学PJP2+P3。证令自i1第i架仪器发生故障 .i=1,2,30第i架仪器未发生故障匕为发生故障的仪器数，则E。=p6=1）=p.,i=1,2,3，所以Em=E1+Em2+Em3=p1+p2+p3。如果在15000件产品中有1000件不合格品，从中任意抽取150件进行检查，求查得不合格品数的数学期望。解设，则”的分布列为i0)n15J1，因而E1=不。设,为查得的不合格品数，则5=20Q，所以E匕=20En=10。ii=1ii=1从数字0，1，…，n中任取两个不同的数字，求这两个数字之差的绝对值的数学期望。解设乙为所选两个数字之差的绝对值，则尸仁=k）=,k=1,2，…，n，于是E5=Ekk=12 2 n+2—-2[(n+1)k一k2]=--—n(n+1) 3k=1把数字1,2，…,n任意在排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称有一个匹配，求匹配数的数学1数字k出现在第k个位置上0数字k不在第k个位置上 则则k的分布列为:(10)1-1nJ于是E己=P&=1）=」，设匹配数为J则kkn&=Z己，因而E&=Xe&=1。kk=1kk=1设自为取非负整数值的随机变量，证明：（1）n=1(2)D0=2苫nP(^>n)-E0(E0+1).n=1证明(1)由于E5=£nP(W=n)存在，所以该级数绝对收敛。从而n=0E自立nP(建n)=注P化=n)=£2P(m=n)=£P0E自立nP(建n)=注n=1n=1n=1i=1i=1n=ii=1D自存在，所以级数E52=£n2P(5=n)也绝对收敛，从而n=0在贝努里试验中，每次试验成功的概率为夕，试验进行到成功与失败均出现时停止，求平均试验次数。解设成功与失败均出现时的试验次数为白，则P(自>1)=1，P(m>n)=pn-1+qn-1,n=2,3，…(q=1—p)1—p1—q p(1—p)利用上题的结论，E自=p化>1)+£P([>n)=1+£(pn-1+qn-11—p1—q p(1—p)n=2 n=2从一个装有m个白球、n个黑球的袋中摸球，直至摸到白球时停止。如果(1)摸球是为返回的，(2)摸球是返回的，试对这两种不同的摸球方式求：取出黑球数的数学期望。 解略。对一批产品进行检验，如果检查到第n0件仍未发现不合格品就认为这批产品合格，如在尚未抽到第n0件时已检查到不合格品即停止继续检查，且认为这批产品不合格。设产品数量很大，可以认为每次检查到不合格品的概率都是p，问平均每批要检查多少件？解略。流水作业线上生产出的每个产品为不合格品的概率p，当生产出k个不合格品时即停工检修一次。求在两次检修之间产品总数的数学期望与方差。解设第i—1个不合格出现后到第i个不合格品出现时的产品数为己ji=1,2，…,k.又在两次检修之间产品总数为白，则己=£己「因&i独立同分布，P6i=j)=qj-1p,j=1,2,…(q=1—p)，由此得:i=18E8E'=£jqj-1p=一i p，j=1E自2=£j2qj-1p=-_p1j=1 p2D5=E52-(E5)2=1-pp2E&=WE己=-，D己=£d己=k(1—p),=1 ip ,=1 ip2设随机变量自与“独立，且方差存在，则有D(5)=D5•Dn+(E5)2Dn+D己•(En)2(由此并可得D&ri)>DJDn)证明D(3)=E52n2-(E5)2=E52En2-(E&)2(En)2在整数0至U9中先后按下列两种情况任取两个数，记为己和n：(1)第一个数取后放回，再取第二个数；(2)第一个数取后不放回就取第二个数，求在n=k(0<k<9)的条件下自的分布列。

解⑴尸&=iIn=k)=:i=0,1，…,9.P&=iIn=k)=9(i=0,1，…,9,i中k),2.49在2.49在n次贝努里试验中，事件A出现的概率为p,令=|1在第i次试验中A出现i=12…n令i|0在第i次试验中A不出现 ,,,求在自求在自+己2+,••+己=r(0<r<n)的条件下，自(0<i<n)的分布歹限解 P(解 P(W=0I己+己+ +己=r)=P(4=0,己+…+己+己+…+己=r)f i-1 1+1 P&+匕+…+匕)prqprqn-1-r n-rnP化=11匕+匕+…+匕=r)=1-n-rrnnprqprqn-rIr)2.50设随机变量己1己2相互独立，分别服从参数为入1与入2的普哇松分布，试证:证明尸(，=k1之P(己=k工+己=n) P(己=k)P(证明尸(，=k1之由普哇松分布的可加性知11+12服从参数为九1+”的普哇松分布，所以2.51设匕1，己2,…’,为r个相互独立随机变量,且*(1<的r)服从同一几何分布,即有P也.=P也.=k)=qpk-1,k=1,2，…,(1<i<r),其中q=1-p。试证明在5]+52+•••+*=n的条件下，化工2,化工2,…工J的分布是均匀分布,即P(1=n,…工=nI5+5+ +5=n=其中n+n+ +n=n证明P('=证明P('=n］，…,己=nI0+02+…+0=P^…，&=n，&+…+&=n)P(&+…+&=n)己2，…，0己2，…，0相互独立且服从同一几何分布,所以+己2+…+己=n)= £ (0^q•pk.-1)=k,+ +k=n i=1k.=1,2,…i=1,…,rqrpn一r从而P('=n］，从而P('=n］，…,己I己+己+…+己=n)=1 2 rqrpn一r［n：；］J)qrpn一r第三章连续型随机变量3.1设随机变数自的分布函数为F(x)，试以F(x)表示下列概率:(1)P(己=a)；(2)P《<a)；(3)P(^>a)；(4)P(白>a)

解：(1)尸化=a)=F(a+0)-F(a)； (2) P化工a)=F(a +0)；(3) P也 2a)=1-F(a)；(4)P(W>a)=1-F(a+0)。32函数F(x)=士是否可以作为某一随机变量的分布函数，如果⑴-8<x<8兀0<x0<x<8，在其它场合适当定义;-8<x<0,在其它场合适当定义。解：(1)解：(1)F(x)在(-8,8)内不单调，因而不可能是随机变量的分布函数;(2)F(2)F(x)在(0，8)内单调下降,因而也不可能是随机变量的分布函数;~ |F(x)-8<x<0(3)F(x)在(-8,0)内单调上升、连续且F(-8,0)，若定义~ |F(x)-8<x<0(3)F(x)在(-8,0)内单调上升、连续且F(-8,0)，若定义F(x『1x>0二则F(x)可以是某一随机变量的分布函数。3.3兀r 「八r 「八3r函数sinx是不是某个随机变数己的分布密度？如果白的取值范围为(1)[0,-]；(2)[0,兀]；(3)[0,5冗]。解：兀 口(1)当xe[0,—]时，sinx>0且J2sinxdx=1，所以sinx可以是某个随机变量的分布密度;2 0(2)因为卜sinxdx=2丰1，所以sinx不是随机变量的分布密度；0(3)当xe[兀,3兀]时，sinx<0，所以sinx不是随机变量的分布密度。3.4设随机变数占具有对称的分布密度函数p(x)，即p(x)=p(-x),证明：对任意的a>0,有(1)F(-a)=1-F(a)=1-Jap(x)dx；(2)P(k|<a)=2F(a)-1；(3)P(同〉a)=211-F(a)]2 0证：(1)F(-a)=J-ap(x)dx=1-J8p(x)dx=1+J-8p(-x)dx=1-Jap(x)dx-8-8=1-F(a)=1-J0p(x)dx-Jap(x)dx=—-Jap(x)dx；-8 0 2 0P(kI<a=Jap(x)dx=2Jap(x)dx，由(1)知 1-F(a)=1-Jap(x)dx-a 0 2 0,故上式右端=2F(a)-1；P(11>a)=1-P(©<a)=1-[2F(a)-1]=2[1-F(a)]。3.5设F1(x)与F2(x)都是分布函数，又a>0,b>0是两个常数，且a+b=L证明F(x)=aF1(x)+bF2(x)也是一个分布函数，并由此讨论，分布函数是否只有离散型和连续型这两种类型?证：因为FJx)与 F2(x)都是分布函数，当x1 < x2时，FJx1)<FJx2)， F2(xj < F2(x2)，于是F(x)=aF(x)+bF(x)<aF(x)+bF(x)=F(x)又limF(x)=lim[aF(x)+bF(x)]=011 21所以，F(x)也是分布函数。一，1 |0取a=b=2，又令F1(x)=11F2(x)=x<00<x<1x>10这时 F(x)=11^x0<x<121x>1显然，与F显然，与F(x)对应的随机变量不是取有限个或可列个值，故F(x)不是离散型的，而F(x)不是连续函数，所以它也不是连续型的。3.6设随机变数占的分布函数为I1-(1+x)e-xF(x)T3.6设随机变数占的分布函数为I1-(1+x)e-xF(x)T0x>0 rx<0求相应的密度函数,并求尸0<D。解：—[1-(1+x)e-x]=xe-xdx所以相应的密度函数为Ixe-xx>0 2p(xT0 x<0父丘F(1)=1二。3.7设随机变数占的分布函数为0Ax21x<00<x<1求常数A及密度函数。x>1解：因为F(1-0)=F(1)，所以A=1，密度函数为12x0<x<1P(xJ0其它3.8随机变数自的分布函数为F(x)=A+Barctgx，求常数A与B及相应的密度函数。解：1兀(1解：1兀(1+x2)3.9已知随机变数占的分布函数为 P(x)=<0<x<11<x<2其它TOC\o"1-5"\h\z兀 九. 1„因为limF(x)=A+B(--)=0limF(x)=A+B—=1所以A=—,BxT-g 2 x■+<» 2 2L/、 1 1因而 F(x)=+ arctgx,p(x)=F(x)=2兀(1)求相应的分布函数F(x)；(2)求尸&<0.5),尸&>1.3),P(0.2<匕<1.2)。解：F(解：F(x)=<[x, 1.xydy=—x2,0 ,2J1ydy+[x(2-y)dy=2x-—x2-11<x<201 2\o"CurrentDocument"x>2P&<0.5)=F(0.5)=18P依>1.3)=1-P(^<1.3)=1-F(1.3)=0.245P(0.2<。<1.2)=F(1.2)-F(0.2)=0.663.10确定下列函数中的常数A，使该函数成为一元分布的密度函数。 (1)P(x)=Ae-x；। 兀兀 Ax2 1<x<2(2)P(x)= <cosx-y Vx，I (3)P(x)=< Ax 2<x<3、0 其它 0其它解：(1)卜Ae-xldx=2A卜e-xdx=2A=1所以A=1.-g 0 2'J2Ax2dx+J8Axdx="A=1所以A=—1 2 J2Ax2dx+J8Axdx="A=1所以A=—1 2 6,所以290 2‘、’

3.12在半径为R/求心为O的球内任取一点P,求自=oP的分布函数。4-TlX33所以F(x)=j(R)3解：当0<x<R时 F(x)3所以F(x)=j(R)3兀R3

33.13某城市每天用电量不超过一百万度，以己表示每天的耗电率（即用电量除以一万度），它具有分布密度为若该城市每天的供电量仅有80万度，求供电量不够需要的概率是多少？如每天供电量90万度又是怎样呢?P也>0,9)J12x(1-x)2dx=0.00370.9解：PP也>0,9)J12x(1-x)2dx=0.00370.90.8因此，若该城市每天的供电量为80万度，供电量不够需要的概率为0.0272，若每天的供电量为90万度，则供电量不够需要的概率为0.0037。3.14设随机变数自服从（0,5）上的均匀分布，求方程4X2+4以+己+2=0有实根的概率。3.14解：当且仅当 （4解：当且仅当 （4己）2-16化+2）>0(1)成立时，方程4x2+4以+己+2=0有实根。不等式（1）的解为：自>2或自<—1。13因此，该方程有实根的概率P=尸值>2)+P&<-1)=P&>2)=』5-dx=-o25 53.17某种电池的寿命自服从正态N（a,。2）分布，其中a=300（小时），。=35（小时）（1）求电池寿命在250小时以上的概率；（2）求x，使寿命在a—x与a+x之间的概率不小于0.9。解：(1)P&>250)=P(解：(1)P&>250)=P(100>-1.43)=P(自一300x(2)P(a-x<g<a+x)=P(--<匕―30035x<一<1.43)=O(1.43)氏0.9236；35 35=0(—)-O(--)=20(—)-1>0.935 35 35xx即xx即O(行)>0.95所以至>1.65即x>57.753.18设①（x）为N（0,1）分布的分布函数证明当x>0时，有 e23.18设①（x）为N（0,1）分布的分布函数证明当x>0时，有 e2.,2兀a1>1-0(x)>—L=e-

x \：2兀证：1-0(x)=1-.J2兀Jxe-工dy=-8-L=rJ8e%；2兀xdy1=e

丫2兀2.--^=x.七：2兀y22dy—)+工J8工x3工2兀xy4y22dy所以1^=e<2k1>1-O(x)>-^=ex v2t3.21证明：二元函数13.21证明：二元函数11x+y>0F（x，y）30x+y<0对每个变元单调非降，左连续，且F(-8,y)=F(x,-8)=0,F(F(-8,+8)=0,但是F（x,y）并不是一个分布函数。证：(1)设Ax>0,若x+y>0，由于x+Ax+y>0，所以F(x,y)=F(x+Ax,y)=1,若x+y<0，则F(x,y)=0。当x+Ax+y<0时，F(x+Ax,y)=0；当x+Ax+y>0时，F(x+Ax,y)=1。所以F(x,y)<F(x+Ax,y)。

数。3.23可见，F(羽y)对%非降。同理，F(羽y)对)非降。数。3.23可见，F(羽y)对%非降。同理，F(羽y)对)非降。(2)(3)(4)x+y>0时，limF(x-Ax,y)-limF(x,y-Ay)-0=F(x,y),Ax40Ay40limF(x-Ax,y)=limF(x,y-Ay)=1=F(x,y)，所以F(x,y)对x、y左连续。Ax40Ay40F(一8,y)=F(x,-8)=0,F(+8,+8)=0。P(0<^<2,0<n<2)-F(2,2)-F(2,0)-F(0,2)+F(0,0)--1,所以F(x,y)不是一个分布函设二维随机变数值,n)的密度p(x,y)-j2sin(x+y)0兀 兀——2,°—y—2求(白内)的分布函数。其它TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"兀 兀 1.解：当0<x<—,0<y<彳时，F(x,y)-P&<x,n<y)=JJy-sin(t+s)dsdt

2 2 002\o"CurrentDocument"1r.x[cot-cos(t+y)]dt=—[sinx+siny-sin(x+y)],所以x>0,yx>0,y>0

其它3.24设二维随机变数值,n)的联合密度为p(x,y)-re；x-4y求常数k；(2)求相应的分布函数；(3)求P(0<己<1,0<n<2)。解：(1)J8J8ke-3x-4ydxdy-kJ8e-3xdx--,所以k-12.00 40 12x>0,y>0时，F(x,y)-JxJy12e-31-48dtds-12(Jxe-3tdt)(Jye-48ds)=(1=(1-e-3x)(1一e-4y)，所以1(1-e-3x)(1-e-4y)F(x,y)-j0x>0,y>0其它(3)p(0〈己(3)p(0〈己<1,0<n<2)=F(1,2)-F(0,2)-F(1,0)+F(0,0)3.25设二维随机变数值,n)有密度函数p(%,y)=兀2(16+x2)(25+y2)求常数a及&,求常数a及&,n)的密度函数。J8J8p(x,y)dxdyJxJyp(t,s)dtds-8-8dtds—8—8解：-J」8—8—8—8—8解：-J」8—8—8-4AJ8兀2(16+x2)(25+y2)dxdy所以，A=20；dx J8dy兀2016+x2025+y2A-1

20兀2-8-8(16+12)(25+s2)20dt ds-一(Jx )(Jy )兀2—816+12 -825+s21. .x，兀、, ,y.兀、-——(arctg+-)(arctg-+-)兀2 4 2 5 200<x<1,0<y<1其它< 14xy3.26设二维随机变数(己,n)的密度函数为 P(x,y)-j0求(1)p(0<：<1,1<n<1);(2)p&=n);(3)p&<n);(4)p值<n)。LI(1)p(0(1)p(0<匕<2,4<n<1)=P8二")=JJ4xydxdy=0;4xydxdy=4J2xdxJ1ydy=—;0 1 644解：⑶(4)x<yp(匕<n)=13.28设&,n)的密度函数为解：⑶(4)x<yp(匕<n)=13.28设&,n)的密度函数为p(x,y)=\20"x"1,0"y-2求自与"中至少有一个小于1的概率。其它 2p[&<1)u(n<1)]=1-p&>1,n>1)解：=1-Hp(x,y)dxdy=1-J1J12dxdy=§22 22一个电子器件包含两个主要组件，分别以白和“表示这两个组件的寿命（以小时计），设&,n）的分布函数为1-e-0.01x-e-0.01y+e-0.01(x+y) x>0,y>0F(x,y)=V 求两个组件的寿命都超过120的概率。10 其匕P《>120H>120)=1-P[色<120)u(n<120)]=1-P《<120)-P(n<120)+P《<120H<120)解：=1-F(120+0,g)-F(g,120+0)+F(120+0,120+0)=1-(1-e-1.2)-(1-e-1.2)+(1-2e-1.2+e-2.4)=e-2.4氏0.09设P](x),p2(x)都是一维分布的密度函数，为使 p(x,y)=p1(x)p2(y)+h(x,y)成为一个二维分布的密度函数，问其中的h（x，y）必需且只需满足什么条件?解：若p（x,y）为二维分布的密度函数，则p（x,y）>0,JgJgp（x,y）dxdy=1-g-g所以条件(1)h(x,y)<p1(x)p2(y);(2)JgJgh(x,y)dxdy=0得到满足。反之，若条件（1），（2）满足，则p（x,y）>0,JgJgp（x,y）dxdy=1 p（x,y）为二维分布的密度函数。一g-g因此，为使p（x，y）成为二维分布的密度函数，h（x,y）必需且只需满足条件（1）和（2）。设二维随机变数值,n）具有下列密度函数，求边际分布。2e-y+1x>1,y>1其它(2)p(x,y)=口e一>2Mx>°，y<0或x<0,y>00 其它x=yP&<n)=JJ4xydxdy=J1J14xydydx=J12(x-x2)dx=—;0x 0 2

1 ， 、 c/ 、 x勺-1(y-x)k2-ie-y0<x<yp(x,y)=｛「(k)r(k)101 2 其它解：「2e-y+1 2p(x)=』s dy=一,(x>1)自1x3 x3pjx)=0,(x<1)11 ， 、 c/ 、 x勺-1(y-x)k2-ie-y0<x<yp(x,y)=｛「(k)r(k)101 2 其它解：「2e-y+1 2p(x)=』s dy=一,(x>1)自1x3 x3pjx)=0,(x<1)1L-、 1 x2x>0时，p(x)=J0e2("dy=~^=e2

匕 -g兀 v2兀x<0时，1L-、 1 x2p(x)=Jge_2(x2+y2)dy=——e一2自 0兀1 1 _y2-所以，pjx)=^=e-2。同理，p/y)=^=e-2。

自 自 \.：2九xk,-1 . 1(3)p/x)=……、尸(y-x)k2Te-ydy= xk2-1exx,(x>0)g r(k)「(k)x r(k)1 2 1证明：若随机变数占只取一个值a，则自与任意的随机变数n独立。P匕(x)=0,(x<0)证：己的分布函数为F(x)=10x<a ,1设n的分布函数、色,n)的联合分布函数分别为f(y),f(x,y)。1x>a n当x<a时，F(x,y)=P(己<x,n<y)=0=Fg(x)F(y)。当x>a时，F(x,y)=P(己<x,n<y)=P(n<y)=Fg(x)F(y)。所以，对任意实数x,y，都有F(x,y)=Fg(x)F(y)，故g与n相互独立。证明：若随机变数自与自己独立，则必有常数J使尸&=。)=10证：由于P(g<x)=P(g<x,g<x)=P(g<x)P(g<x)所以F(x)=[F(x)]2, F(x)=0或10由于F(-g)=0,F(+g)=1,F(x)非降、左连续，所以必有常数c|0使得F(x)=Lx<c/故P(g=c)=10x>c设二维随机变量(g31)的密度函数为p(x,y)=〈7x2+y2<1其它问g与n是否独立？是否不相关?1r2dy_2v1-解：pg(x)=J= 1-x2x2—,(lxl<1)；pg(x)=0,(lxl>1)02J1-y2同理，p(y)= 又因p(x,y),pg(x),pn(y)关于x或关于y都是偶函数，因而Eg=En=E&n)=0,故cov&r)=0,g与“不相关。

3.41设某类电子管的寿命(以小时计)具有如下分布密度:「3.41设某类电子管的寿命(以小时计)具有如下分布密度:「100X>100X<100一台电子管收音机在开初使用的150小时中，三个这类管子没有一个要替换的概率是多少？三个这类管子全部要替换的概率又是多少？(假设这三个管子的寿命分布是相互独立的)解：设这类电子管的寿命为J则 P也>150)=^^^^dx=2150X2 3所以三个这类管子没有一个要替换的概率为(23)3=821；三个这类管子全部要替换的概率是(1—23)3=/27°对球的直径作近似测量，设其值均匀分布在区间［a,b］内，求球体积的密度函数。解：设球的直径为J则其体积为n=1琉3°y=1-X3的反函数X=3：：6y/-,dx=2..\.;36-y2dy。由己的密度函6 6数pg数pg(x)=1(b—a),a<x<b，得n的密度函数为pn(y)=<(b一a)•3；136ky20-a3<y<-b3,6 6其它。22dt0设随机变数占服从N(0,1)22dt0解：在X>0时，尸(|己|<X)=P(—X<己<X)=卜」一XV2—所以目的分布密度 P目(X)=<2/冗•e-x2/2,(x>0);p[&(x)=0,(x<0)0设随机变数自服从N(a,。2)分布，求e自的分布密度。解：y=ex的反函数x=Iny,dx=1/y-dy。由自服从N(a,。2)分布，推得n=e自的分布密度为随机变数匕在任一有限区间la,b］上的概率均大于0(例如正态分布等)，其分布函数为F(x)，又n服从h1］上自的均匀分布。证明C="T(n)的分布函数与乙的分布函数相同。解：因为匕在任一有限区间a,b］上的概率均大于0，所以F(X)是严格上升函数。由于h1］上的均匀分布，所以q的自分布函数F(X)=P《<X)=P(仁Mn)<X)=P(n<F(X)=F(X)，对任意的X都成立。所以q与乙的分布函数相同。设随机变量自与n独立，求自+n的分布密度。若(1)乙与n分布服从(a,b)及(a,p)上的均匀分布，且a<a<b<p；(2)乙与n分别服从(—a,0)及(0,a)上的均匀分布，a>00解(1)p自(x)=1/(baa),a<x<b;p自(x)=0,其它。pn(x)=1/(p—a)a<x<p;pn(y)=0，其它。&+n(X&+n(X)二尸p(Xay).p(y)dy

a8& njmin(x—a,P)man(x一b,a)1(baa)(P—a)dy=lmin(x—a,P)-max(