初中数学：实际问题与二次函数 详解与练习(含答案)

初中数学：实际问题与二次函数详解与练习(含答案)。由题意得，两个正方形的面积之和等于17cm2，即x2+(20-x)2=17，化简得x2-40x+321=0，解得x=9或31。因为铁丝只有20cm，所以x不能大于20-x，即x不能大于10。所以剪成两段后的长度分别为9cm和11cm。（2）设剪成两段后其中一段为xcm，则另一段为（20-x）cm。由题意得，两个正方形的面积之和等于12cm2，即x2+(20-x)2=12，化简得x2-40x+308=0，解得x=4或36。因为铁丝只有20cm，所以x不能大于20-x，即x不能大于10。所以两个正方形的面积之和不可能等于12cm2。由题意得：$(x^2+20-2x)+(x^2+20-2x)-17=0$，解得：$x_1=16,x_2=4$。当$x_1=16$时，$20-x=4$；当$x_2=4$时，$20-x=16$。因此，剪成两段后的长度分别是16厘米、4厘米。不能。设第一个正方形的边长为$x$厘米，则第二个正方形的边长为$5-x$厘米，面积为$y$平方厘米。根据题意，得：$y=x(5-x)=(2.5-(x-2))^2-2.25$。因为$a=1>0$，所以$y$有最小值。解得$x=\dfrac{5}{2}$时，$y_{\min}=-2.25$，即围成两个正方形的面积的和不可能是12平方厘米。练习1、如图，正方形$EFGH$的顶点在边长为$a$的正方形$ABCD$的边上，若$AE=x$，正方形$EFGH$的面积为$y$。(1)求出$y$与$x$之间的函数关系式；(2)正方形$EFGH$有没有最大面积？若有，试确定$E$点位置；若没有，说明理由。解析：（1）由题意可得，正方形$EFGH$的边长为$a-x$，面积为$(a-x)^2$。因此，$y=(a-x)^2$。（2）正方形$EFGH$的面积为$y=(a-x)^2$，是一个开口向下的抛物线。因为$a-x\leqa$，所以面积有最大值。当$x=\dfrac{a}{2}$时，正方形$EFGH$的面积最大。因此，$E$点应该在正方形$ADHE$的中点处。例题1：如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在$l$时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面宽4米．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是$y=\dfrac{1}{2}x^2$。练习1：某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子$OA$，$O$恰在水面中心，安置在柱子顶端$A$处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过$OA$的任一平面上，抛物线形状如图（1）所示。建立直角坐标系，水流喷出的高度$y$（米）与水平距离$x$（米）之间的关系是$y=-x^2+2x+\dfrac{5}{4}$。(1)柱子$OA$的高度是多少米？(2)喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？(3)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落在池外？解析：(1)当$x=\dfrac{1}{2}$时，$y=\dfrac{5}{4}$。因此，柱子$OA$的高度为$2+\dfrac{5}{4}=\dfrac{13}{4}$米。(2)抛物线的对称轴为$x=\dfrac{1}{2}$，因此，喷出的水流距水平面的最大高度为$\dfrac{21}{16}$米。(3)当喷头向上喷水的角度为$45^\circ$时，水流的最大水平距离为$\dfrac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$米。因此，水池的半径至少要大于$\sqrt{2}$米才能使喷出的水流不至于落在池外。练习1：某玩具批发商销售每只进价为40元的玩具，市场调查发现，若以每只50元的价格销售，平均每天销售90只，单价每提高1元，平均每天就少销售3只。（1）函数关系式为：$y=120-3x$，其中，$y$表示平均每天的销售量（只），$x$表示销售价（元/只）。（2）函数关系式为：$W=(10-x)(120-3x)$，其中，$W$表示平均每天的销售利润（元），$x$表示销售价（元/只）。（3）当销售价为45元时，可以获得最大利润，最大利润为2700元。练习2：某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量$y$（千克）与销售价$x$（元/千克）有如下关系：$y=-2x+80$。设这种产品每天的销售利润为$w$元。（1）函数关系式为：$w=20y-x\cdoty$，其中，$w$表示销售利润（元），$x$表示销售价（元/千克），$y$表示销售量（千克）。（2）当销售价为40元时，每天的销售利润最大，最大利润为800元。练习3：某公司营销A、B两种产品，根据市场调研，发现如下信息：信息1：销售A种产品所获利润$y$（万元）与所售产品$x$（吨）之间存在二次函数关系$y=ax^2+bx$。当$x=1$时，$y=1.4$；当$x=3$时，$y=3.6$。信息2：销售B种产品所获利润$y$（万元）与所售产品$x$（吨）之间存在正比例函数关系$y=0.3x$。（1）二次函数解析式为：$y=0.4x^2+1x$。（2）销售A、B两种产品各5吨时，销售利润之和最大，最大利润为8万元。练习4：某市政府出台政策，鼓励大学毕业生自主创业。李明按照政策投资销售本市生产的一种新型节能灯。已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量$y$（件）与销售单价$x$（元）之间的关系近似满足一次函数：$y=-10x+500$。（1）当销售单价定为20元时，政府这个月为他承担的总差价为1000元。（2）函数关系式为：$w=10xy-x^2$，其中，$w$表示销售利润（元），$x$表示销售单价（元/件），$y$表示销售量（件）。当销售单价为25元时，每月可获得最大利润，最大利润为1875元。（3）当销售单价为25元时，每月获得的利润为2500元。政府为他承担的总差价最少为500元。5.某文具店销售一种签字笔，进价为10元/个，规定售价不得高于14元/个。以往经验表明，以12元/个的价格销售时，平均每周销售100个；若每个签字笔的销售价格每提高1元，则平均每周少销售10个。设销售价为x元/个。(1)该文具店这种签字笔平均每周的销售量为(120-2x)个。(2)该文具店这种签字笔平均每周的销售利润w与销售价x之间的函数关系式为w=(x-10)(120-2x)元。(3)当x取8元/个时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大，最大利润为960元。6.一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100辆。已知每辆车的月租金x(元)与每月租出的车辆数(y)的关系如下表：xy3000100320096350090400080(1)通过观察表格，可以得到y与x的关系式为y=-2x/25+120。(2)租出的车辆数为y，未租出的车辆数为100-y，租出每辆车的月收益为x-150元，未租出每辆车的月收益为-50元。则租出的车辆数与未租出的车辆数的关系式为y=-2x/25+120，租出每辆车的月收益与未租出的车辆每月的维护费的关系式为(x-150)y-50(100-y)元。(3)为使公司获得最大月收益，应将每辆车的月租金定为3200元。此时公司的最大月收益为312000元。四、利用二次函数解决动点问题例1如图8、9，在平行四边形ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD。一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动。过点P作直线PM，使PM⊥AD。(1)当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积。(2)当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2cm的速度匀速运动。过Q作直线QN，使QN∥PM。设点Q运动的时间为t秒(0≤t≤10)，直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为Scm。①求S关于t的函数关系式。②求S的最大值。解：(1)当点P运动2秒时，AP=2cm，由∠A=60°，知AE=1，PE=3。∴S△APE=3/4cm²。(2)①当0≤t≤2时，PM=2t，QN=0，S=2t*AE/2=AE*t。当2<t≤6时，PM=4，QN=2t-4，S=2*AE+2*PE*(t-2)=2+6(t-2)=6t-10。当6<t≤10时，PM=4-2(t-6)=14-2t，QN=4，S=2*AE+2*PE*4+(t-6)*(PM+QN)/2=14t-100。故S关于t的函数关系式为S=-t²+14t。②S的最大值为49cm²，当t=7时取得。题目：求平行四边形ABCD中两平行线截面积的最大值。解题思路：根据题目，可以用二次函数来表示面积S与平行线的距离x之间的函数关系式。然后通过求导数的方法，找到S的最大值所对应的x值。解题步骤：1.设平行线与AB的距离为x，则平行线与CD的距离为a-x，其中a为平行四边形的边长。2.根据平行四边形的性质，可以得到平行线截面积的公式S=(a-x)(x+b)，其中b为平行线与BC的距离。3.将S展开，得到S=ax-bx^2，其中a和b为常数。4.根据二次函数的性质，可以得到S的最大值所对应的x值为x=-a/2b。5.代入x的值，求出S的最大值。6.根据题目条件，分别讨论6≤t≤8和8≤t≤10两种情况，求出S的最大值。7.当t=8时，S有最大值为63。求解平行四边形ABCD中两平行线截面积的最大值，可以使用二次函数来表示面积S与平行线的距离x之间的函数关系式。通过求导数的方法，找到S的最大值所对应的x值。首先，设平行线与AB的距离为x，则平行线与CD的距离为a-x，其中a为平行四边形的边长。根据平行四边形的性质，可以得到平行线截面积的公式S=(a-x)(x+b)，其中b为平行线与BC的距离。将S展开，得到S=ax-bx^2，其中a和b为常数。根据二次函数的性质，可以得到S的最大值所对应的x值为x=-a/2b。代入x的值，求出S的最大值。根据题目条件，分别讨论6≤t≤8和8≤t≤10两种情况，求出S的最大值。当t=8时，S有最大值为63。本题考查了一元一次方程和二次函数的应用。（1）根据题意列出方程：y=-3x+240，其中y表示售价，x表示进价。（2）根据题意列出利润的函数：w=-3x+360x-9600，其中w表示利润。（3）设定售价为p元，则利润函数为：w=(p-3x)(x-320)，展开并化简得到w=-3x^2+320x-p*x+9600。求导得到w'=-6x+320-p，令w'=0得到x=53.33，代入w函数得到最大利润为1125元。因此，定价为55元时可以获得最大利润是1125元。考点：一元一次方程和二次函数的应用。销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元。这道题考察了二次函数的综合应用。我们可以用含x的式子表示文具店这种签字笔平均每周的销售量为（220－10x）个，列出函数关系式w=(220-10x)(x-10)，再运用二次函数的性质解决问题。抛物线w=-10x^2+320x-2200的开口向下，在对称轴直线x=16的左侧，w随x的增大而增大。由题意可知10≤x≤14，因此当x=14时，w最大为320。所以当x=14时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大是320元。第六题中，我们需要根据实际问题列函数关系式。由表格数据可知y与x是一次函数关系，设其解析式为y=kx+b。将（3000，100），（3200，96）