2021年医科大学《医科数学BⅡ》试卷及答案

2021年医科大学《医科数学BH》试卷

班级姓名成绩

一二三四五六总分

得分

一、填空题（共6道小题，每小题3分，满分18分）

1.微分方程y"—5y'+6y=0的通解y

2.求拉氏换L(32—sin2f)=

3.幕级数£詈/1的收敛半径R=

、,d2z

4.设z=ln（31-2y），贝（J-----=__________________・

dxdy

5.函数z=3fy-y2在（2,3）点处的最大的方向导数

6.设£）:Y+,24],贝|jJJyjl-x2-y2dxdy=.

D

一二、选择题（共6道小题，每小题3分，满分18分）

1.微分方程y"-2y'-3y=3x+l用待定系数法求特解y*时，y*的形式应设为（）.

x

(A).y=e~(ax+h)；(B).y=ax+b%

(C).y=e~xx(ax+Z?)；(D).y=e3x(ax+b).

2.级数收敛的充分必要条件().

ZJ=1

u.

(A).limu=0；(B).p=lim—^<1；(C).limS〃存在，(S〃=%+〃2+…+〃〃)；(D).<1/n2.

n—>oow〃T8〃M->00

3.幕级数的收敛域为().

n=l«

(A).[—1,1];(B).(—1,1);(C).(-1,1];(D).[-1,1).

4.函数Z=x3+"—3N一3y2的极大值点是（).

(A).(0,0)；(B).(1,1)；(C).(0,1)；(D).(1,0).

5.若/(x,y)的点(%,%)处的两个偏导数都存在，则().

(A).f(x,y)在点(%,%)沿任意方向的方向导数存在；(B).f(x,y)在点(X。,%)可微；

(C)./(羽%)在点七处连续，/(%,y)在点加处连续；①)./(x,y)在点(%,%)处连续.

6.设平面区域0:14/+y2<4,/(x,y)是在区域。上的连续函数，贝！JJJ/("2+y2)dxdy等于().

D

(A).2%J：//(r)dr；(B).2万[j；"⑺dr+j/(r)dr]；

(C).2打：炉(产)“；(D).2;r[j：//(/)dr+J”(，)dr].

得分|

三、(共2道小题，第1小题10分，第2小题6分，满分16分)

I.设％>0时，/(X)二阶导数连续，/⑴=2及/'(用一—―「誓山=公，求/(尤).

dx

力

2.解微分方程组〈

dy_

.df

得分

四、（共2道小题，每小题8分，满分16分）

1求塞级数£9的和函数’并求级数的和.

2-将函数八"三展开成'的寨级数•

得分

五、（共3道小题，每小题6分，满分18分）

1.设z=/（f+y2,e/+yb，其中/有连续偏导数，求丁孕=工包.

oxdy

2.设由方程工y+yz+zx=O,确定z=/（尤,y）,求dz.

3.某医药企业在雇用x名技术工人，y名非技术工人时，产品的产量。=-8/+12冲-3y2,若该企业只能雇

用230人，那么该雇用多少技术工人，多少非技术工人才能使产量。最大？

六'计算下列积分（共2道小题，每小题7分，满分14分）

1.^x2e-y2da,其中D是以(0,0),(1,1),(0,1)为顶点的三角形.

D

2.求积分“,+丁"麻力，其中O是由曲线Y+y2=9围成的区域.

D

《医科数学BH》试卷答案

一、填空题（共6道小题，每小题3分，满分18分）

2x3x

1.微分方程y"—5y'+6y=0的通解y=qe+C2e

.1+12

2.L(3t—sin2t)-____________________________

52(52+4)

3.塞级数身上”1的收敛半径R=.2

4.设z=ln（3x-2y）,则,。％.--——-

dxdy（3x-2yf

5.函数z=3/y—尸在（2,3）点处的最大的方向导数6737

222

6.设。:炉+V41,贝ijJJ-x-ydxdy=—7t

D3

二、选择题（共6道小题，每小题3分，满分18分）

1.微分方程y"—2），'-3y=3x+l用待定系数法求特解y*时，y*的形式应设为（）.B

(A).y=e~\ax+b)；(B).y=ax+b；

(C).y=e~xx(ax+b)；(D).y=e3x(ax+h).

00

2.级数Z““收敛的充分必要条件（）.C

n=\

存在,

(A).lim%=0；(B).p-1；(C).limS”Sfl=%++,,,+〃〃)；(D),<1/〃〜.

〃一X®AT811

un

3.累级数£上的收敛域为().D

7=\〃

(A).[—1,1];(B).(―1,1)；(C).(-1,1]；(D).[-1,1).

4.函数Z=》3+y3—3N-3y2的极大值点是().A

(A).(0,0)；(B).(1,1)；(C).(0,1)；(D).(1,0)

5.若/（x,y）的点（后,%）处的两个偏导数都存在，则（).C

(A)y)在点(%,%)沿任意方向的方向导数存在；(B)/(演y)在点(玉,%)可微；

(C)/(演％)在点/处连续，/(%,丁)在点儿处连续；(D)/*~)在点(%,％)处连续.

6.设平面区域。:14犬+丫2«4,7(%乃是在区域。上的连续函数，则”/(也、域)dxdy等于().A

rf(r)dr；(B)2;r[j,R(r)dr+J：力r)dr

JI“',Jo”、

得Fl

三、供2道小题，第1小题10分，第2小题6分,,满分16分)

1.设无＞()时，/(x)二阶导数连续，/(1)=2及/'(幻—丛»-

dr=f,求/(x).

X)Jit-

解对方程两边求导

/〃(x)-y⑴:/⑴一驾=2x,即f\x)-^-=2x(3分)

XXX

dpdPP

令r(x)=P，则＞f(x)=手,于是与一上=2x.(1)

axaxx

dPP11

对应齐次方程-----=0,即一。/尸二一公，lnP=lnx+lnC；,即对应齐次方程通解P=G%

dxxPx

令非齐次方程通解P=G(x)x

代入非齐次方程(1),得G'(x)x=2x,即C；(x)=2,则G(x)=2x+G

所以非齐次方程通解尸=2/+Cx(2)

将x=l代入方程，得/'(1)一彳

--0=1,即八1)=3；

得G=1；于是(2)式为也2=2/+x(8分)

将尸⑴=八1)=3代入⑵式，

dx

21

贝1]/(》)=丁3+丁2+6,(3)

S

二一，所以/(1)=7*丁+1上M+e5.a。分)

将/⑴=2代入(3)式，得。2=

6326

dx

—

2.解微分方程组4

dy

-^-=X.

Idz

„,dx㈤dyd-rdvd~xd2x

解h法一由—=y得———-f.将其代入”=无，得野=工，即W—x=0.(2分)

dzdfdt2drdr2dr2

2

dx

特征方程r2-l=0,特征根a=—1,r,=1.—一x=0的通解为％=CQ+.(4分)

dr

将其代入*=y,得y=C}e'-C2e-'.

x=Ce'+Ce~',

所以方程组的解4i2（6分）

,,

y=C1e-C2e~.

法二设L(x)=X(s),L(y)=y(s)（2分）

5x(0)+y(0)

X(s)=

sx(s)-x(o)=y(s),--

对方程组每一方程两边取拉氏变换，得《即

sy(s)—y(O)=X(s),y(O)s+x(0)

y（s）

5-1

x(O)+y(O)XO)-y(O)

="+C21

X(s)=2+2

5-15+154-1

所以（4分）

x(0)+y(0)x(0)—y(0)

22

丫⑸=Cj——C2

5-15+115-125+l

x=Cet4-Ce~\

故方程组的解4l2（6分）

,,

y=C1e-C2e~.

得分

四、（共2道小题，每小题8分，满分16分）

求塞级数或的和函数，并求级数

1.的和.

“=1

解设s(x)=V—

〃=1〃

1/1I

p=vlim----/—=1fR=—=1,

8774-1nP

户一时，之出收敛；x=l时，£二=宜3」1发散,故收敛域［-1,1）.

(3分)

n=l几n=\几nn=lin

81

=Vx/,-1=----

占17

%x"rx1

s(x)=V—=j----dr+.v(O)=-ln(l-x)

Z?nJo1-x

s(—1)=—ln2于是s(x)=£—,xe[—1,1).

〃=in

取x=L得之」一=ln2

（8分）

2£n2"

2.将函数/（x）=l—展开成x的霜级数・

x~+x—2

3r111

解：=—=3x------------=x()（3分）

X2+X-2(X+2)(X-1)x—1x+2

-2茏£^工”"A-!%，

〃=0乙M=0

（8分）

w=0N

五、（共3道小题，每小题6分，满分18分）

1.设Z=/（f+y2,e，2+>2）,其中/有连续偏导数，求丁丝=8空.

dxdy

解自=小2H《.2加2=2x（小产。，）

（2分）

OX

字=/'•）力'•（；+小+『人'）

2+2"+/=2yf（4分）

则产=y-2x(f；•+/+”=2盯"'.+/+"')，

OX

dzdz

所rrH以Iy—=x—（6分）

oxoy

2.设由方程乙y+yz+»=0,确定z=/(x,y),求dz.

mdzdz八目「|Szy+z.dzx+z

解y+y—+z+x—=0,即一=------,由对称性一二-------（4分）

dxdxdxx+ydy尤+y

,dz.dz.y+zix+z,

dz=—CLXH-----ay=--------dx---------dy.（6分）

dxdyx+yx+y

3.某医药企业在雇用x名技术工人，y名非技术工人时，产品的产量。=-8/+12冲-3/,若该企业只能雇

用230人，那么该雇用多少技术工人，多少非技术工人才能使产量。最大？

解：F（x,y,2）=-8x2+12xy-3y2+A（x+y-230）（2分）

工=-16x