微积分第二节法则

第二节洛必达法则一、xfi

a时的00型未定式二、当x

fi

¥

时的00型未定式及当x

fi

a¥或x

fi

¥

时的¥

型未定式三、0

¥

、¥

-

¥

、00

、1¥

、¥

0

型未定式一、x

fi

a

时的

0

型未定式解法

:

洛必达法则0如果当x

fi

a

(或x

fi

¥

)时，两个函数定义例如,lim

tan

x

,xfi

0x+xfi

000(

)lim

ln

sin

2

x

,

(

¥

)ln

sin

3

x

¥极限limxfi

a(

xfi

¥

)f

(x)与g(x)都趋于零或都趋于无穷大，那么g(

x)f

(x)可能存在、也可能不存在．通0或

型未定式.常把这种极限称为¥0 ¥g(

x)

g¢(

x)那么lim

f

(

x)

=

lim

f

¢(

x)

=

A(或为¥

).g¢(

x)(3)lim

f

¢(x)=A

(或为¥

);xfi

axfi

axfi

a设当x

fi

a时,函数f

(x)及g(x)都趋于零; 在a

点的某去心邻域内,f

¢(x)及g¢(x)都存在且g¢(x)„0;定理证明见课本P143这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.例1解.tan

x求limxfi

0x(

x)¢(tan

x)原式=limxfi

01sec2

x=

1.0(

)0=

limxfi

0注：也可以用等价无穷小代换公式直接求。解.23x3

-

3

x

+

2xfi

1

x例2

求

lim2-

2

x

-

1-

x

-

x

+

13

x2

-

3xfi

1

3

x原式=lim=

lim6

x3xfi

1

6

x

-

2

2=

.)00(注：也可以用分解因式约去零因子来求。如果

f

(

x

)

仍属

0

型，且

f

¢(

x

),

g¢(

x

)

满足g¢(

x

)

0定理的条件，可以继续

使用洛必达法则，即g(

x)

g¢(

x)

g¢(

x)lim

f

(

x)

=

lim

f

(

x)

=

lim

f

(

x)

=

.xfi

a

xfi

axfi

a例3.计算0x

3lim

x

-

sin

x

(0

)xfi

0解：x3xfi

0lim

x

-

sin

x3

x2xfi

0=

lim

1

-

cos

x23

xx

2

/

2=

limxfi

0(1

-

cos

x

~

x2

/

2=1/66

x

6

6=

lim

sin

x

=

lim

cos

x

=

1xfi

0xfi

0注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法（如等价无穷小代换）结合使用，计算过程中注意结合化简等，效果更好.注：可将极限存在的非零因子分离出来不参与洛必达法则的运算.xfi

0

(2

+

sin

x)

tan3

xx

-

sin

xlim

=121例4.

求lim

tan

x

-

x

.xfi

0

x

-

sin

x解:002sec

x

-

1lim

=

limtan

x

-

xxfi

0

1

-

cos

xxfi

0

x

-

sin

xxfi

0

1

-

cos

x2=

lim

tan

x

(仍为“

”0021

x

2xfi

02=

lim

x

=

2化简(等价无穷小代换)二、当x

fi

¥

时的00型未定式及当x

fi

a

或x

fi

¥

时的¥

型未定式¥如x

fi

a时的未定式¥

型的洛必达法则为：.a,或x

fi,

以及x

fi

0

0当x

fi¥¥时的未定式

,

都有相应的洛必达法则¥¥

时的未定式¥g(

x)

g¢(

x)g¢(

x)(1)

lim

f

(

x)

=

lim

g(

x)

=

¥;xfi

axfi

a那么lim

f

(

x)

=

lim

f

¢(

x)

.xfi

a(3)lim

f

¢(x)=A

(或为¥

);xfi

a

xfi

a(2)在a

点的某去心邻域内,f

¢(x)及g¢(x)都存在且g¢(x)„0;如果例5解.21xp

-

arctan

x求limxfi

+¥x2-

1

+

x2原式=limxfi

+¥

1-12x2=

limxfi

+¥

1

+

x=

1.0(

)0例6解.ln

sin

3

xln

sin

2

x求limxfi

0+原式

=

lim

2

cos

2

x

sin

3

x

=

lim

cos

2

x

=

1.xfi

0+)(¥¥3

cos

3

x

sin

2

x

cos

3

xxfi

0+例7解2xfi

p

tan

3

x求

lim

tan

x

.sec2

x2xfi

p

3sec 3

x原式=lim2

21 cos2

3

x3

xfi

p2cos

x=

lim=

1

lim

-

6cos

3

x

sin

3

x

=

lim

sin

6

x23

xfi

p2-

2cos

x

sin

x

xfi

p

sin

2

x2=

lim

6cos

6

x

=

3.xfi

p

2cos

2

x¥(

¥

)

0

0

练习求lim

tan

x

-x

.解

原式

=

limxfi

0x2

tan

xxfi

03tan

x

-

xx2sec2

x

-

13

x=

limxfi

031tan2

x=

limxfi

02=

limxfi

0

3

xx

223

x=三、0

¥

,

¥

-

¥

,00

,1¥

,

¥

0

型未定式关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可步骤:¥01.

0

¥

型0

¥

1

¥

,

或

0

¥

0

1

.0

¥解决的类型：0

或¥

型.例8求

lim

x-2ex

.xfi

+¥(0

¥

)xfi

+¥

2

xe

xxe

xxfi

+¥解原式=lim=

lim22=

limxfi

+¥ex=

+¥

.练习.求e-

xxfi

+¥lim

x

2解：原极限

=

lim

x

2

/

e

xxfi

+¥=

lim

2

x

/

exfi

+¥x=

lim

2

/

e

=

0xfi

+¥x若

limf(x)g(x)

为(0

¥

)

应该将

f或

g中哪一个函数除到分母上去呢？通常可以按照“反对幂三指”排，序，排在前面的函数不动，排在后面的除到分母上.x101001

000ln

x2.34.66.9x3.21031.6x2100104106e

x2.2

·1042.69

·10431.97

·10434下表列出了x

=10,100,1000

时，函数lnx,

x,

x2,ex相应的函数值，可以看出各个函数增长的情况。例9.求lim

xa

ln

x

(a

>0).xfi

0+解：

lim

xa

ln

x

=x

fi

0+

ln

x

x-alimx

fi

0+=

limxfi

0+1

/

x-

axxa-a-1

=¥(“¥

”型)=

0=

limxfi

0+-a-ax-alimxfi

0+1如果化为：01(

型)lnxxalimxfi

0+“

0”会怎样呢？(0·¥

)例10解sin

x

x-

1

).1xfi

0求lim(x

sin

x原式=lim

x

-sin

xxfi

02

x

2

x1

x2xfi

0xfi

0=

lim

1

-

cos

x

=

lim

2

=

0.x

2xfi

0=

lim

x

-

sin

x0

00

0(

¥

-

¥

)步骤:

¥

-

¥

1

-

1

0

-

0

.2.

¥-¥

型步骤:3.

00

,1¥

,¥

0

型

0

ln

¥

¥

0

ln

0取对数fi

1¥¥

0

00

ln1

0

¥

.（幂指函数）f

(

x)g

(

x

)

=

e

g

(

x

)ln

f

(

x

)例11

求lim

xx

.xfi

0+解(

00

)x

ln

xxfi

0+原式=lim

elim

x

ln

xx

fi

0+=

e1lim

x

x

fi

0+

-

1=

e=

e0=

1.1xlim

ln

xx

fi

0+=

elim

(-

x

)x2

=

e

xfi0+例121求lim

x1-x

.xfi

1(

1¥

)ln

x1解原式=lim

e1-xxfi

1lim

ln

xxlim

-1=

ex

fi

11-

x

=

e

xfi

1-1=

e

.x

-111另解：原式=lim(1

+x

-1)1-xxfi

1-=

lim(1

+

x

-

1)xfi

1=

e-1例13解1求lim

(cot

x)ln

x

.xfi

0+(

¥

0

)

1

ln(cot

x

)=

e

ln

x

1

(cot

x)ln

xln(cot

x)ln

x1+xfi

0

lim1x-

cot

x

sin2

x=

limxfi

0+1

1-

x=

limxfi

0+

cos

x

sin

x=

-1,\原式=e-1

.例14解求lim

x

+cos

x

.xxfi

¥1xfi

¥xfi

¥极限不存在分析

原式=

lim

1

-

sin

x

=

lim(1

-

sin

x).洛必达法则失效。xxfi

¥原式=

lim(1

+

1

cos

x)

=

1.注意：洛必达法则的使用条件．g(

x

)lim

f

(x

)仍可能存在,此时洛必达法则失效.lim

f

(x

)不存在时(等于无穷大的情况除外),g¢(

x

)洛必达法则不是万能的，洛必塔法则失效的情形计算limxfi

0x

xsin

x

cos

xx

2

sin

1

2

x

sin

1

-

cos

1x

=

limxfi

0失效之一 极限不存在解：原极限=limxfi

0xx2

sin

1xx

=

lim

x

sin

1

=

0xfi

01

+

x

21

+

x

2=

limxfi

+¥=

limxfi

+¥xx又如=

11

+

(1

/x2

)1解：原极限=

limxfi

+¥失效之二 循环1

+

x2limxfi

+¥xx

-

xe

x

-

e-

xxfi

-¥

e+

elim又如使用洛必达法则注意事项：每用一次洛必达法则后，都要再检验能否继续用；要善于利用第二章中的方法，简化极限的计算；注意洛必达法则失效的情形;可能使用洛必达法则.0

¥1）只有(0

),(¥

)才有洛必达法则；0

¥5）其他类型的未定型，只有先转化为

(0

),(¥

)

后才有四、小结练习:1xfi

¥t

2t

fi

0t

3解：令t

=1/x,x

fi

¥

t

fi

0原极限=lim

1

-sin

t

/t

=lim

t

-sin

tlim

x2[1

-x

sin(1/x)]

2.求t

fi

03t

2t

fi

06t=

lim

1

-

cos

t

=

lim

sin