第三章 幂级数展开

第三章幂级数展开第1页，课件共16页，创作于2023年2月

当复数项级数收敛时,取p=1时,其一般项ωk→0.

另外若N与z无关,称复数项级数为一致收敛.

因为

所以当(3)式收敛时,称(1)式的级数绝对收敛.

Weierstrass定理:设ωK(Z)是闭区域中

解析函数,且级数(1)在B上一致收敛则级数之和f(z)也是B上的解析函数.

证明:因为第2页，课件共16页，创作于2023年2月

3.2幂级数

在一般复数项级数中,我们将重点讨论幂级数.幂级数的一般形式:

对幂级数的收敛情况我们与正项级数相对比,并引入收敛半径R.第3页，课件共16页，创作于2023年2月

用收敛圆方法能知道级数在圆内绝对收敛,在圆外发散,而在圆周上用此方法不能确定级数是收敛或发散.必须对具体问题进行分析,用另外方法来确定其是收敛还是发散.

因为由Weierstrass定理可知幂级数的和在收敛圆内为解析函数,故可逐项求导与积分,且求导与积分后收敛半径不变.

下面我们两个级数的相乘,当两个绝对收敛级数相乘仍是收敛的.设有两个级数第4页，课件共16页，创作于2023年2月

3.3Taylor级数展开

从上节我们知道幂级数之和在收敛圆内为解析函数,下面我们研究此问题的逆问题,即解析函数展开为幂级数的问题.

Taylor级数展开定理:设f(z)在以z0为圆心半径为R的圆内解析,则对圆内任意一点z,f(z)可展为幂级数.第5页，课件共16页，创作于2023年2月

一些常用的Taylor展开式:

上述三式的收敛半径都为无限大.

需要说明的是一般情况下不一定能求出通项,而在实际近似计算中一般也只需要前几项.第6页，课件共16页，创作于2023年2月

另外Taylor展开是唯一的,证明如下:

设f(z)在以z0为圆心半径为R的圆内解析,若f(z)的展开式不唯一,设有两个展开式.

所以Taylor展开是唯一的,此唯一性说明同一个函数在同一个区域内的展开式是唯一的,而不管你用什么方法做出.

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例题:在z0=0的邻域上求arctgz的Taylor展开式.

解:

若函数f(z)在无穷远点仍是解析函数,那末在无穷远点作展开时只需作变换:

此时在t=0处的展开相当z在无穷远点展开.第8页，课件共16页，创作于2023年2月对泰勒展开的收敛半径一般需要由通项来求出,

但我们也可通过f(z)的奇点来求出.收敛半径等于展开中心z0点到f(z)最近奇点之间的距离.例如求tgz在z=0展开时收敛半径.解:tgz的奇点z=n+/2,故收敛半径R=/2.第9页，课件共16页，创作于2023年2月

3.4解析延拓

在实际计算中我们经常遇到函数定义城扩大问题,对解析函数这个问题就是解析延拓.

若单值解析函数f(z)是定义在区域D内,如果另有一个解析函数F（z）是定义在区域B内,D∈B,且满足F(z)=f(z),（在D内）而B内其他区域F(z)=g(z),则F(z)就是f(z)向区域B的解析延拓.实际应用时主要是为了方便于运算.第10页，课件共16页，创作于2023年2月

引理:若F(z)在某区域B上解析,且在B内的某个子区域D上恒为零,则F(z)在整个区域B上恒为零.证明:选D内一点z0,把F(z)作Taylor展开,

解析函数的零点是孤立的.故解析延拓是唯一的.例如等式成立条件|z|

<1,而左式的定义域远大于右式.且在数学运算上也比右式方便.第11页，课件共16页，创作于2023年2月

3.5LaurentSeries因为解析函数的奇点往往是孤立的,为了研究函数在奇点附近的性质,需要在挖去奇点后的复连通区域内把函数作展开.另外奇点在物理学中有着特别重要性质.定理:设f(z)在环域R1≤|z-z0|≤R2内单值解析,则对于这环域内的任意一点z,f(z)可以展开为:C为环域内任意一条以逆时针方向绕内圆一周的闭合曲线.第12页，课件共16页，创作于2023年2月

Laurent展开的特点:

1.Laurent展开是唯一的

证明:若f(z)在环域上的展开式不唯一,有两个表示式

C为环域上任意一逆时针方向的闭合曲线.

2.Laurent展开是有负幂次项,它与内圆内的奇点有关.当内圆内无奇点时负幂次项的系数为零,Laurent展开式就退化为Taylor展开式.第13页，课件共16页，创作于2023年2月

3.Laurent展开的系数

因为此时为复连通区域.

4.Laurent展开式一般是有负幂次项,而当z趋于z0时,负幂次项趋于无穷大,它反映了奇点的性质.

例题:求函数在下列区域的展开式

1)1<|z|<3,2)3<|z|3)0<|z+1|<2

解:第14页，课件共16页，创作于2023年2月

3.6孤立奇点的分类

对于解析函数f(z)的孤立奇点z=z0,在挖去奇点的环域上作Laurent展式:

由展开式的情况,将奇点分为三种类型:

1)可去奇点

展开式中无负幂次项,性质

2)m阶极点

展开式中有有限项负幂次项,其最高的负幂次项为

3)本性奇点:

展开式中有无穷多项负幂次项,第15页，课件共16页，创作于2023年2月

对无穷远点,只需作变换令Z=I/t,此时正幂次项为发散的,奇点性质按正幂次项来定义.

例题1:判别ctgz在z=nπ处的奇点性质.

解:由