群论基础-第1章 群的基本知识

第一部分群论基础

第一章群的基知识一、对称性与化学在化学中引进对称性有悠久的历史公元前540年Pythagorras学派直观地使用对称性认出分子中有哪些原子是等同的，鉴别分子中等同原子的组数，进而确定可能存在的取代分子的种数。如二群论理论的历史Evaristegalois(1811-1832)最早在方程论的著作中首次引入群的概念，后提出置换群理论。ArthurCayley(1821-1895)定义了广义抽象群的概念，发展了矩阵理论。GeorgeFerdinndFrobenius(1849-1917)德国代数学家。提出群表示理论和群的特征标的概念群论最早的应用之一是在晶体结构研究方面，后应用于X-衍射分析，其代表人物为HermanWeyl和EugenepaulWignerWeyl(1885-1955)自然界的和谐可以用数学定律来表示，创造了连续群矩阵表示的广义理论，并发现量子力学的许多规律可用群论得到。Wigner(1902-?)将群论应用于原子核原子核问题。1963年与他人一起获得诺贝尔物理奖。H.A.Bethe(1906-?)应用群论于晶体本质有关问题。

P.1二、

群及其性质

1群的定义:

元素(数学对象)的集合{A,B,C,D-----}具备下列条件,构成群.(1)封闭性,AB=C(2)结合律,A(BC)=(AB)C(3)单位元(不变元素)E,EA=AE=A(4)逆元A-1,AA-1=A-1A=E

2群的性质:P.2(1)E-1=E,E的逆元仍为E,(2)(A-1)-1=A,逆元之逆元为元素本身(自证)(3)(AB)-1=B-1A-1

证明:∵(AB)-1=(AB)-1E=(AB)-1AA-1=(AB)-1AA-1E=(AB)-1AEA-1=(AB)-1A

(BB-1)A-1

=

(AB)-1(AB)

B-1A-1=EB-1A-1=B-1A-1

∴(AB)-1=B-1A-13群阶:

群元数有限群(h):群中所含元素个数有限。如：C2v,D3h

无限群(∞):群中所含元素个数无限。如：C∞v,D∞h4可换群:(阿贝尔群)

群乘与群元的顺序无关

AB=BA三群元和群乘P.31数群:

以数为群元，以数学运算为群乘，构成数群

例(1)：全部正负整数(包括0)的集合，群乘为加法

E=0，A=n,A-1=-n

这是无限群、可换群

例(2)：全部正负整数(不包括0)的集合，群乘为乘法

E=1，A=n,A-1=1/n

提问：这是不是群？为什么？答案：不是，因为A-1=1/n不是整数，A没有逆元。

2置换群P.4

以变换位置的操作为群元，以相继操作为群乘，构成置换群例:Z3

群(三位置置换群)┌123┐∣∣表示将1、2、3处之物分别放於2、3、1处，└231┘

┌123┐[A][B][C]→∣∣→[C][A][B]└231┘Z3群由以下六元素构成：P.5

┌123┐┌123┐┌123┐e=∣∣a=∣∣b=∣∣└123┘└213┘└132┘

┌123┐┌123┐┌123┐c=∣∣d=∣∣f=∣∣└321┘└231┘└312┘可以证明它们符合群的四个基本条件

3矩阵群:P.6

以矩阵为群元，以矩阵乘法为群乘，构成矩阵群例d3

群┌100┐┌010┐┌100┐e=∣010∣a=∣100∣b=∣001∣└001┘└001┘└010┘

┌001┐┌001┐┌010┐c=∣010∣d=∣100∣f=∣001∣└100┘└010┘└100┘

封闭性：ad=b,bd=c,d2=?

4

对称群

以对称操作为群元，以相继操作为群乘，构成对称群例D3

群

E不动C绕C轴转180o

A绕A轴转180oD顺时针转120o

B绕B轴转180oF逆时针转120o(2)

氨分子所在的C3v群的乘法表：（也满足群的四个条件）C3vÊĈ31Ĉ32ÊÊĈ31Ĉ32Ĉ31Ĉ31Ĉ32ÊĈ32Ĉ32ÊĈ31ÊĈ31Ĉ32Ĉ32ÊĈ31Ĉ31Ĉ32ÊNH3分子

P.8

5列表群的名称群元群乘举例数群数运算(加、乘等)例(1)

置换群置换相继置换Z3群矩阵群矩阵矩阵乘法d3群对称群对称操作相继操作D3群

四

群表及群表定理P.91群表：群元的乘积表例：d3群：ad=b,bd=c,d2=fD3群:AD=B,BD=C,D2=F

EABCDFEEABCDFAAEDFBCBBFEDCACCDFEABDDCABFEFFBCAED

[提问：D3群是不是阿贝尔群？][答案：不是，因为AB(=D)≠BA(=F)]

习题:试证明D3群群表最后一行的偶数位,即证明

FA=B,FC=A,F2=D*群表即群:群的信息全部在群表中，群表即群

[思考题：你能找出d3

,D3及Z3

群之间的内在联系吗?][答案:(1)D3群的对称操作可视为三角形三顶点位置的置换；

(2)D3

群和Z3

群的操作都可表示为3×3的变换矩阵。

(3)它们的群表相同，就数学而言它们是同一群；

d3

群=Z3

群=D3

群]3群表定理（重排定理）

G：{E，A2，

A3，A4---------Ah}

AkG

:{Ak，

AkA2，AkA3，AkA4---------AkAk

}中或GAk

:{Ak，

A2AK，A3Ak，A4Ak---------AkAk

}中每个元素必然出现并只出现一次(只是重排)，即群G被其中的元素左乘或右乘仍为该群G.(群中群论无顺序)

Ak

G=G

Ak

=G*五

子群和陪集P.121

子群(subgroup)(1)定义：群G中集合S在相同的群乘下构成的群，为G

的子群

(2)显然子群：（1）E，（2）G(3)子群S的条件和检验:（1）不变元素；（2）逆元；（3）封闭性.[提问：集合律是否需要检验？为什么？][答案：群乘不变，集合律自然满足]

例，[提问：以下哪些集合是D3

群的子群？(根据群表){E}，{E，A}，{E，B}，{E，D}，{A，F},{D，F}{E，A，F}，{E，D，F}][答案：{E},{E,A},{E,B},{E,D,F}]*

2陪集（coset）P.13

子群S

G，又X

G，但X

S

则，SX为S关于X的右陪集,XS为S关于X的左陪集（若X

S，则XS=SX=S）[提问:为什么?][答案:群表定理]

例：D3

群中子群的陪集（1）子群：S={E，D，F}；

陪集：{A，B，C}（=A{E，D，F}={E，D，F}B）（2）子群：{E，A}；

陪集：{B，F}，（=B{E，A}=F{E，A}）

{B，D}，（={E，A}B={E，A}D）

{C，D}，（=C{E，A}=D{E，A}）

[提问：陪集是不是群？为什么？][答案:不是。因为没有E](其普遍性证明见后)*

3陪集定理：陪集SX

和SY要么完全相同，要么完全不同（即若有一共同元，则全同）4子群阶定理:若子群S

群G

则子群S的阶g必然是群G阶h的正整因子

六

类及其性质P.161共轭（conjugate）

(1)共轭元（conjugateelement）

若B=XAX-1

（A，B，X

G）

则A，B共轭，即A，B互为共轭元

(2)共轭的传递性若A与B共轭，B与C共轭，则A与C共轭证明：若B=XAX-1，C=YBY-1

则C=YBY-1=Y(XAX-1)Y-1=YXAX-1Y-1

=(YX)A(YX)-1=ZAZ-1(Z=YX

G)

故C与A共轭

(3)相似矩阵矩阵群中彼此共轭的元为彼此相似的矩阵*

2类:群G中彼此共轭的群元构成类P.17

对于类C,自然有XCX-1=C(X为群G中任一群元)[提问:为什么?]3类的性质

(1)单位元自成一类（XEX-1=E）

(2)类相互独立，彼此无共同元[提问：为什么？][答案：如有一共同元，则为同一类（类的传递性）](3)除E以外，所有的类都不是群[提问：为什么？][答案:缺E][提问:为什么缺E][答案:E自成一类](4)对于矩阵群，同类的元具有相同的矩阵迹(又称特征标)[提问：为什么？][答案：矩阵相似变换，矩阵迹不变]*

4分类P.18(1)基本方法：利用群表寻求共轭元，进行分类

(2)可换群：每元素自成一类证明:∵XA=AX(可换群)∴(两边右乘X-1)

XAX-1=AXX-1=A(3)转动群中两转角相同的转动操作，若其转轴可由群中某一操作相互转换，则该二转动操作同类

XAX-1=B(OA轴

OB轴)(绕OA轴转θ角)(OB轴

OA轴)=(绕OA轴转θ角)(4)D3群的分类（可自己练习）分类方法：（1）利用群表寻求共轭元（2）根据第3条分类结果：（1）{E}（E自成一类）（2）{D，F};{A,B,C}各为一类习题:试将D3群分类,并根据群表证明之.*

七

不变子群P.191定义：有子群N

G

若XNX-1=N

或XN=NX（X为G中的任一元素）则N为不变子群

2性质

(1)不变子群必包括一个或几个完整的类（即不变子群由完整的类构成）证明：若群元C

N(注意群元C与类C不同)

则XCX-1

N（∵XNX-1=N,C

N）

即类C

N（∵XCX-1=C）

(即类中若有一元素属于N，则整个类属于N)*(2)含一个或几个完整类的子群是不变子群P.20

证明：若

子群S=C1+C2

(以两类为例)

∵XC1X-1=C1，XC2

X-1=C2

∴XSX-1=X（C1+C2）X-1=XC1X-1+XC2

X-1=C1+C2

=S

即S为不变子群

(3)不变子群的两个陪集相乘（包括自乘）必为一个陪集或不变子群自身证明：N为G的不变子群

NK和NL为N的陪集

NKNL=NKN（K-1K）L

=N（KNK-1）KL=NNKL=N（KL）（NN=N）

若KL不在N中，则N（KL）是N的陪集若KL在N中，则N（KL）是N自身*例D3

群中，不变子群N={E，D，F}P.21

两陪集的乘积(NA)(NB)={E,D,F}A{E,D,F}B={E,D,F}{E,D,F}AB={E,D,F}(AB)[提问:是因为D3

群是可换群吗?][答案:是因为{E,D,F}是不变子群](AB=D)={E,D,F}D(仍是陪集,={E,D,F})(4)不变子群的判断判别条件:（1）由完整的类构成；

(缺一不可)（2）其阶是G群阶的因子(子群阶定理)[提问：下列集合中哪些是D3群的不变子群?]{E,A},{E,D},{E,A,B},{E,D,F},{A,B,C}][答案：{E，D，F}]({A,B,C}缺E,其余不是完整类)][提问：{E，A，B，C}是否为不变子群？][答案：不是，其阶4，不是h=6的因子]*八

商群P.221定义:若不变子群N

G，则以N及其陪集为群元，以其乘法为群乘,构成商群，记为G/N，其阶m=h/g，其中g和h为N和G的阶

2证明G/N={N，NK2，NK3-------NKm}确实是群

(1)单位元：N为单位元证明:N（NKi）=NNKi

=NKi

同理（NKi）N

=N（KiN）=N（NKi

）=Nki

故N为单位元

(2)逆元：NKi

的逆元为NKi-1，即(NKi)-1=NKi-1

证明：（NKi）（NKi-1）=NKiNKi-1=NNKiKi-1=NN=N(3)封闭性:不变子群的两陪集相乘为一陪集或不变子群自身

(4)结合律:群G商群的乘积最终化为群G群元的乘积，群G服从结合律，其商群必服从结合律*例：D3群的商群P.23

母群G={E，A，B，C，D，F}