中考数学试题评价与分析

PAGE4PAGE5第Ⅰ卷（选择题，共30分）选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1.在实数-2，0，2，3中，最小的实数是A.-2B.0C.2D.3【答案】A【解题思路】运用观察负数小于正数和零，或结合数轴将各数在数轴上用点表示出来。【试题评析】本题考查实数的比较。2.若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是A.x≥-3B.x＞3C.x≥3D.x≤3【答案】C【解题思路】二次根式有意义的条件时，被开方数是一个非负数，即x-3≥0。【试题评析】本题考查常见函数的自变量取值范围的确定。3.光速约为300000千米/秒,将数字300000用科学记数法表示为A.3×B.3×C.3×D.30×【答案】B【解题思路】科学记数法表示一个大数（N=a×10）时,要求0＜a＜10,其中为N的整数位减1。【试题评析】本题考查科学记数法，体会大数的表示方法。4.在一次中学生田径运动会上，参加跳高的15名运动员的成绩如下表所示：成绩（m）1.501.601.651.701.751.80人数124332那么这些运动员跳高成绩的众数是A.4B.1.75C.1.70D.1.65【答案】D【解题思路】根据众数的定义:一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，从表格中可知1.65出现的次数最多。【试题评析】本题考查统计特征量的概念。【解题思路】观察图形，第1个图有(3×1+1)个点；第1个图有(3×1+1)个点；第2个图有(3×2+3×1+1)个点；第3个图有(3×3+3×2+3×1+1)个点……；第n个图有(3×n+3×(n-1)+…+3×1+1)个点.3×n+3×(n-1)+…+3×1+1=。当n=5是，=46【试题评析】本题考查观察、分析、归纳、猜想等合情推理能力。从简单情形中发现规律，可以从数的角度，也可以从形的角度。10.如图，PA,PB且⊙O于A,B两点，CD切⊙O于点E交PA,PB于C,D.⊙O的半径为r,若△PCD得周长等于3r,则tan∠APB的值是A.B.C.D.【答案】B第10题图【解题思路】连接OA、OB、OP，延长BO交PA的延长线于点第10题图∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E∴∠OAP=∠OBP=90°，CA=CE，DB=DE，PA=PB，∵△PCD的周长=PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+DB=PA+PB=3r，∴PA=PB=．在Rt△BFP和Rt△OAF中，，∴Rt△BFP∽RT△OAF．∴===，∴AF=FB，在Rt△FBP中，∵PF2﹣PB2=FB2∴（PA+AF）2﹣PB2=FB2∴（r+BF）2﹣（）2=BF2，解得BF=r，∴tan∠APB===，【试题评析】本题主要考查了切线的性质，相似三角形及三角函数的定义，解决本题的关键是切线与相似三角形相结合，找准线段及角的关系，构造直角三角形求三角函数值。第Ⅱ卷（非选择题，共90分）填空题（共6小题，每小题3分，共18分）请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分﹒第13题图11.计算：-2+（-3）=第13题图【答案】-5【解题思路】运用有理数的运算法则。【试题评析】本题考查简单的有理数的运算。12.分解因式：=.【答案】a(a+1)(a-1)【解题思路】==a(a+1)(a-1)【试题评析】本题考查因式分解的基本方法和一般步骤。13.如图是一个转盘，转盘分成7个相同的扇形，颜色分为红、黄、绿三种颜色.指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），则指针指向红色的概率为.【答案】【解题思路】转盘有7个相同的扇形，其中红色扇形有3个.根据几何概率的求法，指针指向红色的概率为。【试题评析】本题考查概率的意义。14.一次越野跑中,当小明跑了1600米时，小刚跑了1400米.小明、小刚在此后所跑的路程y（米）与时间t（秒）之间的函数关系如图所示，则这次越野跑的全程为【答案】2200【解题思路】方法1：设小明的速度为a米/秒，小刚的速度为b米/秒，由题意，得，解得：，∴这次越野跑的全程为：1600+300×2=2200米方法2：由图可知≌,～所以BE=GH=200，,DG=3BE=600.于是OD=1600+600=2200(米)【试题评析】本题考查一次函数在生活中应用，要求学生较强的图象识别和解读能力，考查了行程问题的数量关系，注重算法的多样化，学生可以从代数的角度，设元列二元一次方程组的求解，也可从几何的角度，运用相似三角形的知识求解，并且这种方法直观，是可以直接观察出答案的。第15题图15.如图，若双曲线y=eq\f(k,x)与边长为5的等边△AOB的边OA，AB分别相交于C，D两点，且OC=3BD，则实数k的值为.第15题图【答案】【解题思路】过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，设OC=3x，则BD=x，在Rt△OCE中，∠COE=60°，则OE=x，CE=x，∴点C坐标为（x，x），在Rt△BDF中，BD=x，∠DBF=60°，则BF=x，DF=x，∴点D的坐标为（5﹣x，x），将点C的坐标代入反比例函数解析式可得：k=x2，将点D的坐标代入反比例函数解析式可得：k=x﹣x2，则x2=x﹣x2，解得：x1=1，x2=0（舍去），故k=×12=．【试题评析】本题考查了等边三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题关键是利用k的值相同建立方程。第16题图16.如图，在四边形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长为第16题图【答案】．【解题思路】作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图，∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，即∠BAD=∠CAD′，在△BAD与△CAD′中，，∴△BAD≌△CAD′（SAS），∴BD=CD′，∠DAD′=90°由勾股定理得DD′=，，∠D′DA+∠ADC=90°由勾股定理得CD′=，∴BD=CD′=。【试题评析】本题考查了全等三角形的判定与性质，构造基本图形，作出全等图形，运用勾股定理计算线段的长．此题有个如下变式问题：如图，在四边形ABDC中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，求BD的长解答题（共9小题，共72分）下列各题解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤﹒17.（本小题满分6分）解方程：【解题思路】方程两边同乘以x(x-2)，得，2x=3(x-2)，解得x=6，检验：x=6时，x(x-2)0，x=6是原分式方程的解.【试题评析】本题考查了可化为一元一次方程的分式方程的解法。【常见错误】1.解分式方程缺少验根的过程；2去分母过程出现错误；3.去括号过程中，出现漏乘现象。18.（本小题满分6分）已知直线经过点（1，-1），求关于x的不等式≥0的解集.【解题思路】直线y=2x-b经过点（1，-1），-1=21-b，b=3，不等式2x-b0为2x-30，解得x.【试题评析】本题通过求一次函数的解析式，考查了待定系数法的运用，通过结合图象或直接解不等式，可以渗透了一次函数与一次不等式之间的关系。【常见错误】1.将x,y的对应值混淆；2.在不等式过程中，不等号的方向出现错误或漏掉等号情形。19.（本小题满分6分）第19题图如图，AC和BD相交于点O，OA=OC第19题图求证DC∥AB.【解题思路】在△AOB和△COD中，，∴△AOB≌△COD.∴∠A=∠C，∴AB∥CD.【试题评析】本题考查平行线的判定、三角形全等的判定和性质方法。问题比较基础，只需对全等的条件作一个有序排列，得到一组对应角相等。【常见错误】不能正确地列举全等三角形判定条件，部分学生机械地由全等得到两线平行。21.（本小题满分7分）如图，在直角坐标系中，(0，4),C(3，0).(1)①画出线段AC关于y轴对称线段AB;②将线段CA绕点C顺时针旋转一个角，得到对应线段CD，使得AD∥x轴，请画出线段CD；(2)若直线y=kx平分（1）的四边形ABCD的面积,请直接写出实数k的值﹒【解题思路】（1）如图所示；（2）.由作图可知，四边形ABCD是一个平行四边形，“而过平行四边形中学的任一直线平分其面积。”将中心的坐标（，2）代入y=kx中，求得k=.【试题评析】本题考查图形变换的操作与运用，试题很好地将图形与坐标、变换有机融合在一起，突出学生的动手实践能力的考查。试题设计内涵丰富，通过图形的运动生成一个特殊的图形——平行四边形，再运用平行四边形的性质求平分它面积的直线。【常见错误】对图形变换没有正确理解，不能准确地画出变换后的图形；不能灵活地运用平行四边形的性质求k的值；个别学生出现这个答案。20.（本小题满分7分）袋中装有大小相同的2个红球和2个绿球。先从袋中摸出1个球后放回，混合均匀后再摸出1个球.①求第一次摸到绿球，第二次摸到红球的概率；②求两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率；（2）先从袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球,则两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率是多少？请直接写出结果.【解题思路】(1）分别用R1，R2表示2个红球，G1，G2表示2个绿球，列表如下：一二R1R2G1G2R1 R1R1R1R2R1GR1GR2R2R1R2R2R2GR2GG1G1R1G1R2G1GG1GG2G2R1G2R2G2GG2G由上表可知，有放回地摸2个球共有16个等可能结果.其中第一次摸到绿球，第二次摸到红球的结果有4个，∴第一次摸到绿球，第二次摸到红球的概率P==；②其中两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的结果有8个，∴两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率P==.画树形图法按步骤给分（略）.(2)【试题评析】本题考查求古典概率的基本方法——列举法。当一次试验中可能出现的结果数目较多时，为了列举出所有可能出现的结果数，并做到不重不漏，通常运用列举法。并要求学生能够用字母表示“红球”或“绿球”，渗透了多考生的符号意识的考查。本题是一个常见的摸球问题，涉及到概率问题几个基本概念的理解，即“放回”和“不放回”、“有序”和“无序”的区别。要求学生对不同问题模型，有不同处理策略。【常见错误】1．学生对“放回”和“不放回”、“有序”和“无序”不能正确地理解与识别；2．部分考生对列举法不熟悉；3.在书写上存在规范性的问题，比如：未交待关键词“等可能”。22.（本小题满分8分）如图，AB是⊙O的直径，C，P是上两点，AB=13，AC=5.（1）如图（1），若点P是的中点，求PA的长；（2）如图（2），若点P是的中点，求PB的长﹒第第22题图(2)第22题图(1)【解题思路】第22题图（1）（1）如图（第22题图（1）∵AB是⊙O的直径，P是的中点，∴PA=PB，∠APB=90°.∵AB=13，∴PA=AB=；第22题图（2）（2）方法1:如图（2），连接OP交BC于第22题图（2）∵P是的中点，∴OP⊥BC于D，BD=CD，∵OA=OB，∴OD=AC=，∵OP=AB=，∴PD=OP-OD=-=4，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵AB=13，AC=5，∴BC=12，∴BD=BC=6，∴PB==，∵AB是⊙O的直径，∴∠APB=90°，∴PA==.方法2：如图（3），作PH⊥AB于H，交⊙O于Q，第22题图（3）则PH=QH，OB⊥PQ，∴，∴，∴PQ=BC第22题图（3）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵AB=13，AC=5，∴BC=12，∴PH=PQ=BC=6，∵AB是⊙O的直径，∴∠APB=90°，∵AB⊥PH，∴∠PAH=∠BPH，∴△PAH∽△BPH，∴，设AH=x，则BH=13-x，∴，∵AH>BH，∴x=9，第22题图（4）∴PA=第22题图（4）方法3：如图（4），同方法2，PH=6，∵AB=13，∴OP=，∴OH==，∴AH=AO+OH=+=9，∴PA==.【试题评析】本题侧重考查圆的基本计算。主要考点涉及到圆的基本性质（垂径定理、直径所对的圆周角是直角，弧、弦、圆周角之间的关系），还涉及到相似三角形、勾股定理等的主要知识点。考查的思想方法有方程思想、面积方法、基本图形法、转化思想（将未知线段转化为易求的线段）。【常见错误】不能合理地进行联想，比如，由弧的中点自然想到过中点作半径，由直径联想到所对的圆周角是直角。合情推理能力不到位，基本图形（主要是圆的对称性或母子相似三角形）不够熟悉，不能正确地将目标线段进行转化。23.（本小题满分10分）九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：时间x（天）1≤x＜5050≤x≤90售价（元/件）x+4090每天销量（件）200-2x已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元﹒（1）求出y与x的函数关系式;(2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果.【解题思路】(1)y=(2)当1≤x＜50时，y==-2+6050，∵a=-2＜0，∴当x=45时，y有最大值，最大值为6050元.当50≤x≤90，y=-120x+12000，∵k=-120＜0，∴y随x的增大而减小，当x=50时，y有最大值，最大值为6000元.∴当x=45时，当天的销售利润最大，最大利润为6050元。(3)41.【试题评析】本题以图表的形式呈现，售价、销量与自变量x的函数关系直观明了。以一次函数与二次函数的综合应用，重点考查学生实际问题的解决能力，函数建模能力与分类讨论思想，问题(3)的设置拓展了初中数学知识内容，考查了运用函数图象解决一元一次、一元二次不等式问题，很好地做好初高中数学知识的衔接。【常见错误】学生只从二次函数的角度机械地思考问题，缺少分类讨论意识；在求最大值过程中，出现配方错误，不能运用函数的性质确定函数的最值；不能从图象的角度观察思考问题，数形结合意识比较淡薄，很多学生第（3）问的答案为“40”，忽视区间的端点取值；部分学生对题意的理解和获取信息的能力欠佳，不能正确建立利润y与x之间的函数关系式。24.（本小题满分10分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5个单位的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4个单位的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0<t<2），连接PQ.(1)若△BPQ与△ABC相似，求t的值；(2)连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值；(3)试证明：PQ的中点在△ABC其中一条中位线上。第第24题图【解题思路】（1）由题知，BP=5t,CQ=4t,∴BQ=8-4t当△ABC～△PBQ时，有，∴，解得t=1.当△ABC～△QBP时，有,,解得t=.∴△ABC与△PBQ相似时，t=1秒或秒.（2）如图（1），过点P作PD⊥BC于D.依题意，得BP=5t，CQ=4t，则PD=PBsinB=3t.∴BD=4t，CD=8-4t，∵AQ⊥CP，∠ACB=90°，∴tan∠CAQ=tan∠DCP，∴，∴，∴.（3）方法1：如图（2），过点P作PD⊥AC于D,连接DQ，BD，BD交PQ于M.则PD=APcos∠APD=APcos∠ABC=(10-5t)=8-4t，第24题图（2）而BQ=8-4t.∴PD=BQ且PD∥BQ第24题图（2）∴点M是PQ和BD的中点.第24题图（1）第24题图（3）过点M作EF∥AC交BC第24题图（1）第24题图（3）则，即E为BC的中点.同理F为BA中点.∴PQ中点M在△ABC的中位线EF上.方法2：如图（3），作△ABC的中位线EF，交PQ于点M.过点P作PD⊥BC于D.由（2）得BD=CQ=4t，∴点E为DQ中点.第24题图(4)∵EM∥DP，∴.∴第24题图(4)∴PQ中点M在△ABC的中位线EF上.方法3：如图(4)，以点C为坐标原点，AC,BC所在的直线为x,y轴，建立直角坐标系。依题意，得BP=5t，CQ=4t，∴P(-3t,8-4t),Q(0,4t),∴PQ的中点M的坐标为(-，4)，故点M在直线y=4（即△ABC的中位线）上运动.【试题评析】本试题以直角三角形为载体，通过两个动点探索特殊情形和一般情形下的图形特征，让学生从机械的、被动的的计算和证明中走出来，引导学生发现规律、论证规律，考查学生积极主动地探索精神。本题重点考查了相似三角形、三角函数、全等三角形、三角形的中位线等核心知识，在思想方法上重点考查了分类思想（第（1）问要对三角形相似的点的对应关系进行分类讨论），转化思想（第（2）问要将线段垂直转化为角相等），函数思想（建立了将有关线段的长与点运动时间t间的函数关系）。第（3）探讨中点M的运动路径，体现了对数学内部的和谐性的揭示，其实结合方法2，线段PQ上,任意n等分点的运动路径都是可以探求的。【常见错误】（1）对动态问题缺少相关的解题经验和解题策略，不能从函数的角度将有关线段量化；（2）第（1）问只研究一种情形，图形分类意识还未完全形成；（3）第（2）不能将线垂直进行适当的转化，造成一定的思维受阻。25.（本小题满分12分）如图，已知直线AB：与抛物线交于A，B两点.（1）直线AB总经过一个定点C，请直接写出点C坐标；（2）当k=时，在直线AB下方的抛物线上存在点P，使的面积等于5，求点P的坐标；（3）在抛物线上存在点定D使∠ADB=90°，求点D到直线AB的最大距离.第第25题备用图第25题图【解题思路】(1).解：C(-2，4)；第25题图(（1）(2).解：方法1：第25题图(（1）解得A(-3，)，B(2，2).设P(t，)，过点P作PQ∥y轴交AB于点Q,则Q(t，-t+3)，∴PQ=--t+3，…4分∴S△ABP=S△PQA+S△PQB=PQ（xB-xA）=·(--t+3)·5，第25题图（2）∴·(--t+3)·5=5，第25题图（2）解得t1=-2，t1=1.∴点P的坐标为P1(-2，2)，P2(1，).方法2：解：如图（2），直线与y轴交于点N（0，3），在y轴上取点Q（0,1）则S△ABQ=5.过点Q作PQ∥AB交抛物线于点P，则PQ的解析式为，由解得，第25题图（3）第25题图（3）（3）解：如图（3），设A(x1，)，B(x2，x22)，D(m，m2)，联立，消去y得：x2-2kx-4k-8=0，∴x1+x2=2k，x1·x2=-4k-8；过点D作EF∥x轴，过点A作y轴的平行线交EF于点E,过点B作y轴的平行线交EF于点F,由△ADE∽△DBF得：,∴，化简，得x1·x2+m（x1+x2）+m2=-4.∴2k（m-2）+m2-4=0.