2020年全国1卷文科数学

2020年全国1卷文科数学2020年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅰ）文科数学一、选择题1.已知集合$A=\{x|x^2-3x-4<0\},B=\{-4,1,3,5\}$，则$A\capB$等于（）A.$\{-4,1\}$B.$\{1,5\}$C.$\{3,5\}$D.$\{1,3\}$2.若$z=1+2i+i^3$，则$|z|$等于（）A.$1$B.$2$C.$2\sqrt{2}$D.$3$3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥。以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A.$\dfrac{5-\sqrt{5}}{4}$B.$\dfrac{5-\sqrt{5}}{2}$C.$\dfrac{5+\sqrt{5}}{4}$D.$\dfrac{5+\sqrt{5}}{2}$4.设$O$为正方形$ABCD$的中心，在$O,A,B,C,D$中任取$3$点，则取到的$3$点共线的概率为（）A.$\dfrac{1}{5}$B.$\dfrac{2}{5}$C.$\dfrac{1}{2}$D.$\dfrac{4}{5}$5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率$y$和温度$x$（单位：℃）的关系，在$20$个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据$(x_i,y_i)(i=1,2,\cdots,20)$得到下面的散点图：由此散点图，在$10℃$至$40℃$之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率$y$和温度$x$的回归方程类型的是（）A.$y=a+bx$B.$y=a+bx^2$C.$y=a+be^x$D.$y=a+b\lnx$6.已知圆$x^2+y^2-6x=0$，过点$(1,2)$的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A.$1$B.$2$C.$3$D.$4\sqrt{2}$7.设函数$f(x)=\cos(\omegax+\theta)$在$[-\pi,\pi]$的图像大致如下图，则$f(x)$的最小正周期为（）8.设$\log_34=2$，则$4-a$等于（）A.$\dfrac{1}{16}$B.$\dfrac{1}{9}$C.$\dfrac{8}{3}$D.$\dfrac{1}{6}$9.执行下面的程序框图，则输出的$n=$（）10.设$\{a_n\}$是等比数列，且$a_1+a_2+a_3=1$，$a_2+a_3+a_4=2$，则$a_6+a_7+a_8=$（）A.$12$B.$24$C.$30$D.$32$11.设$F_1,F_2$是双曲线$C:x^2-y^2=1$的两个焦点，$O$为坐标原点，点$P$在$C$上且$|OP|=\dfrac{2}{\sqrt{3}}$，则$\trianglePF_1F_2$的面积为（）已知球O上有三个点A、B、C，且⊙O1为△ABC的外接圆，且面积为4π，AB=BC=AC=OO1。求球O的表面积。填空题：13.若x，y满足约束条件2x+y-2≤0，x-y-1≥0，y+1≥0，则z=x+7y的最大值为______。14.设向量a=(1,-1)，b=(m+1,2m-4)，若a⊥b，则m=______。15.曲线y=lnx+x+1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为y=2x+2。16.数列{an}满足an+2+(-1)nan=3n-1，前16项和为540，则a1=3。解答题：17.(1)甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率为P(A)=40/100=0.4，乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率为P(A)=28/100=0.28。(2)甲分厂加工100件产品的平均利润为：90×0.4+50×0.2+20×0.2-25×100=1000元。乙分厂加工100件产品的平均利润为：90×0.28+50×0.21+20×0.34-20×100=726元。因此，厂家应选甲分厂承接加工业务。18.(1)由正弦定理可得：sinB/sinA=c/b=1/9，sinC/sinA=a/b=3/9=1/3。又因为B=150°，所以A+C=30°。解得A=15°，C=15°。再由海伦公式可得△ABC的面积为S=27√3/4。(2)由已知条件可得sinA=1/2sinC，代入sinA+3sinC=2/4可得sinC=√3/6。又因为A+C=30°，所以sinA=1/2sin(30°-A)，代入sinA+3sinC=2/4可得cosA=1/2，解得A=60°，C=30°。19.(1)连接PA、PB、PC，由圆锥的性质可知，PA、PB、PC均垂直于底面，并且交于圆锥顶点D，因此平面PAB和平面PAC互相垂直。(2)由勾股定理可得，AP=√3，PC=2√3，因此三棱锥P-ABC的高为√3，底面积为3√3/4，因此体积为V=1/3×底面积×高=√3/4。20.题目不完整，无法作答。21.(12分)已知函数f(x)=x^3-3x^2-9x+5，在区间[-2,3]上有且仅有一个零点。试用二分法求出该零点的近似值，精确到小数点后3位。22.(选做题，共20分)证明：对于任意正整数n，都存在一个长度为n的01串，使得它的任意连续子串中0和1的个数相等。23.(选做题，共20分)已知函数f(x)在区间[0,1]上连续，且f(0)=f(1)=0。证明：对于任意正整数n，都存在区间[0,1]的一个划分0=x0<x1<...<xn=1，使得f(xi)-f(xi-1)=-1或1（i=1,2,...,n）。二、填空题13.1三、解答题17.(1)由题意可得，甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为$0.4$，乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为$0.28$，因此甲分厂承接加工业务的概率更大，应该选择甲分厂承接加工业务。(2)由数据可得，甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为：|利润|频数||:--:|:--:||65|40||25|20||-5|20||-75|20|因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为：$$\frac{65\times40+25\times20-5\times20-75\times20}{100}=15.$$由数据可得，乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为：|利润|频数||:--:|:--:||70|28||30|17||-70|21|||34|因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为：$$\frac{70\times28+30\times17+34\times\frac{1}{2}-70\times21}{100}=10.$$比较甲乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务。18.解题思路：根据题设和余弦定理求解三角形的边长和面积。解：(1)根据题设和余弦定理，可以得到$28=3c^2+c^2-2\cdot3c^2\cdot\cos150^\circ$，解得$c=-2$（舍去）或$c=2$，从而$a=\sqrt{3}c=2\sqrt{3}$。(2)在$\triangleABC$中，$A=180^\circ-B-C=30^\circ-C$，因此$\sinA+3\sinC=\sin(30^\circ-C)+3\sinC=\sin(30^\circ+C)$，所以$\sin(30^\circ+C)=\frac{1}{2}$。由于$0^\circ<C<30^\circ$，所以$30^\circ+C=45^\circ$，因此$C=15^\circ$。19.解题思路：利用几何知识证明一些三角形和平面垂直，然后根据题设求解三棱锥的体积。解：(1)因为$\triangleABC$是正三角形，所以$\trianglePAC\cong\trianglePAB$，$\trianglePAC\cong\trianglePBC$。又因为$\angleAPC=90^\circ$，所以$\angleAPB=\angleBPC=90^\circ$。因此$PB\perpPA$，$PB\perpPC$，所以$PB\perp$平面$PAC$，所以平面$PAB\perp$平面$PAC$。(2)设圆锥的底面半径为$r$，母线长为$l$。根据题设可得$rl=3$，$l^2-r^2=2$。解得$r=1$，$l=3$，从而$AB=l=3$。由(1)可得$PA^2+PB^2=AB^2$，因此$PA=PB=PC=\frac{3\sqrt{2}}{2}$。因此三棱锥$P-ABC$的体积为$\frac{1}{3}\cdot\frac{3\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{3\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{3\sqrt{2}}{2}=\frac{9\sqrt{2}}{4}$。20.解题思路：分段讨论函数$f(x)$的单调性和零点情况，然后求出函数的最小值。解：(1)当$a=1$时，$f(x)=e^x-x-2$，则$f'(x)=e^x-1$，$f''(x)=e^x>0$，因此$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$单调递减，且$f(x)>0$。因此$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$至多存在$1$个零点，不符合题意。(2)当$a\leq0$时，$f'(x)=e^x-a$，$f''(x)=e^x>0$，因此$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$单调递增，且$f(x)>0$。因此$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$至多存在$1$个零点，不符合题意。(3)当$a>0$时，$f'(x)=e^x-a$，$f''(x)=e^x>0$，因此$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$单调递增。又因为$f(\lna)=0$，所以$f(x)$在$(-\infty,\lna)$单调递减，在$(\lna,+\infty)$单调递增。因此$f(x)$在$\lna$处取得最小值，最小值为$f(\lna)=-a(1+\lna)$。综上所述，当$a>e^{-1}$时，$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$存在唯一零点；当$a\leqe^{-1}$时，$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$不存在零点。此外，当$a>0$时，$f(x)$在$\ln(2a)<x<2$时为正，$f(x)$在$x>4$时为正。根据题意，函数$f(x)$在$(\lna,+\infty)$存在唯一零点，因此在$(-\infty,+\infty)$有两个零点。综上，$a$的取值范围是$(e,+\infty)$。21.解：（1）由题设得$A(-a,0),B(a,0),G(0,1)$，则$AG=(a,1),GB=(a,-1)$。由$AG\cdotGB=8$得$a^2-1=8$，即$a=3$。因此，$E$的方程为$x^2+y^2=1$。（2）设$C(x_1,y_1),D(x_2,y_2),P(6,t)$。若$t\neq0$，设直线$CD$的方程为$x=my+n$，由题意可知$-3<n<3$。由于直线$PA$的方程为$y=x+3$，所以$y_1=x_1+3$。直线$PB$的方程为$y=x-3$，所以$y_2=x_2-3$。可得$3y_1(x_2-3)=y_2(x_1+3)$。由于$x^2+y^2=1$，可得$27y_1y_2=-(x_1+3)(x_2+3)$，即$y_2=-\frac{2}{9}$。代入$3y_1(x_2-3)=y_2(x_1+3)$中，解得$n=3$，即直线$CD$过定点$(3,0)$。若$t=0$，则直线$CD$的方程为$y=-\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}$，过点$(3,0)$。综上，直线$CD$过定点$(3,0)$。22.解：当$k=1$时，$C_1$的参数方程为$x=\cost,y=\sint$，消去参数$t$得$x^2+y^2=1$，因此曲线$C_1$是圆心为坐标原点，半径为$1$的圆。当$k=4$时，$C_2$的参数方程为$x=\cos4t,y=4\sint$，消去参数$t$得$4x-16y+3=0$，因此$C_2$的直角坐标方程为$x+y=1$。解得$C_1