碳黑填充橡胶隔振器动态特性的非线性模型与参数辨识

碳黑填充橡胶隔振器动态特性的非线性模型与参数辨识

橡胶密封器（以下简称“橡胶密封器”）广泛应用于汽车减速系统的振动系统，如整体悬挂式扩张器、悬挂式扩张器和气压系统。在诸如发动机悬置系统隔振分析、悬架系统动力学分析、整车平顺性分析和排气系统振动分析中,都需要对橡胶隔振器的动态特性进行精确建模,因此对其动特性的准确预测是非常重要的。橡胶隔振器包含很强的非线性特征,受预载、激振频率和激振振幅等因素的影响,使得其动态特性的建模变得较为困难。最早用于橡胶隔振器动特性模拟的是Kelvin-Voigt模型,为了更有效地预测橡胶在高频时的动态特性,又发展了Maxwell模型和三参数Maxwell模型等,这些模型虽然增加了描述的变量并得到较为广泛的应用,但一些参数的物理意义并不明确。Bagley在文献中,在描述粘弹性材料的动态特性时,引入分数导数概念,可以用较少的模型参数来表征橡胶材料的频率相关性,是一种可以借鉴的方法。橡胶材料中加入碳黑补强填充剂,从而使橡胶材料呈现出类似于摩擦现象的特征,即其动态特性随激振的振幅而变化。Berg在文献中建立了橡胶隔振器动态特性的模型,模型中力和位移的关系采用三个力分量叠加:使用线弹性力描述其弹性特性,库仑摩擦力描述其振幅相关性,Kelvin-Voigt粘性力描述其频率相关性。Sjöberg在文献和中,在Berg的模型基础上进行了改进,并引入了分数导数的概念来描述橡胶隔振器动态特性的频率相关性,但弹性力部分仍然采用线弹性理论和基于几何特征形状因子的几何非线性,忽略了材料的超弹性特征且在描述复杂特征的橡胶隔振器时较为困难,因而使该模型的适用性受到较大限制。本文实验测试了一橡胶隔振器的动态特性,建立了基于超弹性、分数导数和摩擦模型用于表征橡胶隔振器动态特性的建模方法。在所建立的模型中,基于有限元分析获得了橡胶隔振器的静态力-位移曲线,利用测试得到的橡胶隔振器在大振幅、低频激励下的力-位移关系,拟合得到橡胶隔振器动态模型中摩擦模型的参数,利用测试得到的橡胶隔振器在小振幅、高频激励下的力-位移关系,拟合得到橡胶隔振器动态模型中分数导数模型的参数。利用本文建立的建模方法和参数识别方法,对橡胶隔振器的动态特性进行了计算分析,分析结果表明,考虑了材料超弹性的模型可以更为准确的描述橡胶隔振器动态特性与激振振幅、激振频率和预载等的相关性。1装置及试件测试橡胶隔振器的静、动态特性是在MTS831振动实验台上测试的,测试装置及试件的示意图见图1。在测试时,在作动端对零件加3000N的预载,并同时在作动端施加不同振幅和不同频率的正弦位移激励信号,记录固定端力传感器的信号。详细的测试方法和实验数据处理方法,可参见文献。1.1激振振幅的影响由于橡胶隔振器的阻尼的作用,实验的位移与力的曲线将形成迟滞环。当激振频率为0.1Hz,激振振幅不同时,测试得到的图1所示的橡胶隔振器的力-位移曲线见图2。激振频率为0.1Hz时,橡胶隔振器的粘性力贡献很小,可以忽略不计;随着激振振幅的增加,迟滞环的斜率(表征动刚度)逐渐减小,试件开始出现几何非线性和材料非线性现象,在振幅为8mm时该现象尤为明显。当激振振幅一定,而激振频率不同时,实测得到的橡胶隔振器的力-位移曲线见图3。由图可见,随着频率的增加,迟滞环的斜率和面积(表征一个循环的损耗能)增加。1.2激振频率的影响图4给出了实测的橡胶隔振器的动态特性与激振增幅和激振频率的相关性。由图可见,当振幅不变、激振频率增加时,动刚度和滞后角增加;当激振频率固定,而激振振幅增加时,动刚度减小,滞后角变大。2本构模型的建立的实验结果可见,在建立橡胶隔振器的动态模型时,必须考虑其动态特性的频率相关性和振幅相关性。本文建立了基于超级弹性、分数导数和摩擦模型的橡胶隔振器非线性动态模型。该模型的力与位移的关系包括三个部分:①弹性力模型,描述碳黑填充橡胶的非线性静态弹性特性;②粘弹性力模型,采用分数导数模型描述橡胶隔振器的粘性效应;③摩擦力模型,用库仑摩擦模型进行描述,表征橡胶隔振器动态特性的振幅相关性。如图5所示为所建立模型的示意图,力-位移之间的关系可用式(1)表达,其中fhe为弹性力,fve为粘性力,ff为摩擦力,f为合力,x为位移激励,tn为时间。f=fhe[x(tn)]+fve[x(tn)]+ff[x(tn)](1)2.1材料模型的建立和拟合fhe=k′ex=(ke+kcorr)x(2)弹性力模型见式(2),k′e为等效弹性刚度,其中ke为线弹性刚度,kcorr为修正刚度。当零件变形较小时,kcorr等于零;随着变形量的增加,零件呈现较强的几何非线性和材料非线性,基于形状系数理论对形状规则且材料呈线弹性特征的零件描述较为有效,当几何形状、材料属性的非线性较强时,适用性受到较大限制。本文使用有限元法计算获得橡胶隔振器的弹性特性,其中考虑了材料的超弹性行为和几何非线性,建立的轴对称有限元模型如图6所示。在上金属板上端施加载荷并使用刚性线以获得均匀的加载,下金属板用于固定。橡胶采用轴对称杂交单元,金属板采用轴对称减缩积分单元。为了获得与实验值可比较的结果,在加载端施加实验预载,并分析该端位移与力的关系。本文采用VanderWaals材料模型描述填充橡胶材料的超弹性,该模型在拟合本文的材料试验数据时效果较好,且能较好地描述压缩、剪切和拉伸的状态,如图7所示为拟合的结果,其中VanderWaals模型参数μ0=1.0562,λm=4.5034,α0=0.8475,β0=0,D=0。根据该材料模型参数和所建立的有限元模型计算获得橡胶隔振器的力-位移曲线见图8,设位移零点的修正刚度为零,得到非线性修正刚度见式(3),由图8可见使用超弹性材料模型计算获得的结果较之于采用线弹性材料计算获得的结果更接近于实验结果。kcorr=0.00667x6+0.001867x5-0.05413x4-0.26333x3-0.19093x2-6.2616x(3)2.2初始力和初始位移应用库仑摩擦模型来描述橡胶隔振器动态特性的振幅相关性,其力与位移的关系用式(4)表示,与变形的历史有关。如图9所示为摩擦模型的参数识别示意图,ffmax表示最大摩擦力,x2的大小表征摩擦力随位移增加的变化趋势;ffs和xs分别表示参考状态的初始力和初始位移。ff=ffs+x-xsx2[(1-sign(˙x)ffsffmax+sign(˙x)(x-xs)]ff=ffs+x−xsx2[(1−sign(x˙)ffsffmax+sign(x˙)(x−xs)](4)摩擦模型参数的获得可以参照如图9所示的力-位移曲线。确定模型参数时,采用低频(0.1Hz)、大振幅(8mm)的力-位移实验数据来拟合得到模型参数。采用很低的频率进行测试可以消除粘性力的影响,而大位移可以充分考虑摩擦的影响。由于橡胶隔振器的几何非线性和材料非线性,在拟合时须从测试的力-位移曲线中减去修正项(见式3)。2.3橡胶隔振器的动态特性用分数导数模型描述橡胶隔振器动态特性与频率的相关性:fv=bdax/dta(5)其中dax/dta为a阶导数,当0<a<1,该模型同时具有弹性和粘性特性,定义式为:daxdta=1Γ(1-a)ddt∫t0x(τ)(t-τ)adτdaxdta=1Γ(1−a)ddt∫t0x(τ)(t−τ)adτ(6)式中Γ为Gamma函数,表达为Γ(β)=∫∞0sβ-1exp(-s)ds,b>0为模型的常量。粘性力在时域上的求解利用Grünwald定义获得,如式(7)所示。fv(tn)=bΔt-aΓ(-a)n-1∑m=0Γ(m-a)Γ(m+1)xn-mfv(tn)=bΔt−aΓ(−a)∑m=0n−1Γ(m−a)Γ(m+1)xn−m(7)如果不考虑振幅因素的影响,橡胶隔振器的复刚度形式可以表达为只包含弹性刚度和粘性刚度的方程,如式(8)所示。为了获得橡胶隔振器的频域特性,需在小振幅激励下获得橡胶隔振器的动态特性,以尽量减少摩擦的影响。且在使用最小二乘法进行数据拟合时需消除摩擦的影响,具体方法请参照文献。ˆkfkv(ω)=k′e+b(iω)akˆfkv(ω)=k′e+b(iω)a(8)如图10为根据优化的拟合参数(a和b)计算获得的橡胶隔振器动态特性与消除摩擦影响后的实测值的比较结果,表明采用本文所建立的模型对拟合橡胶隔振器频域动态特性是较为有效的。3器模型参数应用第3节的方法,识别得到的图1所示橡胶隔振器的模型参数见表1。利用这些模型参数对橡胶隔振器动态特性与激振频率、激振振幅和预载的相关性进行了计算分析,并与实验结果进行了对比分析。3.1碳黑填充橡胶材料的超弹性和几何非线性当激振频率为0.1Hz,激振振幅为0.5mm和8mm时,计算得到的橡胶隔振器的力-位移曲线和实测的力-位移曲线见图11。振幅较小时,橡胶隔振器的弹性部分表现为线弹性,即不包含材料非线性和几何非线性,因此采用线弹性模型或超弹性模型描述隔振器的弹性特性均可,如图11(a)所示。当振幅为8mm时,由图11(b)中可见力-位移曲线呈现较强非线性,这种非线性是由于大位移拉伸或压缩时截面积变化较大而引起的,其次为碳黑填充橡胶材料的超弹性特性。因此当振幅超过较大时,只有全面考虑材料的超弹性和几何非线性才能获得满意的结果,见图11(b)计算值(I)。当激振振幅为3mm,激振频率为0.1Hz、10Hz和100Hz时,橡胶隔振器的力-位移曲线见图12,由图可见,激振频率为0.1Hz和10Hz时计算值和实验值吻合的较好,而激振频率为100Hz时计算值与实验值存在一定的误差,但仍属于工程上可以接受的范围内。从图12中可知,随着频率的增加,迟滞环的面积增加,表明每个循环的耗散能增加,因此阻尼值上升;图12(a)中0.1Hz和100Hz的数据对比表明,迟滞环的斜率随着频率的升高而增加,粘性力的贡献加大,因此动刚度上升。3.2橡胶隔振器动态特性橡胶隔振器的复刚度表达式如式(8)所示。其中ˆk表示总的复刚度,ˆkfkv表示粘弹性刚度,ˆkff为摩擦刚度。ˆk=ˆkfkv(ωn)+ˆkff(ωn)(8)图13为计算得到的橡胶隔振器与激振振幅、激振频率的相关性,图14为采用超弹性模型后计算得到的橡胶隔振器动态特性与预载的相关性。由图可见,利用文中的模型,计算得到的橡胶隔振器的动态特性和实验值吻合得较好,基于橡胶材料超弹性所建立的弹性模型可较好地描述橡胶隔振器动态特性随预载的变化,证明了模型的有效性。4橡胶隔振器动态特性对一橡胶隔振器的动态特性进行了实验测试,建立了基于