数学人教A版（2023）必修第一册1.1集合的概念（共21张ppt）

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第一章集合与常用逻辑用语

1.1集合的概念

1

元素和集合的含义

2

元素、集合及其关系的表示

3

集合的表示方法

研究对象

（1）110之间的所有偶数；

（2）卢老师所在初中今年入学的全体高一新生；

（3）所有的正方形；

（4）到直线M的距离等于定长d的所有点；

（5）方程的所有解；

（6）地球上的四大洋

2，4，6，8，10

全体高一新生

每一个正方形

两条平行直线

北冰洋、大西洋

太平洋、印度洋

研究对象聚在一块就构成了集合

一般地，我们把研究对象统称为元素；

把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)

集合的定义

元素和集合的含义

1

集合的三个特性

1

描述性：集合是一个原始的、不定义的概念，像初中学过的点、直线一样，只作描述性说明。

2

广泛性：集合中的“对象”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的、听到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，如数、点、图形、多项式、方程、人、物等

3

整体性：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的意思，因此一些对象一旦组成集合，那么这个集合就是这些对象的总体，而非个别对象

元素和集合的含义

1

集合中元素的性质

2

确定性

对于给定的集合，它的元素必须是确定的，确定性指元素的特征描述要确定，依据特征描述能确定一个对象在不在集合中。特征模糊的对象不能构成集合，如“小河流”、“难题”、“较大的数”等.

互异性

一个给定的集合当中的元素是互不相同的，即集合中的元素不会重复出现，这提醒我们解决集合问题要检验，特别是题中含有参数（即字母)时，一定要检验求出的参数是否满足集合中元素的互异性

无序性

集合中的元素可以任意排列，无先后顺序

3

集合相等与集合分类

集合相等

只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。

集合是相等的集合

集合分类

1

有限集：含有有限个元素的集合

2

无限集：含有无限个元素的集合

4

集合与元素的表示及其关系

集合与元素的表示

一般来说：

用大写拉丁字母A、B、C…等表示集合

用小写拉丁字母…等表示元素

集合与元素的关系

如果是是集合A的元素，那么就说属于集合A，记作A；

如果是不是集合A的元素，那么就说不属于集合A，记作A；

5

集合的表示方法

全体整数组成的集合称为整数集，记作Z；

全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；

全体实数组成的集合称为实数集，记作R；

1

全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N；

2

全体正整数组成的集合称为正整数集，记作N*或N+；

3

4

5

1、自然语言

5

集合的表示方法

2、列举法

“地球上的四大洋”组成的集合可以表示为｛大西洋，太平洋，北冰洋，印度洋｝；

“方程的所有实数根”组成的集合可以表示为｛0，2｝；

像这样，把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号｛｝括起来表示集合的方法

叫做列举法。

注意事项：(1)集合中的元素要列举全面，元素之间用“，”隔开；

(2)一个集合中的元素的书写一般不考虑顺序，但不能重复；

(3)花括号“{}”表示“所有”“整体”的含义，如N,Z,Q,R等本身就表示

集合，使用时不能再如“{}”，如将实数集R写成{实数集}、{全体实数}、

{R}都是不正确的

5

集合的表示方法

哪些集合适合用列举法表示呢？

（1）含有有限个元素且元素个数较少的集合

（2）元素较多，但是元素的排列呈现一定的规律，在不至于发生误解的情况

下，也可以列出几个元素作代表，其他元素用省略号表示，如自然数集

N可以表示为｛0，1，2，…，n…｝

（3）当集合所含元素属性特征不易表述时，用列举法比较方便，如

｛｝

用列举法表示下列集合

（1）小于10的所有自然数的集合

（2）方程的所有实数根组成的集合

【解】（1）｛0，1，2，3，4，5，6，7，8，9｝

（2）｛0，1｝

由于集合具有无序性，所以第(1)题的答案可以有多种呈现方式，

如｛9，8，7，6，5，4，3，2，1｝等

5

集合的表示方法

例题精讲

3、描述法

5

集合的表示方法

一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P()的元素所组成的集合表示为｛∈A|P()｝，这种表示集合的方法称为描述法。

例如，我们可以把奇数集表示为｛∈Z|=，∈Z｝

温馨提示：有时也用冒号或者分号代替竖线，写成｛∈A：P()｝或｛∈A；P()｝

注意事项：

5

集合的表示方法

（1）竖线前面表示的是集合的元素，｛|｝，｛|｝，

｛|｝分别是三个不同的集合。

（2）竖线后面写清元素满足的条件，一般是方程或者不等式。

（3）不能出现未说明的字母，如｛｝未说明的取值情况，故集合中的

元素不确定。

（4）所有描述内容都要写在花括号里面，如写法｛|｝，∈Z不符合

要求，应改为｛，∈Z｝

（5）多层描述时，要准确适用“或”“且”等表示元素关系的词语，如

{|}

5

集合的表示方法

例2：试分别用描述法和列举法表示下列集合：

（1）方程的所有实数根组成的集合A；

解：(1)设方程x2-2=0的实数根为x,并且满足条件x2-2=0，

因此，用描述法表示为A={x∈R|x2-2=0}。

方程x2-2=0有两个实数根为，

因此，用列举法表示为A={}。

例题精讲

6

集合的表示方法

（2）由大于10且小于20的所有整数组成的集合B.

解：设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z,且10<x<20,

因此，用描述法表示为B={x∈Z∣10<x<20}

大于10小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19，

因此，用列举法表示为B={11,12,13,14,15,16,17,18,19}.

自然语言是最基本的语言形式，使用范围广，但是具有多义性，有时难于表达。

列举法直观地体现了元素的个体，但是有局限性，多适用于元素个数较少的有限集。

描述法具有抽象概括、普遍性的特点，适用于元素共同特征明显的集合，有些集合元素没有明显的共同特征，则不能用描述法。

方程的解集

｛1,2,3｝

｛|｝

6

集合的表示方法

7

课时训练

1、判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由：

(1)A,B是平面a内的定点，在平面a内与A,B等距离的点；

(2)高中学生中的游泳能手.

(1)在平面a内与定点A,B等距离的点可以组成集合，因为这些点是确定的，即线段AB垂直平分线上的点.

(2)高中学生中的游泳能手不能组成集合，因为是否为游泳能手没有具体的划分标准。

解析

7

课时训练

2.用符号“∈”或“”填空：

0N；-3N;