矢量的基本代数运算

微分几何简介》笔记Ch.1矢量代数及其在解析几何中的简单应用§1矢量代数定义：矢量即既有大小，又有方向的量（数学量、物理量等）。直角坐标系-点的坐标与矢的分量在三维空间中，取任意一点O和任意彼此垂直的三个右旋的（即构成右手系的）单位矢量e,e,e,构成一个直角坐标系（或标架）。用二［O;e,e,e］表示；o称为q的123123原点，ei，e2，e3称为q的基矢（或底矢）。若P为空间任意一点，以O为始点，P为终点的矢量r二OP称为p点在标架q里的径矢。P点在q里的坐标x，x，x就是r径矢在q里的分量：123r=xe+xe+xeTOC\o"1-5"\h\z11 22 33若P、Q为空间两点，它们在◎里的径矢依次为r=xe+xe+xe，s=ye+ye+ye11 22 33 11 22 33则矢量PQ=OQ—OP二s—r二（y—x）e+（y—x）e+（y—x）e1 1 1 2 2 2 3 3 3其中y—x（i二1,2,3）就是该矢量在Q里的分量。各分量均为0的矢量称为零矢。ii在同一标架里，两个矢量相等的充要条件是它们的分量依次相等。矢量a=ae+ae+ae的长为11 22 33aI=、：a2+a2+a2■ 1 2 3若|a|=1，a为单位矢量（幺矢）。|a|丰0，贝yai/|a|叫做a在Q里的方向余弦，它们是a和e］间的角［0,兀］之间的余弦。零矢没有方向余弦。矢量的基本代数运算现有矢量a=ae+ae+ae和卩=be+be+be，贝y11 22 33 11 22 33

1） 矢量和：矢量加法按照平行四边形（或三角形）法则。a+B=（a+b）e+（a+b）e+（a+b）e1112223332）矢量差：矢量减法同样按照平行四边形（或三角形）法则，为加法的逆运算a一B—（a一b）e+（a一b）e+（a一b）e1112223333）纯量（或数量）乘矢量：若九为纯量，则九a—九ae+九ae+九ae11 22 334）数积（点乘）：矢量«,P的数积是纯量—abicoso其中0e[0,兀]是a,B之间的角。矢量a，B相互垂直的充要条件是它们的数积等于零。零矢与任意矢量垂直。矢量a和单位矢量e的数积等于a在e的方向的垂直投影。5）矢积（叉乘）：矢量a，B的矢积是矢量eiaieiaib1e2a2b2e3a3b3||P|sin0n其中n为a，B不平行时，同时垂直于a，B的幺矢，且a，B，n按此次序构成右手系。axB丄a，axp丄p矢量a，B相互平行的充要条件是它们的矢积等于零。零矢与任意矢量平行。运算规律一览若a，p，y是任意矢量，九，卩是任意纯量，则1） 结合律：九（ya）—（九卩）a(a+B)+y—a+(B+y)(九a)-p—九(a-P)(九a)xp—九(axp)交换律：a+B—B+a

a-p=p-a必须注意：axp=-pxa分配律：(九+卩)a=Xa+ya九(a+p)=Xa+Xpa-(p+y)=a•p+a•yax(p+y)=axp+ax丫混合积、三矢矢积、拉格朗日恒等式1)混合积：已给三个矢量a,p,丫,则axp是矢量，(axp)•y是纯量。若a,b,iic依此是a,p,y的分量，则其混合积为i(axp(axp)•y=(a,p,y)=a1b1c1a2b2c2a3b3c3根据行列式性质，有(a,p,y)=(p,y，a)=(y，a,p)=-(a,y，p)=-(p,a,y)=-(y，p，a)混合积(a,p,y)的绝对值表示以a，p，y为棱的平行六面体的体积。三个矢量a，p，y共面的充要调价是它们的混合积等于零。若三个矢量a，p，y共面，且a，p不平行，则丫是a，p的线性组合:y=Xa+yp三矢矢积：若a，p，y是矢量，则三矢矢积为(axp)xy=(a•y)p-(p•y)a拉格朗日(Lagrange)恒等式：(axp)•(yx6)=(a•y)(p•8)-(a•6)(p•y)特殊地(axp)2二a2p2-(a•p)2可以证明：只有零矢量同时垂直于三个不共面的矢量。对于空间的点、直线和平面的简单应用不妨在标架b二[O;e,e,e]中来考察空间的点、直线和平面。123显然，空间的任意一点P可用其径矢r二OP来表示。令空间任意一直线经过某固定点r，它与一单位矢量v平行，r为直线上任意点，0则该直线可表示为r=r+tv0其中t是纯量。以上方程称为直线的矢方程，其中t是参数，因而也叫做参数矢方程。令空间任意一平面经过某固定点r，它与一单位矢量n垂直，r为平面上任意点，0则该平面的矢方程为n-(r-r)=00注意：通常平面具有方向性，与n同向的一侧称为正侧。另外，两点确定一条直线，三个不共线的点、两条相交直线、两条平行直线也可以确定一个平面。过点r「作直线r二r+tv的垂线，其垂足10r，二r+[(r-r)-v]v1010点到直线的距离d=|r-rl1111点r到平面n-(r-r)二0的距离10d=In-(r-r)1I1 01点到平面的垂足r，二r-[(r-r)-n]n1110两相错直线r二r+1a与r二r+1a的公垂线单位矢量1101122022axan二一1saxa12它们间的最短距离|(r-r,a,a)axa12

§2坐标变换2.1基矢变换在研究齿轮啮合运动时，我们通常取三个标架，一个固定在空间，称为基础标架，另两个分别和运动中的两个齿轮相固连。因此，有必要考察两个标架或坐标之间的相互关系。设b二［O;e,e,e］,L二［Oe',e',e'］为任意两个直角坐标系。考察基矢e,e,e123123123和e和e1,e2,e3之间的关系,设在坐标系b里标架b的基矢e；,e2,e；为e'=工ae(i=1,2,3)i ijjj=；、—eaaae11112131e'=aaae22122232Iee3丿a31a32a33Ie3丿则a，a，a是e'在坐标系b里的分量，也是方向余弦，即e'依次和e,e,e之间的角i1i2i3i i123的余弦：e'e=a (i,j=1,2,3)ijij而在在坐标系b里，标架b的基矢e,e,e为123e=工ae'(i=1,2,3)i jijj=1或、eaaae11121311e=aaae'21222322Ie3丿a13a23a33Ie'丿'37若引进方阵的概念和符号，令aaaaaa111213112131A=aaa，AT=aaa212223122232aaaaaa313233132333则A，AT互为转置方阵，且AAT=I，ATA=I其中I表示三阶单位方阵。A和At都是正常正交方阵表明：从一个坐标系的基矢到另一个坐标系的基矢的变换是具有正常正交方阵的线性变换，称为正常正交变换。若从b到b'的基矢的变换方阵是a，则从b'到b的基矢的变换方阵是aT。设有三个坐标系◎,G'和若从◎到G'的基矢的变换方阵是A，从G'到G"的基矢的变换方阵是B，则从◎到G”的基矢的变换方阵为C二BA2.2矢量的分量变换设xi，x2,X3是任意矢量r在坐标系'里的分量，则在坐标系©里的分量为x'aaax1ii1213ifx'=aaax22122232x'aaax33132333X=AX2.3点的坐标变换设任意点P在坐标系◎二［O;e,e,e］里的坐标是X，在坐标系◎'二［Oe',e',e'］1 2 3 1 2 3里的坐标是X'，再设0点在Q'里的坐标是X，则0X'二X+AX0§3刚