抽象形式幂级数的收敛半径

08考研朋友那典藤同学：你的问题实际上并没有多大的谁度.也不是像你老师讲的“如果不是城空题，道理就讲不湾楚”.【问题】若幕级数乏命广的收敛半径为我，求幕级数左 的收敛半径.【分析怀问题难在它不是填充题，如果是填充题，我们就姑且把“幕级数2鼠必的收敛半径为R»的充分条件《lim己』=我”当作必要条件来瞎蒙，可以求出临|纭®*临&|2±1当邸」邸，i8&(x)Ifax|«+101' R根据-\^<1的要求，似乎也蒙对了正确答案p= 但是作为计算瓯以上R过程是无法给分的.此解法似乎“台情台理”，但是不合数学之“法规”.数学中“充分条件”和“必要条件”是有严格区别，不能混为一谈的.对于这类抽象形式的慕级数问题，正确的解法是需要用到阿贝尔定理、幕级数的性度或:数项皴数的性鹿.为此我们由浅入深，举一反三，逐步探蒙.最后再回过头来看本题，可能就^常简单了.x=-10点处收氮求其收敛【例1J若慕级数乏％（工+3/在x=10点发散,x=-10点处收氮求其收敛半径的范围.【解】设£=x+3,则寐级数方>”（了+3）“和幕级数有相同的收敛半径.Z 7由霆设可知，慕级数交命广在上=13点处发敌，々=-7点处收敛.根据阿x-0贝尔定理知当|/|<7时慕级数交绝对收敛，即收敛半径^>7；当|£|>13时幕级数2。J*发散，即收敛半径313.2故慕级数3+3）*收敛半径R的范围是7<^<13.»-0【例2】若级数乏心条件收敛，求寐级数乏。次*的收敛半径.x-0 x-0【分析与解】题意"级数条件收敛”告诉我们两点：»-0幕级数乏很？在冲=1点处的收敛，由阿贝尔定理可知，当|工|<1时，#■0交绝对收敛，故收敛半径gl;»-09级数Zlw］在X。=1点处发眈可知R不可能大于1，否则（用反证法）»-0应存在满足宜］|>1的X】，使寐级数立。收敛，由于冲=1<|机，根据阿贝»-0尔定理知慕级数殳知寸在心绝X掀敛，即级数刘"*|在％=1点处收敛.»-0 »-0这样就可以断定&=1.【例3瑁幕级数立％/的收敛半径为反（0<R<*>□）,证明幕级数2—go *0引收敛半径为+8.【分析】①条件分析：对任意的收敛（已知）;x-01②目标分析：对任意的工］e（一co,+00），V—|anx^|收敛（求证）；*.0n\从以上的分析中得到启发，可以蚩试用比较宙敛法来证明.【证明】取％e（-乩&）,因为寐级数乏％必的收敛半径为乩可知力必云|7 x-0收敛.任取实数狞记％= V,=|^x；|.喋=*=』至|.«! *以国|现在我们有了一个全新的目标，就是要证明，对于充分大的幺有电<1.为因为2^=1^_LA=o<1.由比值审敛法知正项级数;收io叫…刀+1|% =敛，又根据级数收敛故有姬叫=0.19由极限定义，可知对充分大的心有叫＜1,即虬＜%.根据正顼级数的比较用敛法，即可知级数乏么收敛，即立务M绝对收敛，从而命题得证.卜0 gon-【给那典雅同学的回答】记£=-/,口也瘁=_^1_尸=以(£),并记^+100彩+100七⑥=产#(£)= £丽°°.叫④=t外;(/)=aj”(C0)•刀+100因为£=0时幕级数元0必收敛，所以上面规定了匕"根据寐级数性质，可