奥数公式记忆

--可编辑修改-11到33平方数记忆211=1212122=1442132=169142=196152=225162=256172=289182=324192=361212=441222=484223=529224=576252=625226=676272=729282=784292=841312=961322=1024332=1089两数积一定，差越小，和越小两数和一定，差越小，积越大平方差公式??-??=(??+??(??.??完全平方公式22(a+b)=a2+2ab+b2(a-b)=a2-2ab+b2平方与立方数列求和公式+22+3+22+32+42n(n+1)(2n+1)=6333331+2+3+4+?+n3=(1+2+3+4+?+n)2n(n+1)=[—]2勾股定理??+??=??2223+4=52223+4=522252+12=13等差数列通项公式n=(???-??)十d+1???n=(???-??)十d+1???=(??+???|xn-2山顶数列求和1+2+3+••+n+3+2+1=n2奇数列求和公式（天下无双，个数平方，必须从1开始）1+3+5+••+（2n-1）=n2偶数列求和公式2+4+6+--+2n=n2+n同补速算（头同尾合十）女口：51X59=30095X(5+1)=301X9=09

补同速算如：34X74=2516(3X7+4)=254M=16几位数乘几个“9”的速算，去一填补。女口：35X99=346535-仁34100-35=654321156789X99999=56788重码数速算43211a??a???=?a?c?xiooi??cda??<????获d???ioooia8????a?c?/=?/?bC?x1001001n个”1”xn个”1”111…111X111…111二123…n…321(n<9)如：11111X11111=123454321n个”1”xn个”9”相乘111…111X999…999=111……10888……89n个1”n个9”n-1个1”n-1个8”如：1111X9999=11108889n个”3”Xn个”3”4相乘?33…33X3?…334=111…1222…2n个3”n-1个3”n个1”n个2”如：3333X3334=1111222237X3n=??????n是1-9的自然数）如：37X3X9=9998547X13n二？??？???？（？？?是1-9的自然数）如：8547X13X4=44444412345679X9n二？???????????????是??-9的自然数）如：12345679X9X4=444444444n个”9”Xn个”9”相乘999…9X9S…9=?9…9800•••01n个9”n个9”n-1个9”n-1个0”如：99999X99999=9999800001现有1g,2g,4g,8g,16g2n-1g糖果各一包，整包出售，可以卖的克数有多少种？2n-1种如：1g，2g，4g，8g，16g25-1=31种100以内质数25个2357①③⑦⑨111317192329313741434753596167717379838997部分特殊数的分解11仁3X371995=3X5X7X191001=7X11X131998=2X3X3X3X371000仁73X1372007=3X3X2231010仁3X7X13X372008=2X2X2X2511111仁41X2712015=5X13X31111111=3X7X11X13X372014=2X19X532016=2*2*2*2*2*3*3*72017质数分数的裂项

裂和：??+b??xb=??b卜??xb=1+1?Xbba裂差：b-a??a11??xb=?Xb?Xbab（a1、a2为n的公约数）TOC\o"1-5"\h\z1a（a1、a2为n的公约数）一==+nnX(a1+a2)nX(a1+a2)nX(a1+a2)f44X(1+3)11如：—==—+1515X(1+3)1551a1-a21a1-a2a2nnX(a1-a2)nX(a1-a2)nX(a1-a2)（a1、a2为n的公约数）,33X(4-1)12311如：——==——一——=———2020X(4-1)6060520数的整除特征能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数能被5整除的数的特征：个位是0或5。能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。若奇数位和小于偶数位和方法一：添加11的倍数给奇数位和然后再减偶数位和。方法二：偶数位和减奇数位和后余数再取11的补数能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。若奇数段和小于偶数段的和方法一：添加7/11/13的倍数给奇数段和然后再减偶数段方法二：偶数段减奇数段和后余数再取7/11/13的补数能被99整除的数的特征：一个整数从后两位开始两位一截所得的所有数的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数（同时能被11整除）。“牛吃草”问题常用的公式“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间。难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定。“牛吃草”问题是小学应用题中的难点。解“牛吃草”问题的主要依据：（1）草的每天生长量不变；（2）每头牛每天的食草量不变；（3）草的总量=草场原有的草量+新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值，新生的草量=每天生长量x天数。同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：（1）设定1头牛1天吃草量为“1”；（2）草的生长速度=（对应牛的头数x较多天数-对应牛的头数X较少天数）+（较多天数-较少天数）;（3）原来的草量=对应牛的头数X吃的天数一草的生长速度x吃的天数；（4）吃的天数=原来的草量+（牛的头数一草的生长速度）；牛的头数=原来的草量十吃的天数+草的生长速度。“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题。进制转化N化10,看数位，个十百，1，n,n2如：(463)=()=4X82+6X81+3X8°=256+48+3=30781010化N，看余数，前到后，个十百■女口：865等于五进制的多少?865=(11430进制计算，加减乘除，逢n进1，借1当n平方数有奇数个约数，非平方数有偶数个约数。64=26，约数个数为6+1=7个78=21x31X131，约数个数为(1+1)X(1+1)X(1+1)=8约数个数及约数求和任意整数N可以如下分解N二？f?1x??72x???3x……??:?????、••…??是不同的质数,??、……、？??是正整数。N的约数个数是：(??+1)X(?2+1)X……X(???+1)N所有约数的和是：(1+??+??+.•…+??)X(1+??+??+.•…+??2)X.•…(1+???+?§?+.•…+?1?)所有奇约数的个数和奇约数的和例如：例如：360=23X32X5奇约数32X5，奇约数个数为(2+1)X(1+1)=6奇约数的和为(30+31+32)X(50+51)=78所有偶约数的个数和偶约数的和例如：360=23X32X5，偶约数个数为3x(2+1)x(1+1)=18偶约数的和为(21+22+23)X(30+31+32)X(50+51)=1092所有约数的乘积例如：168的所有约数的乘积是多少？168=23X3X7,先求处约数个数为4X2X2=161，2，3，..，56，84，168配对1-168，2-84，..，共8对为1688约数为奇数个数的数为平方数，平方数的约数个数为奇数。64=82=26，约数个数为7个经典例题1X2X3+2X3X4+3X4X5+..+9X10X11

9X10X11X【1X2X3x(4-0)+2X3X4x(5-1)+3X4X9X10X11X(12-8)】1二一X9X10X11X124=2970浓度三角形甲乙50%甲浓度乙浓度50%丙浓度甲：乙=10:20甲乙溶液的质量比甲乙50%甲浓度乙浓度50%丙浓度甲：乙=10:20甲乙溶液的质量比三阶幻方解法萝卜”法一居上行正中央，依次填在右上角，上出框时下边填，右出框时左边放，斜出框时下边放（出角重复一个样）排重便在下格填。

Z81635749.■B277//①先衽上辿中间填第一啊（其实境租序亍边中何都行）*③a填第二十敷讥问右Z81635749.■B277//①先衽上辿中间填第一啊（其实境租序亍边中何都行）*③a填第二十敷讥问右丄方斛着埴.岀讪丁，出边就填在它的对面.©m玉味也问右上方斛着媒又出边了.填在它的对面o無二臥也向右上方斛着填.遇我T*遇發向下旋.接着填罠反爾7时.出角匚转回卜佝的恪孔⑥用同样的力沱填取兔萝卜”法适用于所有”奇数阶”幻方（真牛），比如9阶（了解）475869801122334455768799112233444667788102132435456777182031425355666171930415263657616272940516264755262839506172744153638496071733142537485970812132435幻方的其它概念：中心数和黄金三角的规律只适用于3阶幻方1•中心数：中心数为对称两边数的和除以2（比如（8+2）12=5）8163574922.黄金三角：黄金三角顶点的数为两腰之和除以2（比如（7+9）/2=8）齐讲一下这个ia步魅么来的d讲Fssmiffo血学1魏葩解思雄r甬吐一购两缓”从最血卜上到上面共宦⑷种不同的上法¥ACDEFGB辭『丄f*彌楼，f段代表一^樱琳msACDEFGB帕11135S13■点畀—W#直剑匚只耗—步『P用入匚怎只有氏到D有豎及，2=H1^2=2（1级I缰走，鏑誠圭Z如,陋D点有茗种苗总迢IE:百住離匚一^戟两种胃R.*丄纺騷辞2舔如果A判F的謝Ttfetl级.所決繚t第2歩士到叽到■右2神；如果H到E的最后一^鞋时期矽血妙B2步走到G爭M有叮和所叹A到E有2U7冲.IM團妊旦一M册罡它谢面棘个点阿魁的和，所以也11呈曲种.这im也丘观娜黄計夕程归纳与递推计数一、欧拉定理平面图形：顶点数+区域数-边数=1二、求最多交点数（n条直线）nx(n-1)*2分平面1、直线分平面：1+nx(n+1)*22、封闭图形?圆分平面：2+nx(n-1)?椭圆分平面：2+2nx(n-1)?三角形分平面：2+3nx(n-1)?四边形分平面：2+4nx(n-1)?M变形分平面：2+Mnx(n-1)四、多边形分三角形(n个内点)四边形：4+(n-1)x2M边形：M+(n-1)x2一只小船从甲地到乙地往返一次共用2小时.回来时顺水,比去时每小时多行驶8千米因此第2小时比第1小时多行驶6千米，求甲乙两地距离根据条件可知，这艘船第一小时时是不能到达B港的，只能到达的丙地(假设)•也就是说这艘船第二小时行的路程有两部分：第一部分路程是以原速度逆流而上从丙到乙；第二部分路程是以新速度顺流而下从乙到甲第二小时比第一小时多行的6千米，不可能在第一部分多行，必定是在第二部分路程(返回的路程)多行的返回时，每小时多行8千米,行多长时间才能多行6千米呢？由此可求出返回用的时间是：6+8=3/4(小时)那么在(第二小时内)行第一部分路程用的时间就是：1-3/4=1/4(小时)第二小时比第一小时多行了6千米，除去同样多的部分(甲丙间)，多出来的6千米就是两个丙、乙间的路程可求出丙、乙间的路程是:6+2=3(千米)去时的速度是：3+1/4=12(千米/小时)甲、乙两港间的距离：12X1+3=15(千米)页码问题王先生在编一本书，其页数需要用6869个字，问这本书具体是多少页？A.1999B.9999C.1994D.1995方法一：假设这个页数是A页，则：A+(A-9)+(A-99)+(A-999)=6869，求出A=1994方法二：6869>2889，所以，把所有的数字看作是4位数字，不足4位的添0补足4位，1、2、3、，…9记为0001、0002、0003、..0009这样增加了3*9=27个010、11、12、…99记为0010、0011、0012、..0099增加了180个0100、101、…999记为0100、0101、…0999增加了900个O(6869+27+180+900)/4=1994总结：一本书排版时用了N个数字，求这本书有多少页，N<2889时，用公式：N/3+36;N>2889时,用添加0计算。4.在1-5000页中，出现过多少次数字3?解析：每十个数里的个位上有一个3，5000个数就有5000/10=500个3，每一百个数里的十位上会有30到39,10个3，所以（5000/100）乘10=500个3，每一千个数里的百位上会有300到399,100个3所以（5000/1000）乘100=500个3，在千位上的3就有3000到3999,1000个3，所以500+500+500+1000=2500个35.一本书有4000页，问数字1在这本书里出现了多少次？解析：我们看4000分为千，百，十，个四个数字位置千位是1的情况：那么百、十、个三个位置的选择数字的范围是0--9共计10个数字。就是10*10*10=1000百位是1的情况，千位是（0,1,2,3）4个数字可以选择。十位，个位还是0--9，10个数字可以选择即4*10*10=400十位和个位都跟百位一样。那么答案就是1000+400*3=2200总结：因为在页码1-99中，1、2、3、4、5、6、7、8、9均会出现20次；在页码100-999中，I、2、3、4、5、6、7、8、9均会出现20*9+100次。上面两题均可以用公式，关于含1”的页数问题，总结出的公式就是：总页数的1/10乘以（数字位-1），再加上10的（数字位数-I）次方。如三位数：总页数的1/10乘以（3一I）+1O的（3-1）次方四位数：总页数的I/10乘以（4一I）+10的（4-I）次方那么第4题：（5000/10）*3+1000=2500;第5题：（4000/10）*3+1000=2200在1-5000页中，含3的页数有是多少？在页码1-99中，数字3出现了20次，即有19个含3的页码（33页要去掉一次）；在页码100-999中，分两种情况考虑：（1）首位数字是3，那么，后面两位就不用管了，一共有含3的页码100页；（2）首位数字不是3，那么必须考虑后两位数字含3，而前面知道，1-99中，有19个含3的页码，由于首位数字这时有I、2、4、5、6、7、8、9这么8种可能性，所以应该是19*8个含3的页码。本题，在1-999中，含3的页码一共19+19*8+100=19*9+100页；再引申到1000-5000，也分两种情况：（I）千位是3，则有1000页：（2）千位不是3，则只可能是I、2、4,只考虑后3位，有（19*9+I00）*3个含3的页码。所以，合计是：19*9+100+（19*9+100）*3+1000=2084页7.99999中含有多少个带9的页面?答案是40951，排列组合学的不是特别好的同学可以牢记公式：[（19*9+100）*9+1000]*9+10000=40951规律很简单：19*9+100，代表I-999里含I、2、3、4、5、6、7、8、9的页码数；（19*9+100）*9+1000，代表1-9999里含I、2、3、4、5、6、7、8、9的页码数；[（19*9+100）*9+1000]*9+10000，代表I-99999里含1、2、3、4、5、6、7、8、9的页码数。2位数是19页，然后每多一位数就乘以9，再加上10的N次方，N=位数减1。一本300页的书中含『的有多少页？19*2+100=138页将所有自然数，从1开始一次写下去得到：12345678910111213……，试确定第206786个位置上出现的数字?A.3B.0C.7D.4解析：方法一：9999*4<10000*4=40000<206786<99999*5,那么肯定是5位数了。I,2,3,…9记位00001,00002,00003,..00009这样增加了4*9=36个010,11,12,…99记为00010,00011,00012，..00099增加了270个0100,101，…999记为00100,00101，…00999增加了1800个O1000,1001，，…,9999记为01000,01010，…09999增加了9000个O(206786+36+270+1800+9000)/5=217892/5=43578余2,说明206788位置上的数就是第43579的第2个数字3方法二设有A页，那么：A+（A-9）+（A-99）+（A-999）+（A-9999）=2067885A-（9+99+999+9999）=206786A=43578余数是2说明206786位置上的数就是第43579的第2个数字3一本小说的页码，在印刷时必须用1989个铅字，在这一本书的页码中数字1出现多少次?解析：共有1989/3+36=699页。即出现：（700/10）*（3-1）+100=240次11.印刷一本书用了1992个数字，在这本书中出现数字2的页码有多少页？A.214B.226C.230D.240解析：有1992/3+36=664+36=700页，含有数字2的页码：6*19+100=214选A小数化分数分成两类.一类：纯循环小数化分数，循环节做分子；连写几个九作分母，循环节有几位写几个九.例：0.3（3循环）=3/9（循环节的位数有一个，所以写一个9）0.347（347循环）=347/999（3位循环节写3个9）0作分母,另一类：混循环小数化分数，小数部分减去不循环的数字作分子；连写几个0作分