基于MATLAB实现的最小二乘拟合-数值计算方法

实验二最小二乘拟合【实验内容】1、理解最小二乘拟合的原理；2、理解适定、欠定、超定三类线性方程组的区别，会求其解；3、理解和掌握“左除运算”；4、完成最小二乘拟合的程序（过程或函数）5、会使用画图命令6、与系统函数进行对比分析和学习。【实验方法与步骤】一、回答下面的问题1、什么是超定方程，其对应的珍贵方程组是什么，系数特点是什么？2、最小二乘拟合方法和插值方法的相同点和不同点，各自用在什么情况下？请举例说明你在其它实验课中遇到的使用最小二乘拟合方法的场景；3、生成超定方程时，大家发现了Matlab的矩阵存储顺序是行优先（C语言规则），还是列优先（Fortran语言规则）？为什么呢？4、时间测试下，请对自己编写的最小二乘拟合代码和系统内置函数的执行效率比较和分析。在自己的代码中，将循环体改写成等价的矩阵运算，执行时间是否有所缩短？二、完成下列计算，写出代码1、用矩阵逆、左除和rref分别求p74第9题，测试执行时间2、画图命令，画出习题5第16、17题的拟合点图形，进行拟合函数选型3、编写最小二乘拟合程序，求出习题5第16、17题的拟合函数，并绘图4、执行系统函数polyfit，与自己程序的计算结果进行比对和分析。第1页共1页2015年5月4日星期一制作：王定第2第2页共#页2015年5月4日星期一制作：王定【实验结果】解：一、1:超定方程定义方程个数大于未知量个数的方程组对应正规方程组对于方程组Ra=y,R为nXm矩阵，如果R列满秩，且n>m。则方程组没有精确解，此时称方程组为超定方程组。系数特点R为nXm矩阵，R列满秩，且n>m解：一、2最小二乘法与插值法方法相同点不同点适用情况最小都是从在知道一组实验数据(不准确值)中数据通常是实验二乘一组数寻找自变量x和因变量y之间的函数测定出来的，出法据去求关系y=F(x),用拟合曲线S(x)去逼近于对精度的要函数实验数据，来描述自变量x和因变量求，不一定保留y二f(x)y之间的函数关系全部数据的近似在用最小二乘法求拟合曲线时，不要表达式求曲线过给定的一组点。插值在不知道函数y=f(x)解析式，知道函数在［a,b］区间上一系列点的函数值(准确值)的前提下，构造插值函数P(x)来代替f(x)，来求非插值节点的函数值。构造插值函数时，要求插值函数过插值节丿点a<x0<x1<...<b已知函数y二f(x)在区间［a,b］上(n+1)个互异点x(i=0,1,...,n)上的函数值y.解：一、3：优先问题matlab和Fortran一样，都是列优先的.与之相反的是C++；验证如下：clear结果：clca=a=ones(3,5)11111sum(a)%母列的兀素相加1111111111ans=33333由于在数学发展过程史中向量默认均指列向量，这样设计可以直接服务已有知识体系，比如aTa是向量的内积，若用MATLAB写就是a'*a，不存在新的学习成本。解：一、4：执行效率与时间分析A=[32;1-1];y=[-l1]';结果tic,x=inv(A)*y;tocElapsedtimeis0.000000seconds.tic,x=A\y;tocElapsedtimeis0.000000seconds.tic,x=y'/A';tocElapsedtimeis0.000000seconds.说明：x=A\Y比inv(A)*y的计算效率平均高大约50倍，测试耗费时间长短与机器性能及当前并发程序数量荷重都有关系。

解：二、1：矩阵逆、左除和rref分别求p74第9题%juzhenni%zuochuA=[4-2-4;-21710;-4109];A=[4-2-4;-21710;-4109];b=[103-7]';b=[103-7]';x=inv(A)*bx=A\b>>juzhennix=x=2211-1-1>>A=[00.83240.76750.9831;0.8324>>A=[00.83240.76750.9831;0.83240.69300.64000.8190;0.76750.64000.69300.64000.8190;0.76750.64000.59110.59110.7580;0.98310.81900.75800.7580;0.98310.81900.75800.0055];0.0055];b=[8.8997;7.4144;6.8428;4.9171];b=[8.8997;7.4144;6.8428;4.9171];x=A\bx=inv(A)*bx=x=1.0e+002*1.0e+002*0.002735359618640.002735359618642.071386399032832.07138639903280-2.17702240185198-2.177022401852000.036252319058550.03625231905855(3)rrefA=[4-2-4;-21710;-4109];b=[103-7]';>>C=[A,b];U0=rref(C)%用行阶梯形解线性方程组，U0的取后列就疋解U0=10020101001-1%rrefA=[00.83240.76750.9831;0.83240.69300.64000.8190;0.76750.64000.59110.7580;0.98310.81900.75800.0055];B=[8.8997;7.4144;6.8428;4.9171];C=[A,B];U0=rref(C);%用行阶梯形解线性方程组，U0的最后一列解释方程的解U0=1.00000000.273501.000000207.1386001.00000-217.70220001.00003.6252解：二、2：画出习题5第16、17题的拟合点图形习題£第仃题最小二乘法实现解：二、3：最小二乘拟合程序，求出习题5第16、17题的拟合函数%习题5第16题，最小二乘法实现x=[-1.00-0.75-0.50-0.2500.250.500.751.00]';y=[-0.22090.32950.88261.43922.00032.56453.13343.70614.2836]';V=[x.A0,x,x.A2];A=V\y%超定万程组A=polyfit(x,y,2);plot(x,y,'*')holdonx1=-1.00:0.02:1.00;y1=polyval(A,x1);plot(x1,y1);gridxlabel('x轴'),ylabel('y轴'),title('习题5第16题最小二乘法实现')；A=2.00012.25160.0313%习题5第17题，最小二乘法实现x=[-3:1:3]';y=[1000012]';V=[x.a0,x,x.a2];A=V\y%超定万程组A=polyfit(x,y,2);plot(x,y,'*')holdonx1=-3:0.02:3;y1=polyval(A,x1);plot(x1,y1);gridxlabel('x轴'),ylabel('y轴'),title('习题5第17题最小二乘法实现')；A=-0.14290.17860.1786解：二、4:执行系统函数polyfit，与自己程序的计算结果进行比对和分析。>>x=[0.10.40.50.70.70.9]';>>y=[0.610.920.991.521.472.0