云南曲靖市马龙区第一中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷（含答案）

云南曲靖市马龙区第一中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷(试卷满分150分，考试时间120分钟)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若对任意，，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（）A. B. C. D.2.已知全集U={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3}，B={2,4}，则(∁A.{1,2,4}

B.{2,3,4}

C.{0,2,4}

D.{0,2,3,4}3.若a>b,c>d，则下列不等式一定成立的是（

）A.a2>b2

B.ac2>bc24.已知集合A={x∣x2−5x−14⩽0}，B={x∣−1<x<8}A.{x∣−1<x⩽7}

B.{x∣−2<x<−1} C.{x∣7⩽x<8}

D.{x∣−2<x<8}5.已知f(x)=1，x∈Q，0，x∈∁RQ，若对任意x∈R，均有xf(x)≤gA.g(x)=1x

B.g(x)=x C.g(x)=x2

D.g(x)=|x6.若函数f(x)＝ax2＋(2＋a)x＋1是偶函数，则函数f(x)的单调递增区间为()A.(－∞，0]

B.[0，＋∞) C.(－∞，＋∞)

D.[1，＋∞)7.已知f(x)是定义在R上的奇函数，若对任意0<x1<x2，均有xA.(−∞，−1)∪(1，+∞)

C.(−1，0)∪(0，1)

D.(−1，1)8.若幂函数f(x)＝(m2＋3m－27)xm的图象关于y轴对称，则m＝()A.8

B.－7

C.4

D.2二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.“a>1,b>1”是“ab>1”成立的充分条件B.命题p:∀x∈C.命题“若a>b>0，则1aD.“a>b”是“a210.已知a>0，b>0，且a+1A.b4−a的最小值为0

B.a2+1b2的最小值为12

C.ab11.已知函数f(x)，g(x)是定义在R上的非常数函数，满足f(x+2)+g(x−1)=3，f(x)+g(1−x)=3，且f(x+1)为奇函数，则（）A.f(x)为奇函数

B.f(x)为偶函数

C.2024∑k=1f(k)=0

三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知集合，且，则的值为______．13.已知a>0，b>0，a+b+c=1，则a2+b14.设函数f(x)=2(x+1)2x2+1的最大值为M四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设集合A={x∣−3<x<4}，集合B={x∣2−a<x<3+2a}．（1）若a=1，求A∩B和A∪B；（2）A∪B=A，求实数a的取值范围．16.若，.（1）若的解集为，求的值；（2）当时，求关于的不等式的解集.17.某保健厂研制了一种足浴气血生机的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为2；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为k，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.06.（1）求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式；（2）求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值，并求此时x的值.18.已知定义在(-1，1)上的函数f(x)满足对任意的x，y∈(-1，1)，都有f(x)+f(y)=f(x+y1+xy)，且当x∈(-1，0)时，f(x)（1）判断函数f(x)的奇偶性并证明；（2）判断函数f(x)在(-1，1)上的单调性，并用单调性的定义证明；（3）解不等式f(x+1)+f(11−x)19.已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求的值；（2）判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明；（3）解关于的不等式.一、单选题1.【答案】D【解析】选项A：因为，但，不满足“影子关系”集合定义，所以A错误.选项B：由于，而无意义，不符合要求，所以B错误.选项C：例如，但，不满足定义，所以C错误.选项D：对任意，都有，符合“影子关系”集合定义，所以D正确.故选：D.2.【答案】C【解析】已知全集U={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3}，则∁U又B={2,4}，所以(∁故选C.3.【答案】C【解析】对于A，当0>a>b时，比如a=−1，b=−2，a2=1，b2=4，此时对于B，当c=0时，ac2=b对于C，因为a>b，所以a−b>0；又c>d，所以c−d>0.则(a−b)+(c−d)>0，即a+c−(b+d)>0，所以a+c>b+d，C正确.对于D，当0>a>b，0>c>d时，例如a=−1，b=−2，c=−1，d=−2，ac=1，bd=4，此时ac<bd，D错误.所以一定成立的不等式是C选项.4.【答案】A【解析】解不等式x2−5x−14⩽0，可得−2⩽x⩽7，所以又B={x|−1<x<8}，所以A∩B={x|−1<x⩽7}.故选A.5.【答案】D【解析】g(x)=1x，当x∈Q时，不妨取x=2，则f(2)=1，此时2≤12不成立，即xf(x)≤g(x)不成立，g(x)=x，当x∈∁RQ时，不妨取x=-2，则f(-2)=0，则0≤-2不成立，即xf(x)≤g(x)不成立，B错误；g(x)=x2，不妨取x=12，则f(12)=1，此时12≤14不成立，即xf(x)≤g(x)=|x|，当x∈Q时，则f(x)=1，此时x≤|x|恒成立，即xf(x)≤g(x)成立，当x∈∁RQ时，则f(x)=0，此时0≤|x|恒成立，即xf(x)≤g(x)成立，故对任意x∈R，均有xf(x)≤g(x)，D正确.故选D.6.【答案】A【解析】因为函数f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)，解得a＝－2，即该函数f(x)＝－2x2＋1，所以函数f(x)在(－∞，0]上单调递增．7.【答案】B【解析】由已知当0<x有x2f(x设g(x)=f(x)x，则g(x)在(0，+∞由f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)=0，所以当x=0时，0−f(0)=0，不满足题意；当x≠0时，易知g(x)=f(x)x为偶函数，且g(−1)=g(1)=f(1)1=1，又函数g(x)在(0，+∞)上单调递减，则g(x)在(−∞，0)当x<0时，由x−f(x)>0，可得g(x)>1=g(−1)，则−1<x<0.综上所述，不等式x−f(x)>0的解集为(−1，0)∪(1，+∞故选B.8.【答案】C【解析】由题意得m2＋3m－27＝1，解得m＝4或m＝－7.又因为f(x)的图象关于y轴对称，是偶函数，所以m＝4.故选C.二、多选题9.【答案】AC【解析】对于A：当a>1，b>1时，则ab>1×1=1，所以“a>1，b>1”是“ab>1”成立的充分条件，A正确.对于C：当a>b>0时，1a因为b−a<0，ab>0，所以b−aab<0，即命题“若a>b>0，则1a<1对于D：当a=1，b=−2时，a>b，但a2=1，b2所以“a>b”不是“a2>b故正确的为AC.10.【答案】ABC【解析】由a+1b=1可得a=1−1b对于A选项，b4−a=b所以b4−a⩾0，当且仅当b4=1b即对于B选项，a2+1b2⩾(a+1b)2对于C选项，ab所以当1b=12即b=2时，ab取得最大值1对于D选项，(1因为1ab+4ab⩾21即1a+4b⩾9a+1故答案为：ABC.11.【答案】BCD【解析】因为f(x+1)为奇函数，所以f(−x+1)=−f(x+1)，即f(x)+f(2−x)=0.由f(x+2)+g(x−1)=3，用2−x代x得f(4−x)+g(1−x)=3，又f(x)+g(1−x)=3，所以f(4−x)=f(x)，即f(2−x)=f(x+2).结合f(x)+f(2−x)=0可得f(x)=−f(x+2)，则f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，函数f(x)的周期为4.又f(−x)=f(4−x)=f(x)，所以f(x)为偶函数，A错误，B正确.因为f(x)+f(2−x)=0，所以f(1)+f(3)=0，f(2)+f(4)=0.2024÷4=506，则2024∑k=1f(k)=506×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=0由f(x)+g(1−x)=3可得f(1−x)+g(x)=3，又f(x)为偶函数且f(x)+f(2−x)=0，所以f(1−x)=−f(1+x)，则g(x)=3−f(1−x)=3+f(x+1).2024∑k=1f(k)=02024∑k=1g(k)=故答案为：BCD.三、填空题12.【答案】0或【解析】因为A=B，所以−4m=m2，即m2+4m=0，m(m+4)=0，解得当m=0时，A=B={4,0当m=−4时，A=B={4,16所以的值为0或.13.【答案】−2【解析】已知a+b+c=1，则c−1=−(a+b)，那么a2由(a−b)2⩾0当且仅当a=b时取等号，所以a2则−a令t=a+b（t>0），则−1因为12t+2t⩾2所以−(1即a2+b14.【答案】4【解析】f(x)=2(设g(x)=4xx2g(−x)=−4xx2设g(x)的最大值为N，则最小值为−N，则M=2+N，m=2−N，所以M+m=4.四、解答题15.【答案】解：（1）当a=1时，B={x|1<x<5}.A={x|−3<x<4}，则A∩B={x|1<x<4}，A∪B={x|−3<x<5}.（2）由A∪B=A可知B⊆A.当B=⌀时，3+2a≤2−a，解得a≤−1当B≠⌀时，a>−132−a≥−3综上，实数a的取值范围为(−∞16.【答案】解：（1）f(x)=ax2−(a+1)x+1，f(x)<0解集为(14，1是方程a由韦达定理1+14=（2）f(x)=(ax−1)(x−1)=0，a>0，两根为x=1a和当0<a<1时，1a>1，不等式解集为当a=1时，不等式为(x−1)2<0当a>1时，1a<1，不等式解集为综上：当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.17.【答案】解：（1）由题意，设干扰度之和，.当时，，代入可得，即.解得，所以，.（2）因为，所以.当且仅当，即时取等号.所以当时，干扰度之和最小，为.18.【答案】解：（1）函数f(x)是奇函数，证明如下:令x=y=0，则f(0)+f(0)=f(0)，解得f(0)=0.由x∈(-1，1)，得-x∈(-1，1)，令y=-x，则f(x)+f(-x)=f(x−x1−x2)=f(∴f(x)为定义在(-1，1)上的奇函数.（2）函数f(x)在(-1，1)上单调递减，证明如下:∀x1，x2∈(-1，1)，且x1<x2，则-x2∈(-1，1)，∴f(x1)+f(-x2)=f(x∵-1<x1<x2<1，∴1-x1x2>0，则x1−x21−x1x2<0，又x1−x∴-1<x1−x21−x1x2<0，又当x∈(-1，∴f(x1−x21−x1x2)>0，∴f(x1即f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(-1，1)上单调递减.（3）由f(x+1)+f(11−x)>0，得f(x+1)>-f(11−x)=f(1x−1)，∵∴−1<x+1<1，−1<1x−1<1，x+1<1x−1，∴不等式f(x+1)+f(11−x)>0的解集为(-2，-19.【答案】解：（1）因为f(x)是定义在(−2,2)上的奇函数，根据奇函数性质对于f(