孔明是一个喜欢探究钻研的同学,他在和同学们一起研究某条抛物

23.(2011广东株洲，24，10分)孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax2(a<0)的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O,两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：若测得OA=OB=2五(如图1),求a的值；对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF4轴于点F,测得OF=1,写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标；对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标设点A(设点A(-m,一丄m2)(m>0),则OE=m,21AE=—m2,2【答案】解：(1)设线段AB与y轴的交点为C,由抛物线的对称性可得C为AB中点,•/OA=OB=2^2，厶OB=90°,.•・AC=OC=BC=2,.・・B(2,-2),将B(2,-2)代入抛物线y=ax(a<0)得，a=-.2(2)解法一：过点A作AE4轴于点E,•/点B的横坐标为1,.(1,-丄),2:.BF=丄.又\，ZAOB=90°，易知厶OE=XOBF,又ZAEO=XOFB=90。,2AEOF1:△EOsZFB,：.——===2/.AE=2OE,OEBF1.•«m=4，即点A的横坐标为-4.1212解法二：过点A作AE丄x轴于点E,1AE=m*2*2•:—m2=2m2•・1AE=m*2*2•:—m2=2m2•・•点B的横坐标为1,:B(1,-1),2设A(-m,一—m22(m>0).15OB2=12+(―)2=,24OA21—m4,AB2=(1+m)2411+(一—+—m2)2,22•ZAOB=90°,:.AB2=OA2OB2，.11.•(1+m)2+(一—+—m2)22211(1+m)2+(一一+—m2)2,22•/点B的横坐标为1,・：（1,-丄）,2：・tanZOBF==丄=2BF1VZ4OB=90°,易知Z4OE=zOBF,AE=tanZAOE=tanZOBF=2,•:AE=2OE,OE解得：m=4，即点A的横坐标为-4.-—n2)(n〉0),2(3)解法一：设A(-m,一丄m)(m-—n2)(n〉0),2设直线AB的解析式为：y=kx+b,一mk+b则<nk+b=1=一—m221一—n22(1)(2)(l)xn+(2)xm得,(l)xn+(2)xm得,(m+n)b=一—(m2n+mn2)=一—mn(m+n),22AEOE0.5m2m又易知NAEOs^OFB,..=，…，=,.«mn=4,OFBFn0.5n2：.b=--x4=-2.由此可知不论k为何值，直线AB恒过点（0,-2）,2（说明：写出定点C的坐标就给2分）解法二：设A（一m，一-_m2)2(m>0),B（n，-一n2)2(n>0),直线AB与y轴的交点为C,根据S:=S一S—S—S+S可AAOB梯形ABFEAAOEAB0FAAOCABOC得111111111—•(—n2+—m2)(m+n)一—•m•—m2一—•n■—n2=—•OC-m+—•OC-n,222222222化简，得OC=mn.2又易知△AEOsAOFB,.aeOE,0.5m2m.mn=4.OC=2为固定值.••—,••——OFBFn0.5n2故直线AB恒过其与y轴的交点C（0,-2）说明：mn的值也可以通过以下方法求得.由前可知，OA2=m2+丄m4,OB2=n2+丄n4,AB2=(m+n)2+(--m2+丄n2)2,由OA2+OB2=由OA2+OB2=AB2，得:24.⑶以AC,CB为一组邻边作口ABCD，则点D关于x轴的对称点D是否在该抛物线上?请说明理由.39以设BD39以设BD的解析式为y=--x+b，因为B(3,0)，所以b=-，直线BD的解析式223911为：y=-%+，同理可得:直线AD的解析式为:y=x+，因此直线BD与CD的交2222331点坐标为:(2,)，则点D关于x轴的对称点D"是(2,-)，当x=2时代入y=x2-x-第即题图【答案】解：⑴••二抛物线y=1x2-x+a的顶点坐标为(-—,222"—方2222222213得,y=-—,所以D柱二次函数y=x2-x-的图象上.2a4a13点在直线y=-2x上，所以y=-2,即顶点坐标为(1,-2),・・2=—-1+a,即a=-—4;(2)二次函22数的关系式为y=x2-x-，当y=0时，2213x2-x-=0，解之得：x=-1,x=-，即A(-1,0),B(3,0)；(3)如图所示:221233直线BD//ACAD//BC,因为A(-1・0),C(O,--)，所以宜线AB的解析式为y=--x-一,所22225・(2011四川广安，30,12分)如图9所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC^4D，ZBAD=90。，BC与y轴相交于点M,且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A(-1.0)，B(-1.2)，D(3.0)，连接DM,并把线段DM沿DA方向平移到O/V,若抛物线y=ax2+bx+c经过点D、M、N。求抛物线的解析式抛物线上是否存在点P.使得PA=PC.若存在，求出点P的坐标；若不存在.请

说明理由。设抛物线与x轴的另一个交点为E.点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有\qe-QC|最大？并求出最大值。答案】(1)解：由题意可得M(0.2)，N(-3.2)'2=c••]2=9a-3b+c0=9a+3b+c1a=-—9解得：＜c=2(2)VPA=PC•P为AC的垂直平分线上，依题意，AC的垂直平分线经过(-1.2)(1.0)所在的直线为y=-x+1x=3+3^2fx=3—3弋'2解得：＜1f_)2_Iy=-2-3、；'2Iy=-2+解得：＜12:・P](3+3“2,—2—3心2)P2(3—3^2,—2+3"2)(3)D为E关于对称轴x=1.5对称CD所在的直线y=－x+3.了q=4.5.4(-1.5.4.5)|QE-QC|最大值为QC=\：2.52+2.52=5<22设点A(-m,一丄m2)(m>0),则OE=m,.•m=4，即点A的横坐标为-4.解法三：过点A作AE丄x轴于点E,1111(