弯曲变形要点

Deformations

in

Bending§6–2梁的挠曲线近似微分方程§6–4按叠加原理求梁的挠度与转角§6–5梁的刚度校核第六章 弯曲变形§6-1工程中的弯曲变形问题§6-6提高弯曲刚度的一些措施§6–3用积分法求弯曲变形§6－１

工程中的弯曲变形问题研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。研究目的：①对梁作刚度校核；②解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。叠板弹簧应有较大的变形,才可以更好地起缓冲减振作用.工程中弯曲变形的利用叠板弹簧其方程为： v

=f(x)三、转角与挠曲线的关系：?tan?

?

d?

? ?

?dx一、度量梁变形的两个基本位移量挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用v表示。 与y同向为正，反之为负。P转角：横截面绕其中性轴转动的角度。用?

表示，逆时针转动为正，反之为负。挠曲线二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。小变形注意:挠曲线必须是光滑和连续的，任意截面都有唯一的挠度和转角?

EI1

?

M二、曲率与挠曲线的关系（数学表达式)?

?232?1

?

(?

)?

??1?

(x)?

??1?(x)……（2）M

(x)

?

??EI三、挠曲线与弯矩的关系：联立（1）、（2）两式得EI

?

?

?

M

(x

)?1

?

M

(x)

……（1

）?

(x)

EIz?

??

?

1,?

→→§6-2

梁的挠曲线近似微分方程及其积分一、曲率与弯矩的关系：这就是挠曲线近似微分方程。2(x

)dx

)dx

?

C

1

x

?

CEI

?

(x

)

?

?(?M§6-3

积分法计算梁的变形步骤：（EI为常量）1、根据荷载分段列出弯矩方程M（x）。2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分EI??(x)?

M

(x)EI??(x)?

?M

(x)dx

?

C

13、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。PABCPD?边界条件：?

A

?

0?

B

?

0?

D

?

0?

D

?

0???

?C右左或写成?

?C???

?C??

光滑连续条件：

C?C右左或写成?

?C?C?C、固定支座处：挠度等于零、转角等于零。、固定铰支座处；可动铰支座处：挠度等于零。、在弯矩方程分段处：一般情况下左、右的两个截面挠度相等、转角相等。4、确定挠曲线方程和转角方程。5、计算任意截面的挠度、转角；挠度的最大值、转角的最大值。例1

求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。M

(x)?

?

P

(L

?

x)?写出微分方程的积分并积分?应用位移边界条件求积分常数EI

?

?

?

M

(x)

?

?

P

(L

?

x)121EI??? P

(L

?

x)2

?

C2161EI?

?

? P

(L

?

x)3

?

C

x

?

C612PL

3

?

C ?

0EI?(0)

?

?2EI?(0)?

EI??(0)?

1

PL

2?

C ?

012162?

1

PL

3?

C ?

?

1

PL

2

;C解：?建立坐标系并写出弯矩方程PL?写出弹性曲线方程并画出曲线6EIP?(L

?

x)3

?

3L

2

x

?

L

3

??(x)?

?PL

3?

?(L

)?

?3EI?

m

axPL

2?

?(L

)?

?2EI?max?最大挠度及最大转角PL(

)(

)解：?建立坐标系并写出弯矩方程??0(0

?

x

?

a)(a

?

x

?

L

)?P

(x

?

a)M

(x)??写出微分方程的积分并积分???

11D?

1

P

(x

?

a)2

?

CEI

?

??

?

2??2123x

?

D?

D?

C

1

x

?

CP

(x

?

a)?

1EI

?

?

?

6?

0(0

?

x

?

a)(a

?

x

?

L

)?

P

(x

?

a)EI

?

?

?

?PLa例2

求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。?应用位移边界条件求积分常数21EI?

(0)

?

?

Pa

3

?

C ?

0611EI

?(0)

?

Pa

2?

C ?

0232211?

?

1

Pa

2

;C ?

D ?

1

Pa2

6?

D?

C?(a

?

)?

?(a

?

)?(a?

)?

?(a

?

)?

C

1

?

D

1?

D

1a

?

D

2?

C

1a

?

C

2PLa?写出弹性曲线方程并画出曲线(a?

x

?

L

)??6EI?6EI?

Pf(x)?

?

?

P?3a2x

?

a3

??(x

?

a)3

?

3a2x

?

a3

?

(0

?

x

?

a)Pa

26EImax?3L

?

a?? ?

?(L

)?

?Pa

22EI?

?(a)

?

??

max?最大挠度及最大转角PLa(

)(

)§6-3按叠加原理求梁的挠度与转角一、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。?(P1P2

?

?

?

Pn

)?

?1

(P1

)?

?2

(P2

)?

?

?

?

??n

(Pn

)?(P1

P2

?

?

?

Pn

)?

?1

(P1

)?

?

2

(P

2

)?

?

?

?

?

?

n

(Pn

)例3

按叠加原理求A

点转角和C点挠度。解、?

载荷分解如图?由梁的简单载荷变形表，查简单载荷引起的变形。6

EIPa3fPC?

?4

EIPa2?

??

PA24

EI5

qL4fqC?

?3

EIqa3?

??

qAPP=+AAAqBBqBCaaPP=+AAAqBBqBCaa?叠加A?

?

qA? ?

?

PA12

EIa

2(3P

?

4qa

)?

?Pa5

qa34?fC

?

?

24

EI 6

EI(

)(

)解、?

载荷分解如图例4

按叠加原理求B点挠度和转角。?由梁的简单载荷变形表,查简单载荷引起的变形。?

叠加(

)(

)abABCPABC?BByCy2Pa

33EIPa

22EIPa2EI?ByB

??Pa

3

Pa

2byC

?

yB

?

?B

?b

?

?3EI

2EI?C

?

?B

?(

)(

)二、变形叠加：例5

按叠加原理求C截面挠度和转角。P例6

按叠加原理求C点挠度和转角。=+三、逐段刚化法原理说明L1

L2

PACCPL2Bf1f2等价等价f?

f1?

f2BfPL1L2AB刚化AC段CL1L

P2ACB刚化BC段PL1L2ABCM刚化BC刚化AB例7按叠加原理求C截面挠度。(1)刚化BC(

)(

)(2)刚化AB(3)叠加(

)(

)ABLaCqABLCqaM=qa/2?（b）例8：求图示梁B截面的挠度（

EI

已知）。解：1)结构分解如图2)

查梁的简单载荷变形表BC?+q=（a）6EI3EI1(

qa

)L2qa

3

L2y

Bbqa

4y

Ba?

a

?

??

a

?

??

?

Cb?

?

;8EI(

)(

)ABLaCqABLCqaM=qa/2?3)叠加BC?+（b）q=（a）24

EI8EI

6EI3

Lqa

4

qaqa

3

(3a

?

4L

)?

???

?y

B

?

y

Ba

?

y

Bb(

)?注意下列两种情况如何计算C截面的挠度和转角?

（1）?

（2）AB.a

C

bP

PAa

C

bB.M=PbAa

B

bCP求yCA.a

B

bPM=PbC求yC（错误）§6-5梁的刚度校核))10001~2501(???

L

?:

?

f

?

??

L?

f

?fmaxL(对

土建工程??

??

?max一、梁的刚度条件其中[?]称为许用转角；[f/L]称为许用挠跨比。通常依此条件进行如下三种刚度计算：?、校核刚度：??

f

?fmaxL??

??

?max?

L

??、设计截面尺寸；(但：对于土建工程，强度常处于主要地位，刚度常处于从属地位。特殊构件例外）?、设计载荷。2P

=2kNAC例8

下图为一空心圆杆，内外径分别为：

d=40mm

、D=80mm

，杆的E

=210GPa

，工程规定C

点的[f/L]=0.00001,B

点的??]=0.001弧度,试核此杆的刚度。++=P

1=1kNAD

B200mm P

1=1kN=D

BCP2L=

400mm

a=

0.1m

PA

D

B

CP

2=2kNBCDAP

2BCaP2BCDAMBCa=+图1图2图3P

L

2

a116EI1B1Cf ?

? a

?

?P

L

2116EI1B? ?

??

ML

?

LaP

23EI

3EI?

3Bf2P

2

La3

EI3

B3

C?

? a

?解：?结构变换，查表求简单载荷变形。2B? ?

0P

a323EI2Cf

?L=

400mmP

2=2kNACa=

0.1m

PD200mm P

1=1kNB1P

=1kNABDCP

2BCDAP

2+MP

2BCa=++图1图2图3L=

400mmP

2=2kNACa=

0.1m

PD200mm P

1=1kNB1P

=1kNABDCP

2BCDAMfCP

L2a P

a3

P

a2

L?

?

1

?

2

?

2

16EI

3EI

3EIBP

L

2

P

La?

?

1

?

2

16EI

3EI??叠加求复杂载荷下的变形4643.1464?

188

?

10?

8

m?

(804

?

404

)?

10

?12(D

4

?

d

4

)?I

??

0.423

?

10

?

4?

??

??

0.001?max?

???

L

??

f

?fmax

Lax?

5

m?

6

m?

?f

??

10fm

?

5

.19

?

10?校核刚度3EI

3EI16EIP

a3

P

a2LP

L

2aCf

?

?

1

?

2

?

2

?

5.1