湘教版2016年八年级下数学第1单元直角三角形单元试题含答案

湘教版2016年八年级下数学第1单元直角三角形单元试题含答案1.在直角三角形中，斜边上的中线长为6.5，一条直角边为5，则另一直角边长为10。2.在等腰三角形中，一腰长为3a，底角为15°，另一腰上的高为a。3.在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积为4。4.如图，字母B所代表的正方形的面积为12。5.在Rt△ABC中，∠C=30°，斜边AC的长为5cm，则AB的长为3cm。6.以线段a，b，c的长为边，能构成直角三角形的是a=3，b=4，c=5。三、解答题(每小题10分，共42分)1．如图，在△ABC中，AE⊥BC，CF⊥AB，AE=CF，AB=6，BC=8，则AC的长为多少？(用勾股定理解答)（10分）解答：由AE⊥BC，CF⊥AB，可得∠AEB=∠CFA=90°，AE=CF，所以△AEB≌△CFA，AB=6，BC=8，∠AEB=∠CFA，所以∠AEC=∠CFB，又因为AE=CF，所以△AEC≌△CFB，所以EC=FB，又因为AC=AE+EC，BC=BF+FC，所以AC=BF+FC+EC=2EC+8，所以AC的长为2×√(AE²+BE²)+8=2×√(36+64)+8=2×10+8=28。2．如图，在△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，CE=2，AC=5，则BC的长为多少？(用勾股定理解答)（10分）解答：在△ACD中，CD⊥AB，所以AD²+DC²=AC²，即AD²+(CE+DE)²=AC²，即AD²+4+DE²+4+2DE=25，即AD²+DE²+2DE=17，所以(AD+DE)²=AD²+DE²+2AD×DE=17+2DE，又因为在△BCD中，CD⊥AB，所以BD²+DC²=BC²，即BD²+(CE-DE)²=BC²，即BD²+4+DE²-4-2DE=BC²，即BD²+DE²-2DE=BC²-4，所以(AD-DE)²=AD²+DE²-2AD×DE=BC²-4，所以(AD+DE)²-(AD-DE)²=4AD×DE=BC²-4-17=BC²-21，所以BC²=4AD×DE+21，又因为在△ACD中，AD²+DE²+2AD×DE=17，所以AD×DE=8，所以BC²=4×8+21=53，所以BC的长为√53。3．如图，在△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，CE=2，AC=5，则BD的长为多少？(用勾股定理解答)（10分）解答：在△BCD中，CD⊥AB，所以BD²+DC²=BC²，即BD²+(CE-DE)²=BC²，即BD²+4+DE²-4-2DE=BC²，即BD²+DE²-2DE=BC²-4，所以(AD-DE)²=AD²+DE²-2AD×DE=BC²-4，又因为在△ACD中，AD²+DE²+2AD×DE=17，所以AD×DE=8，所以BC²=4AD×DE+21=53，所以BD²=53-DE²+2DE-4=49-DE²+2DE，所以BD²的最小值为当DE=1时，BD²=50，所以BD的长为√50=5√2。4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12，AC=16，则AB的长为多少？(用勾股定理解答)（12分）解答：在△ABC中，∠C=90°，BC=12，AC=16，所以AB²=AC²-BC²=256-144=112，所以AB的长为√112=4√7。19.在△ABD中，由角平分线定理可知：$$\frac{AE}{ED}=\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{BC}=\frac{9}{\sqrt{9^2-6^2}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$$又因为在△AED中，$\angleAED=90^\circ$，所以：$$AD=\sqrt{AE^2+ED^2}=\sqrt{\left(\frac{3\sqrt{5}}{5}\times6\right)^2+6^2}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}$$20.(1)由题意可知：$$\begin{aligned}\angleADE&=90^\circ-\angleDAE=90^\circ-\angleCBE=\angleBCE\\\angleAED&=\angleBEC\end{aligned}$$又因为$AE=BC$，所以根据ASA全等条件，可以得到Rt△ADE与Rt△BEC全等。(2)由题意可知：$$\begin{aligned}\angle1&=\angle2\\\angleCED&=180^\circ-\angle1-\angle2=90^\circ\end{aligned}$$所以△CDE是直角三角形。21.(1)由题意可知：$$\begin{aligned}\angleAFB&=180^\circ-\angleBAE-\angleAEB=90^\circ\\\angleBFC&=\angleCBE+\angleCEB=\angleBAE+\angleAEB=90^\circ\end{aligned}$$又因为$AB=BC$，所以根据直角三角形的性质，可以得到$BF=2AE$。(2)由题意可知：$$\begin{aligned}\angleADE&=90^\circ-\angleBAD=45^\circ\\\angleCED&=180^\circ-\angleAEC-\angleAED=90^\circ-\angleAED=45^\circ\end{aligned}$$所以△CDE也是直角三角形。由勾股定理可知：$$CD=2=CE-DE=CB-AE$$又因为$AB=BC$，所以$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{3}AC$。所以：$$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{9^2-2^2}=7$$根据勾股定理，对于直角三角形ABC，有AB²+BC²=AC²。根据题意，我们可以推出以下结论：1.由GB=FC，可得Rt△BEG≌Rt△CDF(HL)，进而得出GE=FD。2.设AE=x，则CE=9-x。由BE平分∠ABC，CE⊥CB，ED⊥AB，可得DE=CE=9-x。又因为ED垂直平分AB，所以AE=BE，∠A=∠ABE=∠CBE。在Rt△ACB中，∠A+∠ABC=90°，所以∠A=∠ABE=∠CBE=30°。因此DE=AE，即9-x=x，解得x=6，即AE的长为6。3.对于Rt△ADE和Rt△BEC，由∠1=∠2可得DE=CE。又因为∠A=∠B=90°，AE=BC，所以Rt△ADE≌Rt△BEC(HL)。同时，由Rt△ADE≌Rt△BEC，可得∠ADE=∠BEC。因为∠ADE+∠AED=90°，所以∠BEC+∠AED=90°，进而得出∠DEC=90°，即△CDE是直角三角形。4.对于证明AD=BD，由AD⊥BC，∠BAD=45°，可得∠ABD=∠BAD=45°，进而得出AD=BD。又因为AD⊥BC，BE⊥AC，所以∠CAD+∠ACD=90°，∠CBE+∠ACD=90°，进而得出∠CAD=