必修一不等式专题-带答案

试卷第=page11页，总=sectionpages33页试卷第=page11页，总=sectionpages33页必修一不等式专题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若正数满足，则的最大值为A. B. C. D.2．已知实数，，，则的最小值是（）A. B. C. D.3．若两个正实数满足，则的最小值为（）A. B. C. D.4．若正数满足，当取得最小值时，的值为（）A. B.2 C. D.55．若正数满足，则的最小值为（）A. B. C. D.6．若实数a，b满足ab＞0，则的最小值为A.8 B.6 C.4 D.27．正数满足，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是()A． B． C． D．8．设正数满足,则的最小值为()A． B． C． D．9．若，则的最小值为（）A.-1 B.3 C.-3 D.110．已知正数、满足，则的最小值为（）A. B. C. D.二、填空题11．若，，则的最小值为___________.12．设，，，则的最小值为__________.13．已知，则的最小值为__________．14．设，则的最小值为______.15．已知，则函数的值域为________．16．若，且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为________．17．已知，求的最小值__________．18．若正数满足，则的最小值为_________.三、解答题19．（1）解关于不等式：.（2）对于任意的，不等式恒成立，试求的取值范围.20．已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围.21．已知函数(1)当,解关于的不等式(2)对于,,恒成立,求的取值范围.22．已知函数，且的解集为.（1）求函数的解析式；（2）解关于的不等式，；（3）设，若对于任意的都有，求的最小值.23．己知函数.（Ⅰ）当时，解关于x的不等式；（Ⅱ）若不等式的解集为D，且，求m的取值范围。24．已知函数（a为常数）．（1）求不等式的解集；（2）当a＞0时，若对于任意的[3，4]，恒成立，求实数a的取值范围．25．已知函数（1）解关于的不等式；（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围.26．(1)求不等式的解集；(2)解关于的不等式.27．若不等式的解集为求关于x的不等式的解集．28．设．（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；（2）解关于的不等式（R）．29．（1）设，求函数的最大值（2）解关于的不等式.30．已知ax31．解关于的不等式：32．解关于的不等式：33．已知，．若，解不等式；若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；若，解不等式．34．已知函数．（1）若函数在上是单调函数，求实数的取值范围；（2）当，时，不等式恒成立，求实数的范围．本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第=page11页，总=sectionpages22页答案第=page11页，总=sectionpages22页参考答案1．A【解析】【分析】分析题意，取倒数进而求的最小值即可；结合基本不等式中“1”的代换应用即可求解。【详解】因为，化简可得，左右两边同时除以xy得求的最大值，即求的最小值所以，当且仅当时取等号所以的最大值为所以选A【点睛】本题考查了基本不等式的简单应用，关键要注意“1”的灵活应用，属于基础题。2．B【解析】∵，，∴当且仅当，即，时取等号.故选B点睛：本题主要考查了不等式，不等式求最值问题，属于中档题。解决此类问题，重要的思路是如何应用均值不等式或其他重要不等式，很多情况下，要根据一正、二定、三取等的思路去思考，本题根据条件构造，然后乘“1”变形，即可形成所需条件，应用均值不等式.3．A【解析】【分析】根据=1可得x+2y=（x+2y）（），然后展开，利用基本不等式可求出最值，注意等号成立的条件．【详解】∵两个正实数x，y满足=1，∴x+2y=（x+2y）（）=4+≥4+2=8，当且仅当时取等号即x=4，y=2，故x+2y的最小值是8．故选：A．【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，解题的关键是“1”的活用，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．4．B【解析】【分析】将方程变形代入可得3x+4y=（3x+4y）（）=×3，然后利用基本不等式即可求解．【详解】∵x+3y=5xy，x＞0，y＞0∴∴3x+4y=（3x+4y）（）=×3当且仅当即x=2y=1时取等号,的值为2.故答案为：B.【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解决二元的范围或者最值问题，常用的方法有：不等式的应用，二元化一元的应用，线性规划的应用，等.5．C【解析】分析：由，可得，进而展开用基本不等式可得最小值.详解：由，可得.当且仅当，即时有最小值9.故选C.点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.6．C【解析】【分析】直接利用关系式的恒等变换和基本不等式求出结果.【详解】实数a，b满足ab＞0，则，当且仅当时等号成立．故选：C．【点睛】本题考查的知识要点：函数的关系式的恒等变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力.7．D【解析】【分析】先用基本不等式求的最小值，再根据配方法求二次函数的最大值.【详解】，当且仅当，即时，“=”成立，若不等式对任意实数恒成立，则，即对任意实数恒成立，实数的取值范围是.故选D.【点睛】本题考查基本不等式与二次不等式恒成立.8．A【解析】【分析】因为x+2y=3,所以2x+4y=6,所以（x-y）+(x+5y)=6,再利用基本不等式求的最小值.【详解】因为x+2y=3,所以2x+4y=6,所以（x-y）+(x+5y)=6,所以=，当且仅当时取最小值.故答案为：A【点睛】(1)本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)、本题的解题关键是常量代换，即把化成，再利用基本不等式求函数的最小值.利用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”，三个条件缺一不可.9．A【解析】分析：代数式可以配凑成，因，故可以利用基本不等式直接求最小值.详解：，当且仅当时等号成立，故选A.点睛：利用基本不等式求最值时，要注意“一正、二定、三相等”，有时题设给定的代数式中没有和为定值或积为定值的形式，我们需要对代数式变形，使得变形后的代数式有和为定值或者积为定值.特别要注意检验等号成立的条件是否满足.10．B【解析】【分析】由得，再将代数式与相乘，利用基本不等式可求出的最小值．【详解】，所以，，则，所以，，当且仅当，即当时，等号成立，因此，的最小值为，故选：．【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行合理配凑，是解决本题的关键，属于中等题．11．4【解析】，（前一个等号成立条件是，后一个等号成立的条件是，两个等号可以同时取得，则当且仅当时取等号）.【考点】均值不等式【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式，（1），当且仅当时取等号；（2），，当且仅当时取等号；首先要注意公式的使用范围，其次还要注意等号成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等”“作乘法”“1的妙用”求最值.12．.【解析】【分析】把分子展开化为，再利用基本不等式求最值。【详解】由，得，得，等号当且仅当，即时成立。故所求的最小值为。【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立。13．【解析】【分析】根据知，且，所以，故，化简后利用均值不等式即可求解.【详解】因为知，又，所以，而，经检验等号成立,故填.【点睛】本题主要考查了均值不等式，考查了数学式子的变形化简，对计算能力要求较高，属于中档题.14．【解析】【分析】把分子展开化为，再利用基本不等式求最值。【详解】，当且仅当，即时成立，故所求的最小值为。【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立。15．【解析】【分析】利用换元法令，从而可得，再利用基本不等式求解即可.【详解】设由知，，，故，∵（当且仅当时，等号成立）．∴函数的值域为．【点睛】该题考查的是有关求函数值域的问题，涉及到的知识点有利用基本不等式求最值，属于简单题目.16．18.【解析】【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质求解．【详解】那么：，当且仅当时取等号．故答案为18.【点睛】本题考查了基本不等式的灵活运用能力．属于基础题．17．【解析】【分析】化简，利用基本不等式可得结果.【详解】，，当且仅当，即时取等号，函数的最小值为,故答案为.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.18．【解析】【分析】设，解得，又由，得，再利用基本不等式，即可求解其最小值.【详解】由题意，设，解得其中，因为，所以，整理得，又由，当且仅当，即等号成立，所以的最小值为.【点睛】本题主要考查了换元法的应用，以及利用基本不等式求最值问题，其中解答中合理利用换元法，以及准确利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.19．（1）见解析.（2）.【解析】分析：（1）分解因式，对进行分类讨论。（2）设，则只要在上恒成立即可，用变换主元的思想。详解：（1）原不等式变为，因为，所以.所以当，即时，解为；当时，解集为；当，即时，解为.综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.（2）不妨设，则只要在上恒成立即可.所以，即，解得.则的取值范围为.点睛：一元二次不等式含参问题，分四重分类讨论：1、对值讨论，2、对值讨论，3、对两根的大小关系讨论4、对两根与区间的位置关系进行讨论。20．(1)见解析；(2)【解析】【分析】（1）不等式可化为：，比较与的大小，进而求出解集。（2）恒成立即恒成立，则，进而求得答案。【详解】解：（1）不等式可化为：，①当时，不等无解；②当时，不等式的解集为；③当时，不等式的解集为.（2）由可化为：，必有：，化为，解得：.【点睛】本题考查含参不等式的解法以及恒成立问题，属于一般题。21．（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据分类讨论并结合二次函数的图象解不等式即可．（2）由条件可得不等式在上恒成立，求出的最大值即可．【详解】(1)由题意可得，可化为．①当时，，解得；②当时，，原不等式无解；③当时，，解得．综上可得：当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为．(2)由题意知，即，∵对一切实数恒成立，在上恒成立，又，当且仅当时等号成立，∴．的取值范围是．【点睛】（1）不等式的恒成立问题，可通过分离参数的方法转化为求函数的最值的问题处理．（2）运用基本不等式求最值时要注意等号成立的条件，其中运用基本不等式时“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可．22．（1）（2）答案不唯一，具体见解析（3）1【解析】【分析】（1）根据韦达定理即可。（2）分别对三种情况进行讨论。（3）带入，分别对时三种情况讨论。【详解】（1）的解集为可得1，2是方程的两根，则，（2）时，时，时，（3），为上的奇函数当时，当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减，且时，，在时，取得最大值，即；当时，，则函数在上单调递减，在上单调递减，且时，，在时，取得最小值，即；对于任意的都有则等价于或（）则的最小值为1【点睛】本题主要考查了含参数的一元二次不等式，以及绝对值不等式，在解决含参数的不等式时首先要对参数进行讨论。本题属于难题。23．（Ⅰ）；（II）．【解析】分析：（Ⅰ）将不等式化为一般形式，然后根据的取值情况分类讨论求解即可．（Ⅱ）将条件中的集合间的包含关系转化为不等式恒成立的问题解决，然后分离参数后再转化为求函数的最值的问题，最后根据基本不等式求解可得所求．详解：（Ⅰ）由得,即①当，即时，解得；②当即时，解得或；③当，即时，由于，故解得．综上可得：当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为．（II）不等式的解集为，且，即任意的不等式恒成立．即对任意的恒成立，由于，∴对任意的恒成立．令，∵，当且仅当，即时等号成立．∴，∴实数的取值范围是．另解:不等式的解集为，且，即任意的不等式恒成立．设(1)当时,,解得(2)当时,,当时恒小于0,不满足,舍去(3)当时,(ⅰ),即,得(ⅱ),解得综上可得实数的取值范围是．点睛：解含参数的一元二次不等式的步骤（1）二次项系数若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．（2）判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式．24．（1）见解析（2）a＞【解析】【分析】（1）不等式化为，讨论①a=0、②a＞0和③a＜0时，求出对应不等式的解集；（2）根据（1）得的解集，再根据[3，4]与解集包含关系列不等式解得结果．【详解】解：（1）不等式化为，即，①a=0时，不等式变为，解得＜1；②a＞0时，不等式变为，若a＞2，则＜1，解得＞1或＜，若a=2，则=1，解得≠1，若0＜a＜2，则＞1，解得＞或＜1；③a＜0时，不等式变为（-）（-1）＜0，解得＜＜1；综上所述，=0时，不等式的解集为（-∞，1）；0＜a＜2时，不等式的解集（-∞，1）∪（，+∞）；a=2时，不等式的解集（-∞，1）∪（1，+∞）；a＞2时，不等式的解集（-∞，）∪（1，+∞）；a＜0时，不等式的解集（，1）；（2）由（1）知：①0＜a＜2时，，（-∞，1）∪（，+∞），需[3，4]⊂（-∞，1）∪（，+∞），∴＜3，即2＜3a，解得2>a＞；②a=2时，（-∞，1）∪（1，+∞），符合条件；③a＞2时，（-∞，）∪（1，+∞），符合条件；综上所述，符合条件的a的取值范围是a＞．【点睛】本题考查利用分类讨论法解不等式以及不等式恒成立问题，是中档题．25．（Ⅰ）答案不唯一，具体见解析.（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）将原不等式化为，分类讨论可得不等式的解.（Ⅱ）若则；若，则参变分离后可得在恒成立，利用基本不等式可求的最小值，从而可得的取值范围.【详解】（Ⅰ）即，，（ⅰ）当时，不等式解集为；（ⅱ）当时，不等式解集为；（ⅲ）当时，不等式解集为，综上所述，（ⅰ）当时，不等式解集为；（ⅱ）当时，不等式解集为；（ⅲ）当时，不等式解集为.（Ⅱ）对任意的恒成立，即恒成立，即对任意的，恒成立.①时，不等式为恒成立，此时；②当时，，，，，当且仅当时，即，时取“”,.综上.【点睛】含参数的一元二次不等式，其一般的解法是：先考虑对应的二次函数的开口方向，再考虑其判别式的符号，其次在判别式于零的条件下比较两根的大小，最后根据不等号的方向和开口方向得到不等式的解．含参数的不等式的恒成立问题，优先考虑参变分离，把恒成立问题转化为不含参数的新函数的最值问题，后者可用函数的单调性或基本不等式来求.26．（1）或或；（2）时，

时，；时，时，

时，．【解析】【分析】（1）当或时，合题意；当且时，原不等式等价于，分类讨论即可得结果；（2）原不等式可化为，时，解一次不等式即可；

时，不等式即为，分四种情况讨论，分别利用一元二次不等式的解法求解即可．【详解】（1）当或时，合题意；当且时，因为恒成立，所以原不等式等价于，当时，三个因式都为正，合题意；当时，两个因式为正，一个为负，不合题意；当时，两个因式为负，一个为正，合题意；当时，三个因式都为负，不合题意；综上可得，不等式的解集为或或.（2）原不等式可化为，

(i)

时，，即

．

(ii)

时，不等式即为．

①时，不等式化为

；

因为

，不等式解为

．

②

时，不等式化为

，

当

，即时，不等式解为

；

当

，即时，不等式解为

．

当

，即时，不等式解为．

综上,时，

时，；

时，

时，

时，．【点睛】本题主要考查分式不等式与一元二次不等式的解法，考查了分类讨论思想的应用，属于中档题.分类讨论思想的常见类型

⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；

⑵问题中的条件是分类给出的；

⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；

⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.27．【解析】分析：根据不等式的解集求出a、b、c的关系，代入不等式cx2+bx+a＞0中，化简并求出不等式的解集．详解：∵不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x＜﹣2或x＞3}，∴ax2+bx+c=a（x+2）（x﹣3）=ax2﹣ax﹣6a，且a＞0；∴b=﹣a，c=﹣6a，∴不等式cx2+bx+a＞0变形为﹣6ax2﹣ax+a＞0，即6x2+x﹣1＜0，解得﹣＜x＜；∴不等式cx2+bx+a＞0的解集为{x|﹣＜x＜}．点睛：（1）二次函数图象与x轴交点的横坐标、二次不等式解集的端点值、一元二次方程的解是同一个量的不同表现形式。（2）二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．有关二次函数的问题，利用数形结合的方法求解，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．28．（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）由不等式对于一切实数恒成立等价于对于一切实数恒成立，利用二次函数的性质，即可求解，得到答案．（2）不等式化为，根据一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解．【详解】（1）由题意，不等式对于一切实数恒成立，等价于对于一切实数恒成立．当时，不等式可化为，不满足题意；当时，满足，即，解得．（2）不等式等价于．当时，不等式可化为，所以不等式的解集为；当时，不等式可化为，此时，所以不等式的解集为；当时，不等式可化为，①当时，，不等式的解集为；②当时，，不等式的解集为；③当时，，不等式的解集为．【点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题，以及含参数的一元二次不等式的解法，其中解答中熟记一元二次不等式的解法，以及一元二次方程的性质是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．29．（1）；（2）当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为.【解析】【分析】（1）由题意结合均值不等式的结论可得函数的最大值为.（2）由题意分类讨论可得：当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为.【详解】（1），.当，即时，.（2）原不等式可化为，当时，解集为，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为.【点睛】本题主要考查不等式的解法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.30．见解析【解析】【分析】讨论a的不同取值范围，在各范围内解不等式即可。【详解】当a=0时，不等式化为−x+1<0，则不等式的解集为{x|x>1}；当a≠0时，不等式可因式分解为a(x−当a<0时，不等式可化为(x−1a)x−1>0当a=1时，不等式可化为x−12<0，则不等式的解集为当a>1时，不等式可化为(x−1a)当0<a<1时，不等式可化为(x−1a)【点睛】本题考查了含参数的不等式解法，分类讨论时要所有范围都要取到，属于中档题。31．见解析.【解析】【分析】把不等式化为，分类讨论，即可求解不等式的解集.【详解】由题意，不等式，可化为，当时，不等式的解为；当时，不等式的解为或当时，即（1）当即时，不等式的解为，（2）当即时，不等式的解为，（3）当即时，不等式的解集为空集.【点睛】本题主要考查了含参数的一元二次不等式的求解，其中解答中熟记一元二次不等式的解法，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及运算与求解能力，属于中档试题.32．见解析【解析】【分析】由a＞0，把不等式化为