中考数学专题训练：类比探究类问题解析版

第第页类比探究类问题解析版1、如图，在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连结EM并延长交线段CD的延长线于点F．(1)如图1，求证：AE=DF；(2)如图2，若AB=2，过点M作MGEF交线段BC于点G，判断△GEF的形状，并说明理由；(3)如图3，若AB=，过点M作MGEF交线段BC的延长线于点G．①直接写出线段AE长度的取值范围；②判断△GEF的形状，并说明理由．【答案】解：（1）在矩形ABCD中，∠EAM=∠FDM＝900，∠AME=∠FMD。∵AM=DM，∴△AEM≌△DFM（ASA）。∴AE=DF。（2）△GEF是等腰直角三角形。理由如下：过点G作GH⊥AD于H，∵∠A=∠B=∠AHG=90°，∴四边形ABGH是矩形。∴GH=AB=2。∵MG⊥EF，∴∠GME=90°。∴∠AME＋∠GMH=90°。∵∠AME＋∠AEM=90°，∴∠AEM=∠GMH。又∵AD=4，M是AD的中点，∴AM=2。∴AN=HG。∴△AEM≌△HMG（AAS）。∴ME=MG。∴∠EGM=45°。由（1）得△AEM≌△DFM，∴ME=MF。又∵MG⊥EF，∴GE=GF。∴∠EGF=2∠EGM=90°。∴△GEF是等腰直角三角形。（3）①＜AE≤。②△GEF是等边三角形。理由如下：过点G作GH⊥AD交AD延长线于点H，∵∠A=∠B=∠AHG=90°，∴四边形ABGH是矩形。∴GH=AB=2。∵MG⊥EF，∴∠GME=90°。∴∠AME＋∠GMH=90°。∵∠AME＋∠AEM=90°，∴∠AEM=∠GMH。又∵∠A=∠GHM=90°，∴△AEM∽△HMG。∴。在Rt△GME中，∴tan∠MEG=。∴∠MEG=600。由（1）得△AEM≌△DFM．∴ME=MF。又∵MG⊥EF，∴GE=GF。∴△GEF是等边三角形。2、（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．求证：CE＝CF；（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用（1）的结论证明：GE＝BE＋GD．（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10,求直角梯形ABCD的面积．【答案】解：（1）证明：在正方形ABCD中，∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，∴△CBE≌△CDF（SAS）。∴CE＝CF。（2）证明：如图，延长AD至F，使DF=BE．连接CF。由（1）知△CBE≌△CDF，∴∠EDF=∠G。∵∠BEF=∠A，∴∠BEF=∠GBC。∴∠GBC+∠EBC=∠DEB+∠BEF，即∠EBG=∠FED。∴△DEF∽△GBE。∴。∵AB=mDE，AD=nDE，∴AG=AE=（n+1）DE。∴BG=AG－AB=（n+1）DE－mDE=（n+1－m）DE。∴。5、探索发现：已知：在梯形ABCD中，CD∥AB，AD、BC的延长线相交于点E，AC、BD相交于点O，连接EO并延长交AB于点M，交CD于点N。（1）如图=1\*GB3①，如果AD=BC，求证：直线EM是线段AB的垂直平分线；（2）如图=2\*GB3②，如果AD≠BC，那么线段AM与BM是否相等？请说明理由。学以致用：仅用直尺（没有刻度），试作出图=3\*GB3③中的矩形ABCD的一条对称轴。（写出作图步骤，保留作图痕迹）【答案】解：（1）证明：∵AD=BC，CD∥AB，∴AC=BD，∠DAB=∠CBA。∴AE=BE。∴点E在线段AB的垂直平分线上。在△ABD和△BAC中，∵AB=BA，AD=BC，AC=BD，∴△ABD≌△BAC（SSS）。∴∠DBA=∠CAB。∴OA=OB。∴点O在线段AB的垂直平分线上。∴直线EM是线段AB的垂直平分线。（2）相等。理由如下：∵CD∥AB，∴△EDN∽△EAM，△ENC∽△EMB，△EDC∽△EAB。∴。∴。∴。∵CD∥AB，∴△OND∽△OMB，△ONC∽△OMA，△OCD∽△OAB。∴。∴。∴。∴。∴AM2=BM2。∴AM=BM。（3）作图如下：作法：①连接AC，BD，两线相交于点O1；②在梯形AB