新高考数学高频考点题型归纳20正弦、余弦、正切函数图像与性质（教师版）

专题20正弦、余弦、正切函数图像与性质一、关键能力1.能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性．2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))内的单调性．二、教学建议从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容．预测2022年会与三角恒等变换结合考查三角函数的图象与性质，尤其是周期性、单调性及最值问题，同时也要注意对称轴及对称中心的应用．题型常以客观题的形式呈现，有时也会出现于解答题中，难度属中、低档题型.三、自主梳理 1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0).(2)余弦函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR{xeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x∈R，且))x≠kπ＋eq\f(π,2)}值域[－1，1][－1，1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))[2kπ－π，2kπ]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))递减区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))[2kπ，2kπ＋π]无对称中心(kπ，0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))对称轴方程x＝kπ＋eq\f(π,2)x＝kπ无[微点提醒]1.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是eq\f(1,4)个周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.对于y＝tanx不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)内为增函数.四、高频考点+重点题型考点一、正弦、余弦、正切函数的奇偶性考察例1.（2021·武功县普集高级中学高一月考）函数的部分图像是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】:因为，所以为偶函数，其图象关于轴对称，故可以排除B，D.又因为函数在上函数值为正，故排除C.对点训练1.（2021·福建省高三其他（文））图数，的图象可能为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题知：，所以为奇函数，故排除B，D.又因为时，，故排除C.对点训练2.（2021·浙江高三其他模拟）函数y=在[-2，2]上的图像可能是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】利用同角三角函数的商数关系并注意利用正切函数的性质求得函数的定义域，可以化简得到，考察当趋近于0时，函数的变化趋势，可以排除A,考察端点值的正负可以评出CD.【详解】,当趋近于0时，函数值趋近于,故排除A;,故排除CD,故选：B对点训练3.（2019年高考全国Ⅰ卷文）函数f(x)=在的图象大致为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称，排除A．又，排除B，C，故选D．考点二、正弦、余弦、正切函数图像的考察例2.（2021·调兵山市第一高级中学）方程的根的个数是（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【解析】分别作函数图象，如图，由图可得交点个数为7，所以方程的根的个数是7对点训练1.（2021·山西省高三其他（文））对于函数.有下列说法：①的值城为；②当且仅当时，函数取得最大值；③函数的最小正周期是；④当且仅当时,.其中正确结论的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】因为，作出函数的图象，如图所示：所以，的值城为，①错误；函数的最小正周期是，③错误；当且仅当时，函数取得最大值，②正确；当且仅当时，，④正确.考点三、正弦、余弦、正切函数单调性的考察函数y＝|cosx|的一个单调递增区间是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))) B．[0，π]C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))【答案】D【解析】将y＝cosx位于x轴下方的图象关于x轴对称翻折到x轴上方，x轴上方(或x轴上)的图象不变，即得y＝|cosx|的图象(如图)．故选D.对点训练1.（2020·河南洛阳（理））已知，，则，，，的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，且，所以.故选：.考点四、解三角不等式例4.（2021·武功县普集高级中学）函数的定义域是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由得：.所以函数的定义域是.【例1】函数y＝eq\r(sinx－cosx)的定义域为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)＋2kπ，\f(π,4)＋2kπ))(k∈Z)B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)＋2kπ，\f(π,4)＋2kπ))(k∈Z)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋2kπ，\f(5π,4)＋2kπ))(k∈Z)D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋2kπ，\f(5π,4)＋2kπ))(k∈Z)【答案】D【解析】要使函数有意义，需sinx－cosx≥0，即sinx≥cosx，解得2kπ＋eq\f(π,4)≤x≤2kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)，故原函数的定义域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,4)，2kπ＋\f(5π,4)))(k∈Z)．对点训练1.函数y＝lg(sinx)＋eq\r(cosx－\f(1,2))的定义域为________。【解析】函数有意义，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinx>0，,cosx－\f(1,2)≥0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinx>0，,cosx≥\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2kπ<x<π＋2kπ（k∈Z），,－\f(π,3)＋2kπ≤x≤\f(π,3)＋2kπ（k∈Z），))所以2kπ<x≤eq\f(π,3)＋2kπ(k∈Z)，所以函数的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|2kπ<x≤\f(π,3)＋2kπ，k∈Z)).【答案】eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|2kπ<x≤\f(π,3)＋2kπ，k∈Z))对点训练2．（2021·广东佛山市·高三二模）设，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由条件即，由，得；反之不成立，可举反例．再由充分必要条件的判定得答案．【详解】由，则，即所以当时，由正弦函数的单调性可得，即由可以得到.反之不成立，例如当时，也有成立，但不成立.故“”是“”的充分不必要条件故选：A考点五、正弦、余弦、正切函数重组新函数例5-1．（2020·全国高考真题（理））关于函数f（x）=有如下四个命题：①f（x）的图像关于y轴对称．②f（x）的图像关于原点对称．③f（x）的图像关于直线x=对称．④f（x）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．【答案】②③【解析】对于命题①，，，则，所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，，所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，，，则，所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；对于命题④，当时，，则，命题④错误.故答案为：②③.例5-2.（2021·全国高三其他模拟）函数在上的图象大致为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】利用奇函数的定义证得是奇函数，即可排除BC，利用当时，，排除D，从而得出结果.【详解】因为，所以是奇函数，所以的图象关于点对称，故排除B、C；当时，，，所以当时，，排除D．故选：A．例5-3．（2021·陕西省西安中学）设函数，则函数的最大值及取到最大值时的取值集合分别为（）A．3， B．1，C．3， D．1，【答案】C【解析】由于，所以当时，函数有最大值为.例5-4．函数y＝cos2x－2sinx的最大值与最小值分别为()A．3，－1 B．3，－2C．2，－1 D．2，－2【答案】D【解析】y＝cos2x－2sinx＝1－sin2x－2sinx＝－sin2x－2sinx＋1，令t＝sinx，则t∈[－1,1]，y＝－t2－2t＋1＝－(t＋1)2＋2，所以ymax＝2，ymin＝－2.对点训练1.(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sin(2x＋eq\f(3π,2))－3cosx的最小值为________．【答案】－4【江西】f(x)＝sin(2x＋eq\f(3π,2))－3cosx＝－cos2x－3cosx＝－2cos2x－3cosx＋1，令cosx＝t，则t∈[－1，1]．f(t)＝－2t2－3t＋1＝－2(t＋eq\f(3,4))2＋eq\f(17,8)，易知当t＝1时，f(t)min＝－2×12－3×1＋1＝－4.故f(x)的最小值为－4.对点训练2.（2021·广西钦州一中高三开学考试（理））关于函数有如下四个命题：①的图像关于轴对称.②的图像关于原点对称.③的图像关于直线对称.④的图像关于点对称.其中所有真命题的序号是__________.【答案】①④【解析】对于①，定义域为，显然关于原点对称，且，所以的图象关于y轴对称，命题①正确；对于②，，，则，所以的图象不关于原点对称，命题②错误；对③，，，则，所以的图象不关于对称，命题③错误；对④，，，则，命题④正确.故答案为：①④.对点训练3.（2020·上海高三专题练习）函数的最大值是____，最小值是_________.【答案】【解析】即，故答案为：；对点训练4.（2020·上海高三专题练习）函数的最大值为2，最小值为，则_________，_________.【答案】【解析】由已知得，解得.故答案为：；.巩固训练一、选择题1．下列函数中，是周期函数的为()A．y＝sin|x| B．y＝cos|x|C．y＝tan|x| D．y＝(x－1)0答案：B2.已知函数f(x)＝tanx，则下列结论不正确的是()A．2π是f(x)的一个周期B．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－eq\f(3π,4)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\f(3π,4)))C．f(x)的值域为RD．f(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－eq\f(π,2)，0))对称【答案】B【解析】A．f(x)＝tanx的最小正周期为π，所以2π是f(x)的一个周期，所以该选项正确；B.feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－eq\f(3π,4)))＝1，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\f(3π,4)))＝－1，所以该选项不正确；C.f(x)＝tanx的值域为R，所以该选项正确；D.f(x)＝tanx的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\f(π,2)，0))对称，所以该选项正确．3．函数y＝tanx＋sinx－|tanx－sinx|在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))内的图象是()答案：D解析：y＝tanx＋sinx－|tanx－sinx|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2tanx，x∈\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，,2sinx，x∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2))).))结合选项中图形知，D正确．4.(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中，以eq\f(π,2)为周期且在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))单调递增的是()A．f(x)＝|cos2x| B．f(x)＝|sin2x|C．f(x)＝cos|x| D．f(x)＝sin|x|【答案】A【解析】函数f(x)＝|cos2x|的周期为eq\f(π,2)，当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))时，2x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，函数f(x)单调递增，故A正确；函数f(x)＝|sin2x|的周期为eq\f(π,2)，当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))时，2x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，函数f(x)单调递减，故B不正确；函数f(x)＝cos|x|＝cosx的周期为2π，故C不正确；f(x)＝sin|x|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinx，x≥0，,－sinx，x<0，))由正弦函数图象知，在x≥0和x<0时，f(x)均以2π为周期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，故D不正确，故选A。5．（2019·呼玛县高级中学高一月考）设，，，则（）A． B．C． D．【答案】A【解析】,因为且是单调递减函数，所以，故选A6.(2019年高考北京卷文)设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】时，，为偶函数；为偶函数时，对任意的恒成立，即，，得对任意的恒成立，从而.从而“”是“为偶函数”的充分必要条件，故选C.7.（多选）已知函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))(x∈R)，下列结论正确的是()A．函数f(x)的最小正周期为2πB．函数f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是增函数C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称D．函数f(x)是奇函数答案：ABC解析：由题意，可得f(x)＝－cosx，对于选项A，T＝eq\f(2π,1)＝2π，所以选项A正确；对于选项B，y＝cosx在e