历年高中数学联赛真题分类汇编13导数与极限

1/2历年高中数学联赛真题分类汇编专题13导数与极限第二辑1．【2018年广东预赛】设函数fx⑴求fx在区间0,1n⑵令an=e【答案】（1）bn【解析】⑴因为f'x=ex−1，所以当x∈0,1n时，⑵由⑴知an=e所以1⋅3⋅5⋅⋯⋅2k−1又容易证明12k+1所以p所以p1即p12．【2018年甘肃预赛】设函数fx（1）讨论fx（2）如果fx有两个极值点x1和x2，我们记过点Ax1,fx【答案】（1）见解析（2）不存在【解析】（1）f(x)的定义域为0,+∞，f'令gx=x1.当0<a⩽22时，Δ⩽0,f'2.当a>22时，Δ>0x1当0<x<x1时，f'x>0；当x1<x<x2时，f（2）由1知，a>2，因为fx所以k=1+又由1知，x1k=2−a⋅ln若存在a使得k=2-a，则lnx1−x2−再由1知，函数ℎt=t−2x2这与①式矛盾。故不存在a，使得k=2-a.3．【2018年天津预赛】设fx=ex−cosx，x>0，正实数数列an满足a1=1【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】⑴我们证明，当x＞0时，fx令gx=fx由g'''x>0知由g''x>0可知g'x最后，由g'x>0可知g这样我们就证明了fx利用这一点，立即得到an−1⑵我们先对n用数学归纳法证明an当n=1时，a1假设当n=m-1时有am−1<1如果am>1注意1=1可知am−1>1这样，当k≥1时有ak令k从1到n求和，就得到k=1n4．【2018年河北预赛】判断曲线f(x)=ex−1与曲线【答案】曲线f(x)=ex−1与曲线【解析】曲线f(x)=ex−1与曲线理由如下：设两曲线的公切线为l，与曲线f(x)=ex−1切于点(a−ea−1)，与曲线g(x)=lnx切于点(b,lnb)，则直线l的方程既可写为y−ea−1因为直线l为公切线，所以有e消元整理得ea−1设m(x)=e当x∈(−∞,−1)时，m″当x∈(−1,+∞)时，m″另外当x<0时，m'(x)>1，m'所以当x∈(−∞,1)时，m'(x)>0，m'(x)单调递增；当x∈(x,+∞)时，m'(x)<0，m(x)单调递减.而所以方程ea−15．【2018年四川预赛】设函数fx（1）若fx在其定义域内为单调递增函数，求实数p（2）设gx=2ex，且p>0，若在1,e上至少存在一点x0（3）求证：对任意的正整数n，都有k=1n【答案】（1）p≥1（2）4ee【解析】（1）函数fx的定义域为x由fx要使fx在其定义域0,+∞内为单调递增函数，只须f'x于是p≥2xx2+1，注意到2xx2+1（2）解法一：注意到gx=2ex在当0<p<1时，由x∈1,e，得x−1x当p≥1时，由（1）知fx在1,e又gx在1,e上是减函数，所以原命题等价于fxmax综上，p的取值范围是4ee解法二：原命题等价于fxFx因为F'故Fx是增函数，所以Fxmax所以p的取值范围是4ee（3）令gx=2ln由于g1=0，故当x>1时，有gx因此，2ln即ln1+2k于是k=1=21+6．【2018年福建预赛】已知fx（1）当x>0时，不等式x−2fx+m（2）若x1、x2是函数【答案】（1）12【解析】（1）设gx=x−2当x>0时，不等式x−2fx+mx2因为g'所以当x>0时，g″x=x另由g2=4m+2>0，知①若−12<m<此时，g'x在区间0,2内有唯一零点，设为x0．则0<x<所以gx在区间0,x0因此−1②若m≥12，则x>0时，此时gx在0,+∞上为增函数．所以x>0时，g由①、②，得m的取值范围为12（2）因为x1、x2是函数mx不妨设x1>x2，易知x1又由（1）知，对m=12，当x>0时，所以当x>0时，x−2e所以当x>0时，xe故x1当x1<x2时，同理可得，7．【2017年河北预赛】已知函数fx=x2−2ln【答案】6【解析】f'x=2x−x∈(1,故f由于5.29=2.72−2<f(由于5.84>e2−2=由于x∈1e,e时,fx∈1,故n的最大值为6.8．【2017年吉林预赛】已知函数fx(1)求证：fx存在一个零点属于3(2)若k∈Z,且gx>k【答案】(1)证明见解析；(2)3.【解析】(1)令fx=x故fx=x而f3所以fx存在一个零点x(2)fx唯一的零点x0显然满足且当x∈1,x0时,f当x>1时,gx设ℎx=xlnx+x故当x∈1,x0时,ℎ所以ℎx在1,x故ℎ由题意k<又k∈Z,而x09．【2017年福建预赛】已知a>(1)证明：当a=1时,求(2)判断函数fx【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析.【解析】(1)当a=1时,f(x)=ln因为x>−12时，f''(x)=−4又f'0=2+2−4=所以fx在区间−12所以a=1时,fx(2)f'当a>0,且x>−所以f'x在因为x→−12时,f所以f'x存在唯一实根,设此根为则−12<x<所以fx在区间−12fx有最大值f①当a=1时,由1知,②当0<a<1时,由f'0=2+2a−所以fx在区间−12,x③当a>1时,由f'所以f设gx因为−12<所以gx在区间−所以−12<x<所以a>1时,综合得,当0<a<1时,fx有两个零点;当a=110．【2017年陕西预赛】已知函数fx=−x3+ax2+(1)求f2(2)试讨论直线l:y=【答案】(1)−【解析】(1)f'因为fx在−∞,0上递减,在0,1上递增,所以又f1=0于是,fx令f'x=因为fx在0,1上递增,且fx有三个零点,所以故f2=3a−7(2)由y=x所以x=1,或x方程①的判别式Δ=若Δ<0,即32若Δ=0,即a=若Δ>0,即a>而a=2时,故当32<a<22−1时,l与C只有1个公共点;当a=22−1或a11．【2017年甘肃预赛】已知函数fx(1)若关于x的不等式fx≤mx(2)若x1>【答案】(1)1【解析】(1)因为对任意x>0,不等于fx≤mx进一步转化为lnxℎx=lnxx当x∈e,+∞时,ℎ'x设φx=当x∈0,1时,φ'x<0.当综上知12e≤m≤(2)当x1>x即证lnx1−令t=x1x2为当t∈1所以u't>0,所以所以ut故lnxx112．【2017年黑龙江预赛】已知函数fx(1)讨论函数fx(2)若函数fx在x=1处取得极值,对任意x(3)当x>y>【答案】(1)答案见解析；(2)b≤【解析】(1)fx定义域为0当a≤0时,当a>0时,fx在0(2)因为函数fx在x=1所以f令gx=1+1x−所以gxmin=(3)证明:ex令mx=exln又因为m'x=ex所以ℎx>1所以mx在e−−1所以当x>y>13．【2017年广西预赛】设函数fx=4x3+bx【答案】答案见解析【解析】解法一由题意得4x3+当x=当x∈(0,令gx=−4x2⋅−当0<x<12时,g'x>0,g因此gx在x∈(0,1如果x∈[−1,0),则有b当−1≤x<0因此gx在x∈[−1,0综上,b=−解法二分别令x=−1和x=12得f−1=−b下面验证b=−3可以使得对任意的x∈此时fx=4x3由上表可知b=−14．【2017年湖南预赛】已知a,b∈(1)求证:ab<(2)如果a,b是fx【答案】证明见解析【解析】(1)由对称性,不妨设a>b>因为a−令x=ab构造函数fx=ln因为x>1,所以f'x>0,fx再证ab<因为ab<a−则欲证不等左边等价于证明2ln构造函数gx=2lnx−x即得2lnx<综上可知,ab<(2)由题意知,只需证明lnab事实上,由于f'x=1x若x∈0,2017,则若x∈2017,+∞,则f由对称性,不妨设a>b>由条件知,lna=1故lna−ln由(1)得2017=a−因为lnab所以ab>15．【2017年江苏预赛】设函数fn(1)求证:当x∈0,+∞(2)设x>0,n∈N+【答案】证明见解析【解析】(1)用数学归纳法证明如下：①当n=1时,令fx=ex−又因为f0=0,所以f②假设n=k时,命题成立,即当x∈0k+gx则g'x=ex又因为g0=0,所以gx>由①②及归纳假设可知,∀n∈N+,当(2)由(1)可知ex>所以ey>1,即y下面先用数学归纳法证明：当x>0①当n=1时,令F所以Fx在区间0又F0=0,故F②假设n=k时,命题成立,即当x则当n=k+G'所以G(x)在区间(0，+∞)上为增函数，又G(0)=0，故G(x)>0，即：ex由①②及归纳假设，可知当x∈(0，+∞)时，ex<1+x+1所以e<1从而ey<e16．【2016年陕西预赛】设函数f(x)=lnx+a(1x−1)（a∈（1）求a的值；（2）若数列{an}满足a1=1，an+l=f(an)+2(n∈Z+)，记Sn=[a1]+[a2]+…+[an]，[m]表示不超过实数m的最大整数，求【答案】(1)当a=1时，f(x)取得最小值0.(2)Sn=2n-1【解析】（1）f'(x)=1当a≤0时，f'(x)>0，则f(当a>0时，若0<x<a，则f'若x>a，则f'所以，函数f(x)在区间(0，a)内单调递减，在区间(a，+∞)内单调递增.故f(x)min=f(a)=lna-a+1.设g(a)=lna-a+1(a>0).则g'若0<a<1，则g'若a>1，则g'所以，函数g(a)在区间(0，1)内单调递增，在区间(1，+∞)内单调递减.故g(a)≤g（1）=0.当且仅当a=1时，上式等号成立.从而，当a=1时，f(x)取得最小值0.（2）由（1）知f(x)=ln则an+1=f(an)+2=lnan+1a由a1=1，得a2=2.从而，a3=ln2+32因为12<ln2<1，所以，2<a3下面用数学归纳法证明：当n≥3时，2<an<3.当n=3时，结论已成立.假设n=k(k≥3)时，2<ak<3.当n=k+1时，有ak+1由（1）知h(x)=f(x)+2=lnx+1x在区间(2，3)内单调递增.所以，h（2）<h(ak)<h（3），即ln2+由ln2>12，ln3<53⇒2<h(ak)<3⇒2<a即当n=k+1时，结论也成立.由归纳假设，知对一切整数n≥3，均有2<an<3.于是，[a1]=1，[an]=2(n≥2).故Sn=[a1]+[a2]+…+[an]=1+2(n-1)-2n-1.17．【2016年福建预赛】已知f(x)=ln(ax+b)+x2(a≠0).（1）若曲线y=f(x)在点(1，f（1）)处的切线方程为y=x，求a、b的值；（2）若f(x)≤x2+x恒成立，求ab的最大值.【答案】(1)a=-1，b=2.(2)e【解析】（1）由已知得f'依题意有f'(1)=aa+b（2）设g(x)=f(x)-(x2+x).则g(x)=ln(ax+b)-x≤0.当a<0时，g(x)的定义域为(-∞，−b取x0使得ln(ax0+b)=−ba+1，则故g(x0)=ln(ax0+b)-x0>ln(ax0+b)-(−b于是，当a<0时，g(x)≤0不恒成立，即a<0不符合要求.当a>0时，g'注意到，ax+b>0，若−ba<x<a−ba若x>a−ba，则g于是，g(x)在区间(−ba，从而，g(x)在其定义域(−ba，+∞)上有最值由g(x)≤0⇒g(设h(a)=a2-a2lna.则ℎ'(a)=2a-(2alna+a)=a(1-2当0<a<e时，寸，ℎ'当a>e时，ℎ'于是，h(a)在区间(0，e)上为增函数，在区间(e，+∞)上为减函数.从而h(a)的最大值为ℎ(e故当a=e，b=e2时，ab取最大值e综上，ab的最大值为e218．【2016年吉林预赛】设fx=Ax2−2x【答案】（1）见解析；（2）A【解析】（1）当A>0时，有fx（2）当−12≤A≤0故fx在区间−∞,0从而，fx（3）当A<−12时，取−2+故fx在区间−从而，fx综上，实数A的取值范围是AA≥−19．【2016年吉林预赛】设fx=Ax2−2x【答案】（1）见解析；（2）A【解析】（1）当A>0时，有fx（2）当−12≤A≤0故fx在区间−∞,0从而，fx（3）当A<−12时，取−2+故fx在区间−从而，fx综上，实数A的取值范围是AA≥−20．【2016年四川预赛】已知a为实数，函数fx=x【答案】见解析【解析】由条件，知函数fx的定义域为0,+∞若a≤0，则fx故f令f'x=0记b=于是，fx在区间（0，b）上单调递减，在区间b,+∞若a>0，则f先讨论gx注意到g'令g'x=0当b>a，即a<1时，g（x）在区间（a，b）上单调递减，在区间b,+∞上单调递增；当b≤a，即a≥1时，gx在区间a,+∞再讨论ℎx注意到，ℎ'当Δ=a2−8≤0，即0<a≤22时，当Δ=a2−8.0，即a>22时，令则ℎx综上，当a<1时，fx在区间（0，b）上单调递减，在区间b,+∞当1≤a≤22时，fx在区间（0，a）上单调递减，在区间当a>22时，fx在区间（0，c），（d，a）上分别单调递减，在区间（c，d），21．【2016年湖南预赛】已知函数f(x)=xln（1）当m=−2时，求函数f(x)的所有零点；（2）若f(x)有两个极值点x1、x【答案】(1)x=1(2)见解析【解析】（1）当m=−2时，f(x)=x=x(ln设p(x)=ln于是，p'故p(x)在区间(0,+∞)上为增函数.又p(1)=0，则当m=−2时，函数f(x)有唯一零点x=1.（2）由题设，知导函数f'(x)有两个零点由f'm=⇒⇒ln设t=x则g'故函数g(t)在区间(0,1g(t)<g(1)=0.因此，当0<t<1时，恒有lnt<则ln⇒x22．【2016年甘肃预赛】已知函数fx（1）设实数k使得fx（2）设gx=fx−kxk∈R【答案】（1）12e,+∞【解析】（1）设ℎx则ℎ'x令ℎ'x当x在区间（0，+∞）上变化时，ℎ'x表2x0,eeℎ'+0-ℎ增1减由表2，知当x=e时，ℎx取得取大值又由已知对任意的x>0，恒有k>f故k的取值范围是12e（2）令gx由表2，知ℎx=lnxx注意到，ℎ1当2e4≤k<12e从而，k的取值范围是2e23．【2015年四川预赛】已知a为实常数，函数f（1）记fx的导函数为gx，求gx（2）若fx在区间0,2π【答案】（1）见解析；（2）−【解析】（1）由fx=e则g'由g'由g'由g'故函数gx在区间0,2π内的单调递增区间为π2（2）由（1）知gx在x=注意到，g0显然，g0（ⅰ）若gπ2≥0，则f故fx在区间0,2于是，gπ（ⅱ）若g2π≤0，当g3π2≤0当g3π2>0时，f于是，g反之，当gπ2<0，且g2π>0所以，fx在区间0,2g2π24．【2015年陕西预赛】已知函数fx（1）若对任意x∈0,+∞，恒有不等式fx≥（2）证明：对任意x∈0,+∞，有ln【答案】（1）−∞,4；（2）见解析【解析】（1）当x>0时，fx令ℎx则a≤ℎx由ℎ'x=x+3x−1x2所以，ℎx故a的取值范围是−∞,4.（2）要证lnx>1e由f'x=lnx+1，知f于是，当x>0时，fx≥f令φx则φ'所以，φx≤φ显然，不等式①、②中的等号不能同时成立.故当x>0时，fx>φx25．【2015年吉林预赛】已知对任意的x≥1，均有lnx−a1−1【答案】a|a≤1.【解析】由题意知xlnx−ax−1≥0.记（1）当a≤1时，由x≥1，知f'故fx在区间1,+∞上单调递增，即f（2）当a>1时，若1<x<ea−1，则故fx在区间1,ea−1综上，a≤1.26．【2015年湖南预赛】已知a>0，函数fx（1）经过原点分别作曲线y=fx、y=g（2）设ℎx=fx+1+gx，当x≥0【答案】（1）e−1e<a<【解析】（1）设切线l2:y=k则y2⇒e由题意，知切线l1的斜率为k1=设l1曲线y=fx的切点为则k1又y1=lnx1令mx=ln于是，mx在区间0,1上单调递减，在区间1,+∞若x1∈0,1，由m而a=1x1若x1∈1,+∞，因为mx在区间所以，a=1x1综上，e−1e（2）注意到，ℎx（i）当a≤2时，由ex≥x+1，则于是，ℎx在区间0,+∞上递增，ℎ（ii）当a>2时，由x∈0,+∞ℎ″则ℎ'x在区间又ℎ'0=2−a<0，则存在x于是，ℎx在区间0,x0又ℎx0<ℎ综上，实数a的取值范围是−∞,2.27．【2015年黑龙江预赛】设函数．（1）若函数在上为减函数，求实数的最小值；（2）若存在，使成立，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）