2021年中考数学 一轮复习：正方形及四边形综合问题

2021中考数学一轮复习：正方形及四边形综合

问题

一、选择题

1.如图，在四边形ABCO中，AB=CD,AC,8。是对角线，E,F,G,”分别

是A。，BD,BC,AC的中点，连接ERFG,GH,HE,则四边形EFGH的形

状是（）

A.平行四边形B.矩形D.正方形

2.如图，四边形ABCD是边长为5的正方形，E是。。上一点，DE=1,WAADE

绕着点A顺时针旋转到与△A8尸重合，则EF=（）

A.A/41B.痴

C.50D.2V13

3.如图I,正方形ABCD的面积为1,则以相邻两边中点连线EF为边的正方形

EFGH的周长为（）

A.y[2

B.2巾

C.巾+1

0.2^2+1

4.如图，在正方形A8CD中，AB=1,点E,F分别在边BC和CO上，AE=AF,

5.（2020.威海）如图，在口A8CO中，对角线8O，A。，AB=10,AD=6,。为

8。的中点，E为边AB上一点,直线E。交8于点尸，连结OE,BF.下列结

论不成立的是（）

A.四边形OE8E为平行四边形

B.若AE=3.6,则四边形。E8F为矩形

C.若AE=5,则四边形。E3F为菱形

D.若AE=4.8,则四边形/为正方形

6.如图，正方形ABCD的边长为9,将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的

点E处，折痕为GH,若BE：EC=2：1,则线段CH的长是（）

A.3B.4C.5D.6

7.如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN,

再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE.若AB的长为2,

则FM的长为（）

A.2B.事C.yjlD.1

8.（2020.东营）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A、B

重合），对角线AC、BD相交于点O,过点P分别作AC、BD的垂线，分别交

AC、BD于点E、F,交AD、BC于点M、N,下列结论：①△APE^^AME；

②PM+PN=AC；®PE2+PF2=PO2；©APOF^ABNF；⑤点0在M、N两点

的连线上.其中正确的是（）

A.①②③④B.①②③⑤C.①②③④⑤

D.③④⑤

（如图），使得点D落在对角线b上，EF与相交于点H,则HD=.（结

果保留根号）

10.如图，四边形ACDR是正方形，NCEA和都是直角且E,A,B三点

共线，AB=4,则阴影部分的面积是.

11.如图，E,尸是正方形A8CO的对角线AC上的两点，AC=8,AE=CF=2,则

四边形BEDF的周长是.

12.如图，在正方形ABC。中，AC为对角线，点E在4?边上，EFLAC于点F,

连接EC,AF=3,若^EFC的周长为12,则EC的长为.

E\

51

13.如图，正方形ABCO的顶点C,A分别在x轴，y轴上，BC是菱形BDCE

的对角线，若ND=60。，BC=2,则点D的坐标是

y

A

Cx

14.七巧板是一种古老的中国传统智力游戏，被誉为“东方魔板”.由边长为4啦的

正方形ABCD可以制作一副如图①所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形

EFGH内拼成如图②所示的“拼搏兔”造型（其中点Q,R分别与图②中的点E,G

重合，点P在边EH上），则“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是.

15.如图，有一个边长不定的正方形ABCD,它的两个相对的顶点A,C分别在

边长为1的正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点B,D在正六边形内部（包

括边界），则正方形边长。的取值范围是.

16.如图，正方形ABCD的面积为3c*,E为BC边上一点，NBAE=30。，F

为AE的中点，过点F作直线分别与AB,DC相交于点M,N.若MN=AE,则

AM的长等于_______cm.

三、解答题

17.如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，点E在线段DC上，点

A,D,G在同一条直线上，且AD=3,DE=1,连接AC,CG,AE,并延长

AE交CG于点H.

(1)求5/nZEAC的值；

(2)求线段AH的长.

18.(2020・河南)将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB，，记旋转角为a.

连接BBT过点D作DE垂直于直线BB，，垂足为点E,连接DBTCE.

(1)如图1,当。=60。时，ADEB，的形状为,连接BD,可求出篝的值

为;

(2)当0。＜。＜360。且。#90。时，①⑴中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请

仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；

②当以点B，、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出丝的值.

19.如图，在直角梯形A8CD中，NA=NO=90。，AB=8cm,C£＞=10cm,AD

=6cm,点E从点A出发，沿A—方向运动，运动速度为2cm/s,点尸同

时从点A出发，沿A—B方向运动，运动速度为1cm/s.设运动时间为心)，△CEF

的面积为5(cm2).

(1)当03/3时，t=,EF=VH).

(2)当叱/3时(如图①)，求S与，的函数关系式，并化为S=a(/-//)2+Z的形式，

指出当，为何值时，S有最大值，最大值为多少？

(3)当30E8时(如图②)，求S与/的函数关系式，并求出当/为何值时，S有最大

值，最大值为多少？

图①图②

20.如图①，在四边形ABC。中，点尸是AB上一点，点E在射线QP上，且N

BED=/BAD,连接AE.

(1)若A8=AO,在0P上截取点R4更得DF=BE,连接AF求证：XNBEQX

ADF；

(2)如图②，若四边形ABCD是正方形，点P在的延长线上，BE=1,AE=35

求。E的长；

(3)如图③，若四边形ABCD是矩形，AD=2A5,点尸在AB的延长线上，AE=y/5

21.已知，在RMABC中，ZACB=90°,BC=AC,AB=6,。是A3的中点，动

点E从点D出发，在AB边上向左或右运动，以CE为边向左侧作正方形CEFG,

直线BG,FE相交于点M点七向左运动时如图①，点£向右运动时如图②).

(1)在点E的运动过程中，直线8G与C。的位置关系为；

(2)设£>E=x,NB=y,求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值；

(3)如图②，当。石的长度为小时，求NBFE的度数.

图①图②

2021中考数学一轮复习：正方形及四边形综合

问题•答案

一、选择题

1.【答案】C［解析「.•点E,F,G,H分别是四边形45C。中A。，BD,BC,

G4的中点，：.EF=GH=^AB,EH=FG=［CD,'：AB=CD,：.EF=FG=GH=EH,

四边形EFG”是菱形，故选C.

2.【答案】D［解析］由旋转的性质可知，

△ADE咨AABF,

：.BF=DE=l,：.FC=6,VCE=4,.•.E/WJFC?+CE?”豆=2^/13.故选:D.

3.【答案】B【解析】•.•正方形ABCD的面积为1,...8。=CD=1,，：E、F是

边的中点，.♦。=。?=4，；.EF=、［J)2+(曰)2=哗,则正方形EFG”的

周长为4x乎=26.

4.【答案】C［解析］连接NE4F=60。，为等边三角形，

.•.4七=£7丁.，四边形48。。为正方形，，/8=/。=/。=90。,48=4),.，尔/ABE

且RtAADF(HL),：.BE=DF,,EC=CF.设CF=x,则EC=x,

AE=EF=^EC2+FC2=^2x,BE=l-x.在RtAABE中，AB2+BE2=AE2,：.

1+(1-X)2=(缶)2,解得X=4-l(舍负).故选C.

5.【答案】：：。为8。的中点，

:.OB=OD,

•••四边形ABC。为平行四边形，

C.DC//AB,

：.ZCDO=ZEBO,ZDFO=ZOEB,

：./\FDO^AEBO(AAS),

，OE=OF,

四边形DEBF为平行四边形,

故A选顶结论正确，

若AE=3.6,AD=6,

.AE3.63

,'AD=~6=5,

_AD63

乂•48—10一5，

.AEAD

"'AD=AB,

ZDAE=ZBAD,

:.ADAEsABAD,

：.AED=ZADB=9Q°.

故B选项结论正确，

AE=5,

：.BE=5,

又：ZADB=90°,

1

：.DE=^AB=5,

：.DE=BE,

.•.四边形。EBE为菱形.

故C选项结论正确，

•••AE=3.6时，四边形。硝尸为矩形，AE=5时，四边形DEB/为菱形，

：.AE=4.8时，四边形DEBF不可能是正方形.

故D不正确.

故选：D.

6.【答案】B【解析】设Ca=x,,：BE：EC=2：1,BC=9,：.EC=3,由折

叠可知，EH=DH=9—x,在Rt^EC”中，由勾股定理得：(9-%)2=32+^,解

得：x=4.

7.【答案】B【解析】•:AB=2,：.BF=2,又•.•8M=g3C=1,由勾股定理得

FM=ylFB2-BM2=y[3.

8・【答案】B

【解析】本题考查了垂线、平行线和正方形的性质，全等三角形的判定与性质、

等腰直角三角形的判断和性质、相似三角形的判定和性质，是常见问题的综合，

灵活的运用所学知识是解答本题的关键.综合应用垂线、平行线和正方形的性质，

全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判断和性质、相似三角形的判定和

性质等知识，逐个判断5个结论的正确性，得出结论.

①•.,正方形ABC。，/.ZAPE=ZAME=45°,'：PM±AE,：.ZAEP=ZAEM=^°,

'：AE=AE,：.^APE^^AME(ASA)；

②过点N作N0_LAC于点。，则四边形PNQE是矩形，，PN=EQ,..•正方形ABC。,

：.ZPAE=ZMAE=45°,\'PM±AE,：.ZPEA=45°,：.ZPAE=AAPE,PE=NQ,

.•.△APE等腰直角三角形，...AE=PE,同理得：△NQC等腰直角三角形，

NQ=CQ,V/XAPE^/XAME,：.PE=ME,：.PE=ME=NQ=CQ,：.PM=AE+CQ,

：.PM+PN=AE+CQ+EQ=AC,即PM+PN=AC成立;

③•.•正方形ABC。，.•.4C_LBD,；.NEO尸是直角，•过点尸分别作AC、8。的

垂线，分别交AC、BD于点、E、R和/PFO是直角，，四边形PR9E

是矩形，••.PQOE,在RdPEO中，有。/+0层=尸02,.”炉+「产=尸02,即

PU+PF2=P()2成立;

④Z^BN/是等腰直角三角形，点尸不在43的中点时，△POE不是等腰直角三

角形，所以尸与△3NR不一定相似，即△POFSARVE不一定成立；

⑤•.'△AMP是等腰直角三角形，△PMNsaAMP,.•.△PMN是等腰直角三角形，

•:/MPN=90。,：.PM=PN,'：AP=—PM,BP=—PN,：.AP=BP,，点尸是

22

AB的中点，又;。为正方形的对称中点，.•.点。在M、N两点的连线上.综上，

①②③⑤成立，即正确的结论有4个，答案选B.

二、填空题

9.【答案】也-1［解析］•.•四边形ABCO为正方形，

：.CD=\,ZCDA=90°,

•••边长为1的正方形ABC。绕点C按顺时针方向旋转到正方形FECG的位置，

使得点D落在对角线CF上，

：.CF=\2,NCEE=45。，DFH为等腰直角三角形，.,•。”=。/=。K。。=也-1.

故答案为也-1.

10.【答案】8［解析•四边形AC。尸是正方形，

：.AC=AF,ZCAF=90°,ZCAE+ZBAF=90°,

又/C4E+NECA=90。，

二ZECA=ZBAF,则在△ACE和△E43中，

ZAEC=ZABF=90°,

..4ECA=NBAF,

'(AC=AF,

；.△ACE^AMB(AAS),：.AB^CE=4,

...阴影部分的面积，4BCE=5X4X4=8.

11.【答案】8右［解析］如图，连接8。交AC于点0

•.•四边形A3Q9为正方形,BDLAC,OD=OB=OA=OC,

'：AE=CF=2,

：.OA-AE=OC-CF,BPOE=OF,

，四边形BED/为平行四边形，且BD上EF,

，四边形BE。尸为菱形，

:.DE=DF=BE=BF,

'：AC=BD=S,0E=0F=^Y=2,，由勾股定理得:£>E=JOD2++2?=2、行,

/.四边形BEDF的周长=4OE=4X2/=8A5，故答案为:8亚

12.【答案】5［解析］•.•四边形A8CD是正方形，AC为对角线,

/.ZME=45°,XVEF±AC,

/.ZAFE=90°,/.ZAEF=45°,

：.EF=AF=3,

EFC的周长为12,

：.FC=l2-3-EC=9-EC,

在RtAEFC中，E(^=EF2+FC2,

：.EC2=9+(9-EC)2,

解得EC=5.

13.【答案】（,+2,1）【解析】如解图，过点D作DGLBC于G,DF，x轴

于F,•.•在菱形BDCE中，BD=CD,ZBDC=60°,，4BCD是等边三角形，

.,.DF=CG=1BC=1,CF=DG=4，OF=4+2,，D（小+2,1）.

CFa解图

14.【答案】44［解析］如图，连接EG,作GMLEN交硒的延长线于K

在RQEMG中，'：GM=4,£M=2+2+4+4=12,

EG=VEM2+GM2=V122+42=4\/10,

:・EH=^=

15.【答案】事七3-S【解析】:ABCD是正方形，.3=4=乎AC,

的取值范围与AC的长度直接相关.如解图①，当A,C两点恰好是正六边形一

组对边中点时，。的值最小，•.•正六边形的边长为1,，AC=小，，AB=a=坐

AC=*;如解图②，连接MN,延长AE,BF交于点G,二•正六边形和正方形

ABCD,.♦.△MNG、zXABG、AEFG为正三角形，设AE=BF=x,则AM=BN

=l-x,AG=BG=AB=l+x=a,VGM=MN=2,ZBNM=60°,

BCa

22

sinZBNM=sin60°=,・,•木(1-x)=〃，，仍(2—a)=〃，解得，a

=潇7=3一小;正方形边长a的取值范围是唳好3一小.

c

图①

【解析】如解图，过N作NGLAB,交AB于点G,•..四

边形ABCD为正方形，.•.AB=AD=NG=/cm,在RtAABE中，ZBAE=30°,

AB=#cm,/.BE=1cm,AE=2cm,,.'F为AE的中点，.,.AF=^AE=1cm,

AB=NG

在Rf^ABE和RfZXNGM中，彳，/?rAABE/?/△NGM(HL),/.BE=

,AE=NM

GM,ZBAE=ZMNG=30°,ZAEB=ZNMG=60°,.,.ZAFM=90°,即

•AEAF12s

MN1AE,在/?rAAMF中，NFAM=30°,AF=1cm,

2

cm,由对称性得到AM，=BM=AB-AM=，§—邛^=坐

cm,综上，AM的长

等于¥或理cm.

三、解答题

17.【答案】

解：(1)由题意知EC=2,AE=V10,

如解图，过点E作EMJ_AC于点M,

.,.ZEMC=90°,易知NACD=45。，

.•.△EMC是等腰直角三角形，

；.EM=小,

.♦.szt〃/EAC=^^=W;(4分)

A匕J

(2)在4GDC与^EDA中，

fDG=DE

<ZGDC=ZEDA,

IDC=DA

.,.△GDC^AEDA(SAS),

/.ZGCD=ZEAD,

又；NHEC=NDEA,

.,.ZEHC=ZEDA=90°,

/.AH±GC,（7分）

SAAGC=^XAGXDC=|XGCXAH,

/.1x4x3=^x^H）xAH,（9分）

.,.AH=1\/ib.（10分）

18.【答案】

解：(1)等腰直角三角形，72.

(2)①两个结论仍成立.

证明:连接BD.：AB=AB',NBAB'=。，工NAB'B=900-],

YNBAD=a-90。，AD=AB\AZABfD=135--,AZEB^ZAB^-ZAB^MS0.

2

•.♦DELBB，，.•.NEDB，=NEB，D=45。，.•.△DEB，是等腰直角三角形，.•.”~=万

DE

•••四边形ABCD为正方形，=应，NBDC=45。....喘=箸，

VZEDB^ZBDC,AZEDB,+ZEDB=ZBDC+ZEDB,即NBDB，=NCDE.，△

B'DBs^EDC,

.BB_BD_r-

••------------------A/2;

CECD

②3或1.思路提示：分两种情况.

情形一，如图，当点B，在BE上时，由处=®,设BB，=2加，CE=,/2m.

•.•CE〃B'D,CE=B'D,.•.B'D=0m，在等腰直角三角形DEB'中，斜边B'D=0,〃，

丁n,口…BE2m。

・・・B'E=DE=",于是得到3：=--------=3.

BEm

情形二，如图，当点B，在BE延长线上时，由段~=及,设BB，=2加，CE=^2,n

•.•CE〃B'D,CE=B'D,...B'D="〃，在等腰直角三角形DEB'中，斜边B'D="〃,

【解析】(1)aABB，是等边三角形，△ABT)是等腰三角形，且NAB，D=75。,

ZDBrE=45°,结合DELB'E,可得aDEB，是等腰直角三角形.连接BD,.•./

BDC=45°,易得

NBDB，=NCDE,结合股=四=叵，：.AB^B^AEDC,二处=或=血.

DCDEBCCE

(2)结论成立，证明方法与(1)一样；(3)分两种情况：当点B，在BE上时和

当点B，在BE延长线上时.

19.【答案】

(1)^/2；【解法提示】根据题意知，AF=f,AE=2r,♦.•NA=90。，，A尸2+4序

=EF2,即5+(2r)2=(®)2,解得：片色(负值舍去).

(2)当0WE3时，如解图①，过点。作CP_LAB,交A3延长线于点P,

解图①

,/ZA=ZD=90°,

...四边形APC。是矩形，

则CP=A£)=6cm,

V/4B=8cm,AD=6cm,

/.BF=(8—r)cm,DE=(6—2r)cm,

贝！JS=S梯形ABC。一AE/—CBF—SxCDE

=^x(8+10)x6—1xrx2r—1x(8—r)x6—1x(6—20><10

=—产+13方

/13、2/69

=-(r-y)2+—)

即S=一Q—学产+竽，

13

•.•当，<了时，S随f的增大而增大，

.•.当t=3时，S取得最大值，最大值为30；

(3)当3s/8时，如解图②，过点F作/。_LCO于点0,

解图②

由/A=NO=90。，知四边形ADQR是矩形,

FQ=AD=6cm,

VAD+DE=2r,AD=6cm,CD=10cm,

:.CE=(16—2r)cm,

则此时S=；x(16—27)x6=48—63

V-6<0,

.••S随1的增大而减小，

.•.当r=3时，S取得最大值，最大值为30cm2.

20.【答案】

(1)证明：":/BED=NBAD,ZBPE=ZDPA,

二NABE=ZADF,

又•.,A3=AO,BE=DF,

(2)解：如解图①，延长ED到点F,使得。连接AF,

解图①

•.•四边形ABC。是正方形，

:.NBAD=NBED=NBEP,

NP=ZP,：.ZPBE=ZADP,

：./ABE=ZADF,

'：BE=DF,AB=AD,

：.AABE经AADF,

：.AE=AF,ZBAE=ZFAD,

：.ZFAD+ZEAD=ZBAE+ZEAD=90°,

：.EF=y]2AE=3啦X啦=6,

:.DE=EF~DF=EF~BE=6~1=5；

(3)解：如解图②，过点A