2021年中考数学三轮复习：二次函数 压轴（含答案）

2021年中考数学第三轮：二次函数压轴题专题复习

1、已知二次函数y=ax2-2ax+c(a<0)的最大值为4,且抛物线过点(看，-看)，

点P(t,0)是x轴上的动点，抛物线与y轴交点为C,顶点为D.

(1)求该二次函数的解析式，及顶点D的坐标；

(2)求|PC-PD|的最大值及对应的点P的坐标；

(3)设Q(0,2t)是y轴上的动点，若线段PQ与函数y=a|x1-2a|x|+c的图

象只有一个公共点，求t的取值.

2、如图，抛物线y=x，-3x+2与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C,点D

4

是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E

(1)求直线BC的解析式；

(2)当线段DE的长度最大时，求点D的坐标.

3、已知二次函数y=ax?-2ax+c(a>0)的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交

于A、B两点，与y轴交于点C,它的顶点为P,直线CP与过点B且垂直于x轴

的直线交于点D,且CP：PD=2：3

(1)求A、B两点的坐标；

(2)若tanNPDB=3,求这个二次函数的关系式.

4、如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x、L与y轴相交于点A,点B与

4

点0关于点A对称

(1)填空：点B的坐标是；

(2)过点B的直线y=kx+b(其中k<0)与x轴相交于点C,过点C作直线1平

行于y轴，P是直线1上一点，且PB=PC,求线段PB的长(用含k的式子表示)，

并判断点P是否在抛物线上，说明理由；

(3)在(2)的条件下，若点C关于直线BP的对称点C'恰好落在该抛物线的

对称轴上，求此时点P的坐标.

5、如图，抛物线y=-x，2x+3与x轴相交的于A,B两点(点A在点B的左侧)，

与y轴相交于点C,顶点为D.

(1)直接写出A,B,C三点的坐标和抛物线的对称轴；

(2)连接BC,与抛物线的对称轴交于点E,点P为线段BC上的一个动点(P不

与C,B两点重合)，过点P作PF〃DE交抛物线于点F,设点P的横坐标为m.

①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行

四边形.

②设4BCF的面积为S,求S与m的函数关系式；当m为何值时，S有最大值.

6、已知抛物线y=^—3x+m,直线/：y=kxQk>0),当在=1时，抛物线C

与直线/只有一个公共点.

(1)求加的值；

(2)若直线/与抛物线。交于不同的两点4B,直线/与直线Z：y=~3x+b

交于点尸，且」-+_L=_L,求Z，的值；

OAOB0P

(3)在(2)的条件下，设直线乙与y轴交于点0,问：是否存在实数在使8门

=区则，若存在，求A的值，若不存在，说明理由.

y

X

7、如图，在平面直角坐标系xOy中，将二次函数y=x2-1的图象M

沿x轴翻折，把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8

个单位长度，得到二次函数图象N.

（1）求N的函数表达式；

（2）设点P（m,n）是以点C（l,4）为圆心、1为半径的圆上一动

点，二次函数的图象M与x轴相交于两点A、B,求PA2+PB2的最大值；

（3）若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点.求M

与N所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数.

8、如图，抛物线y=-*x2+bx+c与x轴交于点A,点B,与y轴交于点C,点B

坐标为（6,0）,点C坐标为（0,6）,点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂

线，垂足为E,连接BD.

（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；

（2）点F是抛物线上的动点，当NFBA=NBDE时，求点F的坐标；

（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN〃x轴与抛物线交于点N,点P在x

轴上，点Q在平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ,请直接写出点Q的坐

标.

9、如图①，已知aABC的三个顶点坐标分别为A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3),

直线BE交y轴正半轴于点E.

(1)求经过A、B、C三点的抛物线解析式及顶点D的坐标•；

(2)连接BD、CD,设NDB0=a,ZEB0=P,若tan(a-p)=1,求点E的坐

标；

(3)如图②，在(2)的条件下，动点M从点C出发以每秒血个单位的速度在

直线BC上移动(不考虑点M与点C、B重合的情况)，点N为抛物线上一点，设

点M移动的时间为t秒，在点M移动的过程中，以E、C、M、N四个点为顶点的

四边形能否成为平行四边形？若能，直接写出所有满足条件的t值及点M的个数;

10、如图，在平面直角坐标系中，二次函数夕=a。'mx+c的图像经过点力(-1,0),

B(0,-百)、C(2,0),其中对称轴与x轴交于点〃。

(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标；

(2)若尸为y轴上的一个动点，连接PD,则-PB+PD的最小值为

2

(3)"(s,t)为抛物线对称轴上的一个动点。

①若平面内存在点儿使得人B、M、N为顶点的四边形为菱形，则这样的

点"共有个；

②连接物、物，若监不小于60°,求£的取值范围。

11、如图，在平面直角坐•标系中，矩形OCDE的顶点C和E分别在y轴的正半轴

和x轴的正半轴上，0C=8,0E=17,抛物线丫二卷/？-3x+m与y轴相交于点A,抛

物线的对称轴与x轴相交于点B,与CD交于点K.

（1）将矩形OCDE沿AB折叠，点0恰好落在边CD上的点F处.

①点B的坐标为（、）,BK的长是,CK的长是；

②求点F的坐标；

③请直接写出抛物线的函数表达式；

（2）将矩形OCDE沿着经过点E的直线折叠，点0恰好落在边CD上的点G处，

连接0G,折痕与0G相交于点H,点M是线段EH上的一个动点（不与点H重合），

连接MG,M0,过点G作GPL0M于点P,交EH于点N,连接ON,点M从点E开始

沿线段EH向点H运动，至与点N重合时停止，aMOG和aNOG的面积分别表示为

Si和S”在点M的运动过程中，S,*S2（即*与S2的积）的值是否发生变化？若

变化，请直接写出变化范围；若不变，请直接写出这个值.

温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答.

o

12、如图，抛物线y=-令M)x+c经过点A(-3,0),点C(0,4),作CD〃x

轴交抛物线于点D,作DE_Lx轴，垂足为E,动点M从点E出发在线段EA上以每

秒2个单位长度的速度向点A运动，同时动点N从点A出发在线段AC上以每秒

1个单位长度的速度向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运

动，设运动时间为t秒.

(1)求抛物线的解析式；

(2)设的面积为S,求S与t的函数关系式；

(3)①当MN〃DE时，直接写出t的值；

②在点M和点N运动过程中，是否存在某一时刻，使MNLAD?若存在，直接写

出此时t的值；若不存在，请说明理由.

13、如图1,二次函数y=ax2+bx的图象过点A(-1,3),顶点B的

横坐标为1.

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)点P在该二次函数的图象上，点Q在x轴上，若以A、B、P、Q

为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；

(3)如图3,一次函数y=kx(k>0)的图象与该二次函数的图象交

于0、C两点，点T为该二次函数图象上位于直线0C下方的动点，过

点T作直线TML0C,垂足为点M,且M在线段0C上(不与0、C重合)，

2

过点T作直线TN〃y轴交0C于点N.若在点T运动的过程中，理一为

0M

常数，试确定k的值.

14、如图，抛物线y=以2+法+。(“#0)与X轴交于1,6两点，与y轴交于C

(0,3),且此抛物线的顶点坐标为〃(-1,4).

(1)求此抛物线的解析式；

(2)设点〃为已知抛物线对称轴上的任意一点，当切与△aT面积相等时，

求点〃的坐标；

(3)点尸在线段上，当尸。与y轴垂直时，过点尸作x轴的垂线，垂足为反

将△核沿直线"翻折，使点。的对应点户与尸，E,。处在同一平面内，请求

出点*坐标，并判断点〃是否在该抛物线上.

参考答案

2021年中考数学第三轮：二次函数压轴题专题复习

1、已知二次函数y=ax2-2ax+c(aV0)的最大值为4,且抛物线过点(看，号),

点P(t,0)是x轴上的动点，抛物线与y轴交点为C,顶点为D.

(1)求该二次函数的解析式，及顶点D的坐标；

(2)求|PC-PD|的最大值及对应的点P的坐标；

(3)设Q(0,2t)是y轴上的动点，若线段PQ与函数y=a|xr-2a|x|+c的图

象只有一个公共点，求t的取值.

-9a

【解答】解：(1)•.•y=ax?-2ax+c的对称轴为；x=--^-=1,

•••抛物线过(1,4)和(孑，-卷)两点,

a-2a+c=4

代入解析式得：49

—a-7a+c=

44

解得：a=-1,c=3,

...二次函数的解析式为：y=-x，2x+3,

二顶点D的坐标为,(1,4)；

(2)VC,D两点的坐标为(0,3)、(1,4)；

由三角形两边之差小于第三边可知：

|PC-PD|W|CD|,

.,.P、C、D三点共线时|PC-PD|取得最大值，此时最大值为,

|CD|=V2.

由于CD所在的直线解析式为y=x+3,

将P(t,0)代入得t=-3,

...此时对应的点P为(-3,0)；

(3)y=a|x|2-2a|x|+c的解析式可化为：

-X2+2X+3(X^0)

-x2-2x+3(x<C0)

设线段PQ所在的直线解析式为尸kx+b,将P(t,0),Q(0,2t)代入得:

线段PQ所在的直线解析式：y=-2x+2t,

・••①当线段PQ过点(0,3),即点Q与点C重合时，线段PQ与函数

J+2x+3(x>0)

有一个公共点,此时t=-l»

x2-2x+3(x<C0)

当线段PQ过点(3,0),即点P与点(3,0)重合时，t=3,此时线段PQ与

HU2)有两个公共点’所以当0<3时,

y=,

,-J+2x+3(x)0).人八"一

线段PQ与有一个公共点,

-x20-2x+3(x<0)

②将y=-2x+2t代入y=-x2+2x+3(x20)得:

-x2+2x+3--2x+2t,

-x2+4x+3-2t=0,

令△=16-4(-1)(3-2t)=0,

7

t=y>0,

所以当t]时，线段PQ与y=「x：+2x+3（A°）也有一个公共点，

2[-X2-2x+3（x<0）

③当线段PQ过点（-3,0）,即点P与点（-3,0）重合时，线段PQ只与

y=-x2-2x+3（x<0）有一个公共点，此时t=-3,

所以当tW-3时，线段PQ与丫/一x：+2*3（x》0）也有一个公共点，

-x2_2x+3（x<C0）

综上所述，t的取值是或或tW-3.

2、如图，抛物线y=x，-3x+2与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C,点D

4

是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E

（1）求直线BC的解析式；

（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标.

【解答】解：（1）•••抛物线y=x?-3x+”与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于

4

点3

令y=0,可得x二工或x=—,

22

.*.A(1,0),B("，0)；

22

令x=0,则y=$,

4

，C点坐标为(0,”)，

4

设直线BC的解析式为：y=kx+b,则有,

...直线BC的解析式为：y=

(2)设点D的横坐标为m,则坐标为(m,

；.E点的坐标为(m,

设DE的长度为d,

•••点D是直线BC下方抛物线上一点,

则d=-—m+--(m2-3m+—),

244

整理得，d=-m?+2n,

2

1.,a=-l<0,

5_2。-孕

b~2_4ac-b_4:25

当m=--------——时，d最大-------

-2a-2X7(-1)44a^4-16,

.♦•D点的坐标为(”，-匹).

416

3、已知二次函数y=ax?-2ax+c(a>0)的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交

于A、B两点，与y轴交于点C,它的顶点为P,直线CP与过点B且垂直于x轴

的直线交于点D,且CP：PD=2：3

(1)求A、B两点的坐标；

(2)若tanNPDB=^,求这个二次函数的关系式.

【解答】解：(1)过点P作PEJ_x轴于点E,

y=ax'-2ax+c,

...该二次函数的对称轴为：x=l,

/.OE=1

V0C/7BD,

，CP：PD=OE：EB,

AOE：EB=2：3,

，EB=T，

2

.•.OB=OE+EB=1,

，B(g,0)

2

・.・A与B关于直线x=l对称，

「.A(-、，0)；

2

(2)过点C作CFLBD于点F,交PE于点G,

令x=l代入y=ax2-2ax+c,

・•y—c-a,

令x=0代入y=axz-2ax+c,

y=c

，PG=a,

VCF=0B=-2,

2

...tanNPDB=篇,

；.FD=2,

VPG/7BD

.,.△CPG^ACDF,

.PGCP2

--------二一

FDCD5

.TT+c,

55

把A（40）代入丫春-沃,

二解得：c=-l,

4、如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x?+L与y轴相交于点A,点B与

4

点0关于点A对称

（1）填空：点B的坐标是（0,工）；

-------2----

（2）过点B的直线y=kx+b（其中k<0）与x轴相交于点C,过点C作直线1平

行于y轴，P是直线1上一点，且PB=PC,求线段PB的长（用含k的式子表示），

并判断点P是否在抛物线上，说明理由；

（3）在（2）的条件下，若点C关于直线BP的对称点C'恰好落在该抛物线的

对称轴上，求此时点P的坐标.

（1）：抛物线y=x?+L与y轴相交于点A,

4

AA（0,1）,

4

•.•点B与点0关于点A对称，

/.BA=OA=1,

4

/.0B=l,即B点坐标为（0,1）,

22

故答案为：(0,1)；

2

(2)YB点坐标为(0,1),

2

...直线解析式为y=kx+L,令y=0可得kx+L=0,解得x=-

222k

VPB=PC,

...点P只能在X轴上方，

如图1,过B作BD_L1于点D,设PB=PC=m,

图1

则BD=OC=-LCD=0B=l,

2k2

/.PD=PC-CD=m-1,

2

在RtAPBD中，由勾股定理可得PB2=PD2+BD2,

22

即m=(m-1)+(-J-)②，解得m=l+-i-

22k44k2

，P点坐标为(-工工+»，

2k44k2

当乂=-」-时，代入抛物线解析式可得y=^+工

2k44k2

...点P在抛物线上；

(3)如图2,连接CC，，

轴，

，ZOBC=ZPCB,

又PB=PC,

NPCB=NPBC,

/.ZPBC=ZOBC,

又C、C'关于BP对称，且C'在抛物线的对称轴上，即在y轴上，

.".ZPBC=ZPBCZ,

.,.ZOBC=ZCBP=ZC,BP=60°,

在RtZXOBC中,OB=1,则BC=1

2

.•.0C=返，即P点的横坐标为返，代入抛物线解析式可得丫=（返）2+1=1,

2224

.••P点坐标为（返，1）.

2

5、如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴相交的于A,B两点（点A在点B的左侧），

与y轴相交于点C,顶点为D.

（1）直接写出A,B,C三点的坐标和抛物线的对称轴；

（2）连接BC,与抛物线的对称轴交于点E,点P为线段BC上的一个动点（P不

与C,B两点重合），过点P作PF〃DE交抛物线于点F,设点P的横坐标为m.

①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行

四边形.

②设ABCF的面积为S,求S与m的函数关系式；当m为何值时，S有最大值.

【解答】解：（1）对于抛物线y=-x2+2x+3,

令x=0,得到y=3；

令y=0,得到-X2+2X+3=0,即(x-3)(x+1)=0,

解得：x=-1或x=3,

则A(-1,0),B(3,0),C(0,3),抛物线对称轴为直线x=l；

(2)①设直线BC的函数解析式为丫=1«+13,

把B(30),C(0,3)分别代入得:(3k+b=°,

Ib=3

解得：k=-1,b=3,

直线BC的解析式为y=-x+3,

当x=l时，y=-1+3=2,

AE(1,2),

当x=m时，y=-m+3,

；.P(m,-m+3),

令y=-x?+2x+3中x=l,得至Uy=4,

AD(1,4),

当x=m时，y=-m2+2m+3,

.'.F(m,-m2+2m+3),

线段DEM-2=2,

V0<m<3,

yF>y”

，线段PF=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m,

连接DF,由PF〃DE,得到当PF=DE时，四边形PEDF为平行四边形，

由-m2+3m=2,得到m=2或m=l(不合题意，舍去)，

则当m=2时，四边形PEDF为平行四边形；

②连接BF,设直线PF与x轴交于点M,由B(3,0),0(0,0),可得0B=0M+MB=3,

S=SABPI.+SACpI.=yPF•BM+yPF•0M=-1-PF(BM+OM)=/PF・OB,

.*.S=*^X3(-m2+3m)=-(0VmV3),

则当m=|•时，S取得最大值.

6、已知抛物线C：y=^—3x+m,直线7：y=kx(A>0),当A=1时，抛物线C

与直线,只有一个公共点.

(1)求加的值；

(2)若直线/与抛物线C交于不同的两点儿B,直线/与直线入y=-3x+b

交于点尸，且」-+—匚=2,求8的值；

OAOBOP

(3)在(2)的条件下，设直线Z与y轴交于点0,问：是否存在实数A使五代

=S2BPQ，若存在，求女的值，若不存在，说明理由.

解：(1)•・,当4=1时，抛物线。与直线,只有一个公共点，

.,.X=，一3才+力，即4x+勿=0,

/.△=16-4/»=0,

勿=4.

・二抛物线Ciy=x—3x+4.

(2)如答图，过点/作4ax轴于〃，过点6作废工才轴于其过点尸作杼工才

轴于F,

则△/妙^XBOEsXPOF.

ODOEOF

~0A~~OB~~~OP'

1,12

+----

~0AOB~~0P

OP,OP

=2.

04OB

OF,OF

+——2.

~ODOE

1+1_2

1----------

ODOEOF

•OD+OE_2

"ODOE~~0F'

•.•直线/与抛物线。交于不同的两点A,B,

：.x~3x+^=kx,

即x—(3+k)x+4=0,

：.0及庞1=3+k,OD-0E=\,

•.•直线/与直线Z：尸一3x+6交于点R

:.kx=-3x+b.

.b

..x=------.

k+3

：.0F=-^~.

k+3

.3+k2

4b

k+3

：.b=8.

(3)不存在，理由：

假设存在实数A使五.=五的，则

.ziz?OD+OEn8&+3

..OF—.......，即n----=----,

2k+32

整理，得〃+6A—7=0,

(4+7)(A-l)=0

.,.左=-7(与A>0相矛盾，舍去)，k2=l.

当在=1时，点从B、，三点重合，XAPQ、XBPQ不存在.

故不存在实数A"使$4亚=S&BPO.

7、如图，在平面直角坐标系xOy中，将二次函数y=x2-1的图象M

沿x轴翻折，把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8

个单位长度，得到二次函数图象N.

(1)求N的函数表达式；

(2)设点P(m,n)是以点C(l,4)为圆心、1为半径的圆上一动

点，二次函数的图象M与x轴相交于两点A、B,求PA2+PB2的最大值；

(3)若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点.求M

与N所围成封闭图形内(包括边界)整点的个数.

【解答】(1)解：二次函数y=x-1的图象M沿x轴翻折得到函数的

解析式为y=-x?+l,此时顶点坐标(0,1),

将此图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度得到二次

函数图象N的顶点为(2,9),

故N的函数表达式y=-(x-2)2+9=-X2+4X+5.

(2)VA(-1,0),B(1,0),

/.PA2+PB2=(m+1)2+n2+(m-1)2+n2=2(m2+n2)+2=2・P0?+2,

...当P0最大时PA'+PB?最大.如图，延长0C与。0交于点P,此时

0P最大，

AOP的最大值=OC+PO=JF+1,

...PA'+PB?最大值=2(V17+1)2+2=38+4Vi7-

(3)M与N所围成封闭图形如图所示，

由图象可知，M与N所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数为25

个.

8、如图，抛物线y=-2x'+bx+c与x轴交于点A,点B,与y轴交于点C,点B

坐标为（6,0）,点C坐标为（0,6）,点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂

线，垂足为E,连接BD.

（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；

（2）点F是抛物线上的动点，当NFBA=/BDE时，求点F的坐标；

（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN〃x轴与抛物线交于点N,点P在x

轴上，点Q在平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ,请直接写出点Q的坐

标.

【解答】解：⑴将点B(6,0)、C(0,6)代入y=-3x2+bx+c中,

(0=-18+6b+c解得:管,

得:16=c

，抛物线的解析式为y=--j-x2+2x+6.

*.*y=--^-x'+2x+6=-*(x-2)"+8,

.•.点D的坐标为(2,8).

(2)设线段BF与y轴交点为点F',设点F'的坐标为(0,m),如图1所示.

YNF'B0=ZFBA=ZBDE,NF'0B=ZBED=90°,

.•.△F'BO^ABDE,

.0Fy_BE

OB=DE'

•.•点B(6,0),点D(2,8),

.•.点E(2,0),BE=6-4=4,DE=8-0=8,0B=6,

BF

...OF'-«0B=3,

De.

.,.点F'(0,3)或(0,-3).

设直线BF的解析式为y=kx±3,

则有0=6k+3或0=6k-3,

解得：k=-•或

，直线BF的解析式为y=-yx+3或y=*x-3.

1

产一万x+3悬"X-3

,②

联立直线BF与抛物线的解析式得：f①或

1212

尸+2x+6y=~yx+2x4-6

x=-1

解方程组①得：7或

隐■S(舍去)，

...点F的坐标为(-1,1)；

x=-3

x=6

解方程组②得:9或（舍去）,

y=0

.•.点F的坐标为（-3,-1）.

综上可知：点F的坐标为（-1,£）或（-3,-1）.

（3）设对角线MN、PQ交于点0',如图2所示.

•.•点M、N关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ为正方形，

.•.点P为抛物线对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线对称轴上,

设点Q的坐标为（2,2n）,则点M的坐标为（2-n,n）.

•.•点M在抛物线y=-yx2+2x+6的图象上，

.'.n=-y（2-n）2+2（2-n）+6,BPn2+2n-16=0,

解得：-1,n2=-V17-1.

，点Q的壁标为（2,V17-1）或⑵-V17-1）.

9、如图①，已知4ABC的三个顶点坐标分别为A（-1,0）、B（3,0）、C（0,3）,

直线BE交y轴正半轴于点E.

（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式及顶点D的坐标•；

（2）连接BD、CD,设NDB0=a,NEB0=B,若tan（a-p）=1,求点E的坐

标；

（3）如图②，在（2）的条件下，动点M从点C出发以每秒加个单位的速度在

直线BC上移动（不考虑点M与点C、B重合的情况），点N为抛物线上一点，设

点M移动的时间为t秒，在点M移动的过程中，以E、C、M、N四个点为顶点的

四边形能否成为平行四边形？若能，直接写出所有满足条件的t值及点M的个数;

若不能，请说明理由.

【解答】解：(1)经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点的抛物线,

...设抛物线解析式为y=a(x+1)(x-3),

•.•点C(0,3)在抛物线上，

.*.3=-3a,

a=-1

.•.抛物线解析式为y=-(x+1)(x-3)=-(x-1)2+4,

二抛物线的顶点坐标为D(1,4),

(2)Vtan(a-B)=1,

a-0=45°,

ZDB0=a,ZEB0=B,

/.ZDOE=45°,

过点E作EF1BD于F,

；.EF=BF,

VB(3,0),D(1,4),

直线BD解析式为y=-2x+6①，

设点E(0,b),

VEF1BD,

二直线EF解析式为y=*x+b②，

联立①②解方程组得，x咯(6-b),y咯(2b+3),

55

AFb),4<2b+3)),

55

.,.EF2=[-1(6-B)了+佟(2b+3)-b]2=-^(6-b)%FB?=仔(6-b)-3了+佟

55555

(2b+3)了=三(2b+3)]2,

5

VEF=FB,

.,.EF2=FB2,

Ay(6-b)2吗(2b+3)了，

b=-9(舍)或b=l,

AE(0,1),

(3)能，，

理由:VB(3,0),C(0,3),

直线BC解析式为y=-x+3,

设点M(m,-m+3),

•••E、C、M、N四个点为顶点的四边形为平行四边形，

•••分CE为边和CE为对角线进行计算，

①如图2,

当CE是平行四边形的边时，MN〃CE,MN=CE,

过M作MN〃CE交抛物线于N,

•.•点N在抛物线上，

.♦.N(m,-m'+2m+3),

MN=-1-m2+2m+3-(-m+3)|=|m2-3m|,

VC(0,3),E(0,1),

，CE=2,

VMN=CE,

|m2-3m|=2,

或m=]或m=2,

...M(竽，号立)或(亨1,当亘)或a,2)或(2,1)；

VC(0,3)

当M(邛I,三/)时，CM=MX竺哭，

.十CM3+VTF

-,

一_r_

当M(三尹，竽)时，

同理：t=3一严,

当M(1,2)时，CM=M，

当M(2,1)时，CM=2加，

.,.t=2&+加=2,

②当CE是平行四边形的对角线时，MN与CE互相平分,

VC(0,3),E(0,1),

二线段CE的中点坐标为(0,2),

VM(m,-m+3),

•••点N在抛物线y=-x2+2x+3上，

设点N(n,-n2+2n+3),

利用中点坐标得，咿=0,53+(-、+2n+3)=2>

/2

__3+VH

-2-2

cl—或，

3+717户一旧，

n=~r-n=~2

.•.M(-空,9+S73-旧g—yi?

)或(-),

2222

当M(-邛I,9+VI7)时，CM=&X驾亘,

~r~

.t-3+V17

当M(-t号子I)时,CM心'i

.+3-旧

即：满足条件的t的值为处号或上严或1或2.点M共有6个.

10、如图，在平面直角坐标系中，二次函数尸'a/班x+c的图像经过点4(-1,0),

B(0,-6)、C(2,0),其中对称轴与*轴交于点〃。

(4)求二次函数的表达式及其顶点坐标；

(5)若尸为y轴上的一个动点,连接外，则的最小值为

2

(6)〃(s,t)为抛物线对称轴上的一个动点。

③若平面内存在点M使得人反以为顶点的四边形为菱形，则这样的

点N共有个；

@连接物、，如若N4如不小于60°,求X的取值范围。

解：(1)方法一：设二次函数的表达式为y=a(x+l)(x-2),B(0,-73)代入

解得a=g

2

...y=万6-(x+…l)(x-2>)=55-(龙-万1.2)--97—3

...顶点坐标为(3-吵)

28

方法二：也可以用三点式设了=公2+汝+。代入三点或者顶点式设

y=a(x-g)+上代入两点求得。

(2)如图，过P点作DE_LAB于E点，由题意已知NAB0=30°。

:.PE=~PB

2

：.-PB+PD=PE+PD

2

要使PE+PO最小，只需要D、P、E共线，所以过D点作DELAB于E点，与y

轴的交点即为P点。

由题意易知，ZADE=ZAB0=30°,AD=-

2

i3n

一PB+PD=PE+PD=DE='

24

(3)①若A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，分两种情况，由题意知，AB=2,

若AB为边菱形的边，因为M为抛物线对称轴上的一点，即分别以A、B为顶点,

AB的长为半径作圆与对称轴的交点即为M点，这样的M点有四个，如图

若AB为菱形的对角线，根据菱形的性质，作AB的垂直平分线与对称轴的交点即

为M点。

综上所述，这样的M点有5个，所以对应的N点有5个。

②如图，作AB的垂直平分线，与y轴交于F点。

由题意知，AB=2,ZBAF=ZAB0=30°,ZAFB=120°

以F为圆心，AF的长为半径作圆交对称轴于M和M'点，则NAMB=NAM'B=iZ

2

AFB=60°

VZBAF=ZAB0=30°,OA=1

ZFAO=30°,AF=2\8=FM=FM',0F=—,过F点作FG_LMM'于G点，已知FG=

33

j_

2

：.MG=M'G=yjFM--FG2=—,又

623

JV39-2V3,u,,1-V39-2V3,

2626

.-V39-273,a-26

•・s，s

66

方法二设吗"，M到点F（。,-9的距离d=AF=竽也可求得。

11、如图，在平面直角坐•标系中，矩形OCDE的顶点C和E分别在y轴的正半轴

和x轴的正半轴上，0C=8,0E=17,抛物线-3x+m与y轴相交于点A,抛

物线的对称轴与x轴相交于点B,与CD交于点K.

（1）将矩形OCDE沿AB折叠，点0恰好落在边CD上的点F处.

①点B的坐标为（10、0）,BK的长是8,CK的长是10；

②求点F的坐标；

③请直接写出抛物线的函数表达式；

（2）将矩形0CDE沿着经过点E的直线折叠，点0恰好落在边CD上的点G处，

连接0G,折痕与0G相交于点H,点M是线段EH上的一个动点（不与点H重合），

连接MG,M0,过点G作GPJ_OM于点P,交EH于点N,连接0N,点M从点E开始

沿线段EH向点H运动，至与点N重合时停止，^MOG和aNOG的面积分别表示为

Si和在点M的运动过程中，S,-S2（即Si与S2的积）的值是否发生变化？若

变化，请直接写出变化范围；若不变，请直接写出这个值.

温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答.

【解答】解：（1）如图1中，①：抛物线y=-^-xJ-3x+m的对称轴x=--^-=10,

ZUNa

.•.点B坐标（10,0）,

•.•四边形OBKC是矩形，

/.CK=0B=10,KB=0C=8,

故答案分别为10,0,8,10.

②在RTZ\FBK中，VZFKB=90°,BF=OB=10,BK=0C=8,

.,.FK=7BF2-BK2=6»

/.CF=CK-FK=4,

二点F坐标(4,8).

③设OA=AF=x,

在RTAACF中，*?AC2+CF2=AF2,

(8-x)2+42=X\

x=5,

...点A坐标(0,5),代入抛物线y=-^-x2-3x+m得m=5,

...抛物线为y=^x2-3x+5.

(2)不变.S,«S2=189.

理由：如图2中，在RTZSEDG中，VGE=EO=17,ED=8,

DG-=7GE2-DE2=V172-82=15，

/.CG=CD-DG=2,

OG=7OC2+CG2=V82+22=2VT7，

VCP±OM,MH±OG,

AZNPN=ZNHG=90°,

VZHNG+ZHGN=90°,ZPNM+ZPMN=90°,ZHNG=ZPNM,

，NHGN=NNMP,

VZNMP=ZHMG,ZGHN=ZGHM,

•GH=m

.\GH2=HN«HM,

VGH=OH=V17>

.•.HN«HM=17,

2

,?S,•S2=-^•OG•HN••OG•HM=*17=289.

轴交抛物线于点D,作DE_Lx轴，垂足为E,动点M从点E出发在线段EA上以每

秒2个单位长度的速度向点A运动，同时动点N从点A出发在线段AC上以每秒

1个单位长度的速度向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运

动，设运动时间为t秒.

(1)求抛物线的解析式；

(2)设△DMN的面积为S,求S与t的函数关系式；

(3)①当MN〃DE时，直接写出t的值；

②在点M和点N运动过程中，是否存在某一时刻，使MNLAD?若存在，直接写

出此时t的值；若不存在，请说明理由.

3)2+bX(-3)+c=0

9

c=4

解得，3

c=4

即抛物线的解析式为：y=-1X2+4X+4；

y3

(2)作NHLAM于点H,如由图1所示，

•y—TXx+4,

y-j

2_

・，・对称轴x=--------二得，

2X(一卷)2

y

•.•点八(-3,0),点C(0,4),CD〃x轴交抛物线于点D,DE_Lx轴，垂足为E,

...点D(3,4),点E(3,0),0A=3,0C=4,

/.AC=5,AE=6,CD=3,

VNH1AM,AN=tME=2t,

/.△ANH^AACO,AM=6-2t,

.ANNH

**AC="CO，

即［理,得NH=O.8t,

54

••S=S梯形AECD-S/SAMN-S△DME-S^CDN

=l(3+6)X4-^-X(6-2t)X0.8t-yX2tX4-^-X3X(4-0.8t)

=0.8t2-5.2t+12,

即S与t的函数关系式是S=0.8t2-5.2t+12(0VtW3)；

(3)①当MN〃DE时，t的值是鸨，

Xo

理由：如右图2所示

VMN/7DE,AE=6,AC=5,A0=3,

.\AM=6-2t,AN=t,AAMN^AAOC,

.AMAN

AO^ACj

加6-2tt

即而，

解得，t=患；

②存在某一时刻，使MNLAD,止匕时t的值是含,

理由：如右图3所示,

设过点A(-3,0),C(0,4)的直线的解析式为y=kx+b,

-3k+b=0

则

b=4

b=4

即直线AC的解析式为y=*x+4，

VNH=0.8t,

.•.点N的纵坐标为0.8t,

将y=0.8t代入y=*x+4得x=0.6t-3,

J

.•.点N(0.6t-3,0.8t)

•.•点E(3,0),ME=2t,

.•.点M(3-2t,0),

•.•点A(-3,0),点D(3,4),点M(3-2t,0),点N(0.6t-3,0.8t),AD

±MN,

.4-00.8t-0,

"3"(-3)(0.6t-3)-(3-2t)

13、如图1,二次函数y=ax?+bx的图象过点A(-1,3),顶点B的

横坐标为1.

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)点P在该二次函数的图象上，点Q在x轴上，若以A、B、P、Q

为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；

(3)如图3,一次函数y=kx(k>0)的图象与该二次函数的图象交

于O、C两点，点T为该二次函数图象上位于直线0C下方的动点，过

点T作直线TMJ_OC,垂足为点M,且M在线段0C上(不与O、C重合)，

过点T作直线TN〃y轴交0C于点N.若在点T运动的过程中，到一为

OM

常数，试确定k的值.

【解答】解：(1)•••二次函数y=ax2+bx的图象过点A(-l,3),顶

点B的横坐标为1,

3=a-b

a=l

则有＜上解得

b=-2

2a

.,.二次函数y=x2-2x,

(2)由(1)得，B(1,-1),

VA(-1,3),

...直线AB解析式为y=-2x+l,AB=2逐，

设点Q(m,0),P(n,n2-2n)

•.•以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,

号

①当AB为对角线时，根据中点坐标公式得，则有2o，解得

n一2n

.-2~

ITF~1-加或严-1+V3

n=l+V3[n=l-V3

AP(1+遮,2)和（1-加，2）

n+1m-1