【名师一号】（学习方略）高中数学 第一章 空间几何体单元测试题 新人教A版必修2

PAGEPAGE1【名师一号】（学习方略）高中数学第一章空间几何体单元测试题新人教A版必修2(时间：120分钟总分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．正方体的外表积是96，那么正方体的体积为()A．48eq\r(6) B．16C．64 D．96答案C2．直径为10cm的一个大金属球，熔化后铸成假设干个直径为2cm的小球，如果不计损耗，可铸成这样的小球的个数为()A．5 B．15C．25 D．125解析设可铸n个小球，依体积相等，得eq\f(4,3)π×53＝n×eq\f(4,3)π×13，∴n＝125.答案D3．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括()A．一个圆台，两个圆锥 B．两个圆台，一个圆锥C．两个圆台，一个圆柱 D．一个圆柱，两个圆锥答案D4．一个几何体的三视图如下图，那么该几何体的直观图可以是()解析由三视图知，原几何体是由一个圆柱和一个圆台组成的，因此选D.答案D5．如图，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图(斜二测)，假设A1D1∥O1y1，A1B1∥C1D1，A1B1＝eq\f(2,3)C1D1＝2，A1D1＝1，那么梯形ABCD的面积是()A．10 B．5C．5eq\r(2) D．10eq\r(2)解析由直观图，知梯形ABCD是一个直角梯形，且AB＝A1B1＝2，CD＝C1D1＝3，AD＝2A1D1＝2，∴梯形ABCD的面积为eq\f(2＋3,2)×2＝5.答案B6．如图，以下四个几何体中，它们的三视图(正视图、侧视图、俯视图)有且仅有两个相同的是()A．①② B．①③C．②③ D．①④答案C7．向高为H的容器中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系如下图，那么容器的形状应该是图中的()解析由函数曲线，知水的体积随水深h的增大，体积增长的越来越快．答案D8．一个直角三角形直角边分别为3与4，以其直角边为旋转轴，旋转而成的圆锥的侧面积为()A．15π B．20πC．12π D．15π或20π答案D9．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的外表积是()A．9π B．10πC．11π D．12π解析该几何体的上部是一个球，其外表积是4π×12＝4π；下部是一个圆柱，其外表积是2π×1×3＋2π×12＝8π，那么该几何体的外表积是4π＋8π＝12π.答案D10．在棱长为1的正方体上，分别用过公共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，那么截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是()A.eq\f(2,3) B.eq\f(7,6)C.eq\f(4,5) D.eq\f(5,6)解析每一个小三棱锥的体积为eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,48).因此，所求的体积为1－8×eq\f(1,48)＝eq\f(5,6).答案D11．两个球的外表积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，这两个球的半径之差为()A．4 B．3C．2 D．1解析设两个球的半径分别为R、r，且R>r，依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4πR2－4πr2＝48π，,2πR＋2πr＝12π，))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(R2－r2＝12，,R＋r＝6，))∴R－r＝2.答案C12．某几何体的三视图如下图，那么该几何的体积为()A．16＋8π B．8＋8πC．16＋16π D．8＋16π解析由三视图知，该几何体是一个组合体，其底部是一个半圆柱，上部是一个长方体，故体积为V＝2×2×4＋eq\f(1,2)·π×22×4＝16＋8π.答案A二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．如图是一个正方体盒子的平面展开图，在其中的四个正方形内标有数字1,2,3和－3，要在其余正方形内分别填上－1，－2，使得按虚线折成正方体后，相对面上的两数互为相反数，那么A处应填________．解析将其平面展开图沿虚线复原成正方体，由右图，可看出A与2是相对面上的两数，故A处应填－2.答案－214．过圆锥高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三局部的面积之比为________．解析从上到下三个圆锥的高之比为1:2:3，∴侧面积之比为1:4:9，∴三局部面积之比为1:3:5.答案1:3:515．用相同的单位正方体搭一个几何体(如图)，其正视图(从正面看到的图形)、俯视图(从上面看到的图形)和侧视图(从左面看到的图形)分别如下：那么该几何体的体积为________．解析由几何体的三视图，知该几何体由6个单位正方体构成．答案616．已知一个圆台的下底面半径为r，高为h，当圆台的上底半径r′变化时，圆台体积的变化范围是________．解析当r′→0时，圆台趋近于圆锥．而V圆锥＝eq\f(1,3)πr2h，当r′→r时，圆台趋近于圆柱，而圆柱V圆柱＝πr2h.因此，当r′变化时，圆台的体积的变化范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)πr2h，πr2h)).答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)πr2h，πr2h))三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)如下图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F依次是AB，AC的中点，AD⊥BC，EH⊥BC，FG⊥BC，D，H，G为垂足，假设将△ABC绕AD旋转180°，求阴影局部形成的几何体的外表积．解几何体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的，∵S锥表＝πR2＋πRl＝4π＋8π＝12π，S柱侧＝2πrl＝2π·DG·FG＝2eq\r(3)π，∴所求几何体的外表积为S＝S锥表＋S柱侧＝12π＋2eq\r(3)π＝2(6＋eq\r(3))π.18．(12分)一个正三棱柱的三视图如下图，求这个正三棱柱的外表积．解由三视图知正三棱柱的高为2mm，由侧视图知正三棱柱的底面正三角形的高为2eq\r(3)mm.设底面边长为a，由三角形的面积相等，得eq\f(\r(3),2)a＝2eq\r(3).∴a＝4.∴正三棱柱的外表积S＝S侧＋2S底＝3×4×2＋2×eq\f(1,2)×4×2eq\r(3)＝8(3＋eq\r(3))(mm)2.19．(12分)已知圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，母线长为l，试证明圆台的侧面积公式为：S圆台侧面积＝π(r＋R)l，外表积公式为S＝π(R2＋r2＋Rl＋rl)．证明把圆台复原成圆锥，并作出轴截面，如图：设AB＝x，BC＝l，∵△ABF∽△ACG.∴eq\f(r,R)＝eq\f(x,x＋l)，∴x＝eq\f(rl,R－r).∴S圆台侧＝S扇形ACD－S扇形ABE＝eq\f(1,2)·2πR(x＋l)－eq\f(1,2)·2πr·x＝πRl＋π(R－r)·eq\f(rl,R－r)＝π(R＋r)l∴S圆台外表积＝π(R＋r)l＋πR2＋πr2＝π(Rl＋rl＋R2＋r2)．20．(12分)侧棱垂直底面的棱柱叫直棱柱．已知底面是菱形的直棱柱，它的体对角线分别为9和15，高是5，求这个棱柱的侧面积．解设底面两条对角线的长分别为a，b，那么有a2＋52＝92，b2＋52＝152，∴a＝eq\r(56)，b＝10eq\r(2).∴菱形的边长x＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)))2)＝8.∴S侧＝4x×5＝4×8×5＝160.21．(12分)如图，BD是正方形ABCD的对角线，的圆心是A，半径为AB，正方形ABCD以AB为轴旋转一周，求图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三局部旋转所得旋转体的体积之比．解把题图中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ局部分别绕直线AB旋转所得旋转体体积分别记为VⅠ，VⅡ，VⅢ，并设正方形的边长为a.因此，VⅠ＝eq\f(1,3)πa2·a＝eq\f(π,3)a3，VⅡ＝eq\f(1,2)·eq\f(4,3)πa3－VⅠ＝eq\f(π,3)a3，VⅢ＝πa2·a－VⅠ－VⅡ＝eq\f(π,3)a3，∴VⅠ：VⅡ：VⅢ＝1：1：1.22．(12分)一几何体按比例绘制的三视图如下图(单位：m)．(1)试画出它的直观图；(2)求它的外表积和体积．解(1)直观图如下图．(2)由三视图可知该几何体是长方体被截取一个角，且该几何体的体积是以A1A，A1D1，A1B1为棱的长方体的体积的eq\f(3,4).在直角梯形AA1B1B中，作BE⊥A1B1