数字电路第2章-逻辑代数

第2章逻辑代数一、逻辑函数的相等1、定义：设有两个逻辑函数

F=f(x1,x2,…xn)G=g(x1,x2,…xn)其变量都为x1,x2,…xn，如果对应于变量x1,x2,…xn的任何一组变量取值，F，G的值都相等，则称这两个函数相等，记为F=G。2、判断逻辑函数是否相等的方法（1）列出输入变量的所有可能的取值组合，并按逻辑运算规则计算出在各种输入取值下两个函数的相应值，并进行比较。（2）利用逻辑代数的定理、定律和规则进行证明。一、逻辑函数的相等它们的真值表完全相同，所以F和G是相等的。二、关于逻辑函数的书写乘运算规则:加运算规则:三、逻辑代数的基本定律和恒等式非运算规则:0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10•0=00•1=01•0=01•1=1A＝AA•0=0A•1=AA•A=AA•A=00=11=0A+0=A，A+1=1，A+A=A，A+A=11、基本关系交换律:A+B=B+A

AB=BA结合律:

A+B+C=(A+B)+C=A+(B+C)

ABC=(AB)C=A(BC)2.逻辑代数运算规律三、逻辑代数的基本定律和恒等式分配律:A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)证明:右边=(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC;分配律=A+AB+AC+BC;结合律,AA=A=A(1+B+C)+BC;结合律=A•1+BC;1+B+C=1=A+BC;A•1=1=左边2.逻辑代数运算规律三、逻辑代数的基本定律和恒等式吸收律：原变量吸收规则:反变量吸收规则:A+AB=A+BA+AB=A+B注:红色变量被吸收掉！A+AB=A+AB+AB=A+(A+A)B=A+1•B;A+A=1=A+BA+AB=A证明:2.逻辑代数运算规律三、逻辑代数的基本定律和恒等式吸收律:AB+AC+BC=AB+AC+(A+A)BC=AB+AC+ABC+ABC=AB(1+C)+AC(1+B)=AB+ACAB+AB=AAB+AC+BC=AB+AC证明:2.逻辑代数运算规律三、逻辑代数的基本定律和恒等式反演律（摩根定理）A•B=A+B

A+B=A•B用真值表证明ABA•BA+B1110000110111110证明:2.逻辑代数运算规律三、逻辑代数的基本定律和恒等式3.关于“异或”运算的一些公式三、逻辑代数的基本定律和恒等式1、代入规则对逻辑等式中的任意变量A，若将所有出现A的位置都代之以同一个逻辑函数，则等式仍然成立。 例：若：A(B+C)=AB+ACC→C+D

则：A[B+(C+D)]=AB+A(C+D)意义：利用这条规则和现有的等式，可以推出更多的等式，而无需证明。四、逻辑代数的基本规则2、反演规则对于任何一个逻辑函数F，若将F表达式中所有的“·”和“+”互换，“0”和“1”互换，原变量和反变量互换，并保持运算优先顺序不变，则可得到F的反函数。注意：①反演规则的意义在于利用它求一个函数的反函数。

②运用反演规则时，不是一个变量上的反号应该保留。

③变换时，应注意先“与”后“或”，先括号内后括号外的顺序。四、逻辑代数的基本规则3、对偶规则对于任何一个逻辑函数F，若将F表达式中所有的“·”和“+”互换，原变量和反变量不变，并保持运算优先顺序不变，则所得到新的函数称为函数F的对偶函数F'。例：四、逻辑代数的基本规则若称函数为自对偶函数例：3、对偶规则注意：转换时应先“与”后“或”，先括号内后括号外的顺序。对偶规则：当某逻辑恒等式成立时，其对偶式的等式也成立。互为对偶原理：(Z')'=Z四、逻辑代数的基本规则五、逻辑函数的代数化简法1、逻辑函数的基本形式（1）“与—或”表达式（积之和）单个逻辑变量进行“与”运算构成的项称为“与项”，由“与项”进行“或”运算构成的表达式称为“与—或”表达式。例：（2）“或—与”表达式（和之积）单个逻辑变量进行“或”运算构成的项称为“或项”，由“或项”进行“与”运算构成的表达式称为“或—与”表达式。例：2、化简的意义 （1）节省器材； （2）提高了工作的可靠性；3、最简的概念

（1）“与或”表达式化简的意义①任何一个表达式都不难展开成“与或”表达式；②从一个最简的“与或”表达式可以比较容易地得到其他类型的最简式。（2）最简“与或”表达式

①“与”项的个数最少；

②每个“与”项中的因子数最少；五、逻辑函数的代数化简法3、最简的概念

（3）举例：试证明下面两式具有相同的逻辑功能，并比较它们的逻辑图。++即Z1、Z2具有相同的逻辑功能五、逻辑函数的代数化简法例1：反变量吸收提出AB=1提出A五、逻辑函数的代数化简法Y=A

B=AB+AB=A•A•B•B•A•B右边=A•A•B+B•A•B;AB=A+B=A•A•B+B•A•B;A=A=A•(A+B)+B•(A+B);AB=A+B=A•A+A•B+B•A+B•B;展开

=0+A•B+A•B+0=A•B+A•B=左边

结论:异或门可以用4个与非门实现例2:证明五、逻辑函数的代数化简法Y=A

B=AB+AB=A•A•B•B•A•B&&&&ABY11&&≥1AB异或门可以用4个与非门实现五、逻辑函数的代数化简法例3Y=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC将化简为最简逻辑代数式。=AB(C+C)+ABC+AB(C+C)=AB+ABC+AB=(A+A)B+ABC=B+BAC;A+AB=A+B=B+AC；C+C=1Y=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC五、逻辑函数的代数化简法例4将Y化简为最简逻辑代数式。

Y=AB+(A+B)CD解：Y=AB+(A+B)CD=AB+(A+B)CD=AB+ABCD=AB+CD;利用反演定理;将AB当成一个变量,利用公式A+AB=A+B；A=A五、逻辑函数的代数化简法（1）并项法（2）吸收法利用A+AB=A消去多余的项4、逻辑函数的化简方法（3）消去法利用消去多余的因子4、逻辑函数的化简方法（4）配项法4、逻辑函数的化简方法小结： 用代数法化简，一开始不可能知道它的最简式，只能在简化的过程中方能够逐渐清楚。 化简步骤：首先把表达式转换成“与或”表达式，然后用较易的并项法，吸收法和消去法化简函数式，最后再考虑能否用配项法给予展开化简。 具体应用中要特别注意一个函数式作为一个变量看待时的具体变换。五、逻辑函数的代数化简法综合运用看：书Ｐ44

例2.1.7、2.1.8、2.1.91、最小项（1）定义：若n个变量组成的与项中，每个变量均以原变量或反变量的形式出现一次且仅出现一次，则称该“与项”为n个变量的最小项。例：设A，B，C是三个逻辑变量，其最小项为不是最小项的与项：AB，AC，A(B+C)，…（2）最小项的编号：把使该最小项为1的取值组合视作二进制数，则相应的十进制数作为最小项的编号。用(m)(N)10表示。六、卡诺图化简法（3）性质：①n变量的函数，最多可构成2n个最小项；②对于任意一个最小项，只有一组变量取值组合使得它的值为1，而在变量取其他各组值时，这个最小项的值均为0；③不同的最小项，使它为1的变量取值组合不同；④任意两个最小项mi和mj(i≠j)的乘积必为零，即mi·mj=0；⑤对于变量的任意一组取值，全体最小项之和为1，即：⑥n变量的每一个最小项，都有n个相邻的最小项。当两个最小项中只有一个变量不同，且这个变量分别为同一变量的原变量和反变量时，称这两个最小项为相邻的最小项。1、最小项六、卡诺图化简法2）一个逻辑函数的标准“与—或”式是唯一的。3）任何一个逻辑函数都可表示成为标准“与—或”式。其方法如下：代数法：①将函数表示成为一般的“与—或”式；2、逻辑函数的标准形式（1）标准“与—或”式1）由最小项相“或”构成的逻辑表达式，称为标准“与—或”式。②反复利用X=X(Y+)，将表达式中所有非最小项的“与”项扩展成为最小项。六、卡诺图化简法2、逻辑函数的标准形式（1）标准“与—或”式六、卡诺图化简法2、逻辑函数的标准形式（1）标准“与—或”式六、卡诺图化简法2、逻辑函数的标准形式（1）标准“与—或”式真值表法：将在真值表中，输出为1所对应的最小项相加，即为标准“与—或”式六、卡诺图化简法3、卡诺图的引出及特点

将真值表或逻辑函数式用一个特定的方格图表示，称为卡诺图。1、构成：卡诺图是将代表最小项的小方格按相邻原则排列而成的平面方格图。2、画法（1）基本原则：在相邻方格中填入相邻的最小项。（2）画法：折叠展开法六、卡诺图化简法卡诺图的画法：（一输入变量）3、卡诺图的引出及特点Am0m101A01（二输入变量）320132ABAB00011110三、卡诺图化简法卡诺图的画法：（二输入变量）ABY0010111011103、卡诺图的引出及特点AB1110三、卡诺图化简法

01324576卡诺图的画法：（三输入变量）3、卡诺图的引出及特点2130AB4ABC若为3变量：Z=Z（A，B，C）三、卡诺图化简法卡诺图的画法：（三输入变量）3、卡诺图的引出及特点若为3变量：Z=Z（A，B，C）AABC0001111001三、卡诺图化简法F(A,B,C)=m(1,2,4,7)ABC0001111001ABCF00000011010101101001101011001111ABC00011110010

1

0

1

10

1

0

3、卡诺图的引出及特点三、卡诺图化简法卡诺图的画法：3、卡诺图的引出及特点若为4变量：Z=Z（A，B，C，D）

01324576812三、卡诺图化简法00011110ABCD00011110四变量卡诺图单元格的编号ACBD三、卡诺图化简法ABCDF0000100010001010011001000010100110101111ABCDF1000010011101011011011000110111110111111F(A,B,C,D)=m(0,2,6,7,9,10,13,14,15)ABCD0001111000011110三、卡诺图化简法3、卡诺图的引出及特点3、卡诺图的构造特点（1）n个变量的卡诺图由2n个小方格组成，每个小方格代表一个最小项；方格内标明的数字，就是所对应的最小项的编号。（2）卡诺图上处在相邻、相对、相重位置的小方格所代表的最小项为相邻最小项。（3）整个卡诺图总是被每个变量分成两半，原变量和反变量各占一半，任一个原变量和反变量所占的区域又被其他变量分成两半。三、卡诺图化简法4、卡诺图的填法（1）已知真值表填卡诺图：在其相应的小方格中填入0或1。00101111CBA三、卡诺图化简法4、卡诺图的填法（2）已知逻辑函数填卡诺图：先将函数化为标准“与或”式，再填入图中。在卡诺图上找出和表达式中最小项对应的小方格填1，其余小方格填0(或以空白代替0)即可得到。例如：F(A,B,C,D)=∑m(0,6,10,13,15)

01100001CBA

10000001D

111CBA

11D三、卡诺图化简法4、卡诺图的填法（3）未用最小项表达的逻辑函数的卡诺图对与或表达式表示的函数，可按照卡诺图上与的公共性、或的叠加性、非的否定性作出相应卡诺图；对某一“与”项按顺序对各个变量在图中找对应的方格区，各方格区的重合方格，即为该“与”项所对应的方格，然后再选加其他“与”项，相重的不再写1。

CBA

D111111111111化简的依据卡诺图直观、清晰反映了最小项的相邻关系。根据并项定理，任意两个相邻项可以合并为一项，合并后消去互补变量。三、卡诺图化简法5、用卡诺图化简逻辑函数三、卡诺图化简法5、用卡诺图化简逻辑函数化简的方法（1）填好卡诺图；（2）合并最小项；根据相邻原则，画卡诺圈，并写出每个圈的“与”项。（3）将每个圈的“与”项相加，即得到简化后的逻辑表达式；说明：·卡诺圈中小方格的个数必须为2m个，m为小于或等于n的整数；·当m＝n时，卡诺圈包围了整个卡诺图，可用1表示，即n个变量的全部最小项相或为1。如果有2n个最小项相邻（n＝1，2，…），并排列成一个矩形组，则它们可以合并为一项，并消去n对因子。合并后的结果中仅包含这些最小项的公共因子。1、两个最小项相邻，可合并为一项并消去一对因子。三、卡诺图化简法5、用卡诺图化简逻辑函数2、四个最小项相邻成矩形组，可合并为一项并消去两对因子。3、八个最小项相邻成矩形组，可合并为一项并消去三对因子。结论：2k个最小项相邻（k=1，2，3…）并排列成一个矩形组（方格群），则它们可合并为一项，消去k对因子，只保留公共因子（即相同的因子）。若k=n，则Y=1三、卡诺图化简法5、用卡诺图化简逻辑函数画卡诺圈的原则

·在覆盖所有1方格的前题下，卡诺圈的个数应尽可能少。因为卡诺圈个数越少，函数表达式中的与项数目越少；

·在满足合并规律的前题下，卡诺圈应尽可能大。因为卡诺围中包含的最小项越多，相应与项所含的变量数越少；

·每个1方格至少被一个卡诺圈包围，根据需要也可以被多个卡诺圈包围。

·圈的形状可以是长方形或正方形，不能是其他形状；

·画圈的次序是“先大后小”

·消去的是相邻方格中取值不同的变量，一个包围2m个方格的卡诺图，可以消去m个变量。三、卡诺图化简法1111ACBACBCABF=AC+BC+AB三、卡诺图化简法ACBD11111111BC三、卡诺图化简法ACBD1111111111四个角为相邻的方格。三、卡诺图化简法函数的最简“与或”式不一定是唯一的。ACBD1111111三、卡诺图化简法若卡诺图中各小方格被1占去了大部分，这时采用包围0的方法化简更简单，即先求出非函数，再对非函数求非，得到F。ACBD1111111011101111三、卡诺图化简法利用卡诺图将函数化简成“或与”表达式。用卡诺图求函数的最简或与表达式通常有两种不同的处理方法。一种方法是作出函数F的卡诺图，合并卡诺图上的0方格，求出的最简