高中数学必修4第二章平面向量从力做功到数量积

北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》从力做的功到平面向量的数量积一、教学目标：1.知识与技能：（1）通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义.（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系.（3）掌握平面向量数量积的运算律和它的一些简单应用.（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.2.过程与方法：教材利用同学们熟悉的物理知识（“做功”）得到向量的数量积的含义及其物理意义、几何意义.为了帮助学生理解和巩固相应的知识，教材设置了4个例题；通过讲解例题，培养学生逻辑思维能力.3.情感态度价值观：通过本节内容的学习，使同学们认识到向量的数量积与物理学的做功有着非常紧密的联系；让学生进一步领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的数量积，有助于激发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神.二.教学重、难点:重点:向量数量积的含义及其物理意义、几何意义；运算律.难点:运算律的理解三.学法与教法(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.四.教学过程一、知识复习数量积的坐标公式：a

b

x1

x2

y1

y2其中：

a

(x1

,

y1

),

b

(x2

,

y2

)规定:0

a

01、数量积的定义：a

b

|

a

||

b

|

cos

其中：a

0,b

0

是a和b的夹角,范围是0

注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量.2、数量积的几何意义：b

cos

的乘积.数量积a

b等于a的长度a

与b在a的方向上的投影数量可用公式计算:3、数量积的物理意义：F

SF

cos

如果一个物体在力F的作用下产生位移s,那么力F所做的功WW

F

S

|

F

||

S

|

cos

ab

|

b

|

cos

BAOa

b

a

b

cos

a

b

b

aa

b

b

a

cos

设a,b是两个非零向量

2

.当a与b同向时,a

b

a

b

;当向量a与b反向时,a

b

a

b2特别地,

a

a

a

或a

a

a用于计算向量的模设a

x,

y

,则a

x2

y2a

b

3

.cos

a

b

.221

11

2

1

2x2

2

x2

22

21

1,

b

x

,

y

,则cos

设a

x

,y

y

y

x

x

y

y

用于计算向量的夹角

4

.

a

b

a

b如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为

x1,y1

,

x2

,y2

,那么22

21

2

1a

x

x

y

y

.这就是平面内两点间的距离公式4、数量积的主要性质及其坐标表示：

1

a

b

a

b

0

当a

0时,a

b

0,不能推出b

0内积为零是判定两向量垂直的充要条件设非零向量a

x1,y1

,b

x2

,y2

,则a

b

x1x2

y1

y2

022

22212121

21

2x

y

x

y

证明柯西不等式特例:

x

x

y

y

5、数量积的运算律：⑴交换律：a

b

b

a⑵对数乘的结合律：(

a)

b

(a

b)

a

(

b)⑶分配律：(a

b)

c

a

c

b

c注意：数量积不满足结合律即:(a

b)

c

a

(b

c)1.有四个式子:

1

0

a

0,

2

0

a

0,

3

a

b

a

c

b

c,二、基础训练题

4

a

b

a

b

,

其中正确的个数为:

DA.

4个

B.3个

C.

2个

D.1个2.已知a,

b均为单位向量,下列结论正确的是:

BA.a

b

12

2B.a

b

C.a平行b

a

bD.a

b

03.设向量a

x1

,y1

,b

x2

,y2

,有下列命题:

1

a

2

b2

其中假命题序号是:⑵1

2

y

y

022

2

1

2

1

2

1

2

y

,

3

a

b

x

x

y

y

,

4

a

b

x

xx21

1

y

,x2

24.若a

0,1

,b

1,1

且

a

b

a,则实数

的值是A．-1

B.0

C.1

D.2（A）解:

1

因为AD与BC平行且方向相同,

AD与BC的夹角为0

.

AD

BC

AD

BC

cos

0

3

3

1

9

2

.

AB与CD平行,且方向相反

AB与CD的夹角是180

AB

CD

AB

CD

cos180

4

4

1

161

6

2

AB

DA

AB

DA

cos120

4

3

三、典型例题分析进行向量数量积计算时,既要考

虑向量的模,又

要根据两个向量

方向确定其夹角。进行向量数量积计算时,既要考虑向量的模,又要根据两个向量

3

.

AB与AD的夹角是60

,

AB与DA的夹角是120

方向确定其夹角。2或AD

BC

AD

92或AB

CD

AB

16例1、如图,在平行四边形ABCD中,已知AB

4,AD

3,

DAB

60

,求:

1

.AD

BC

2

.AB

CD

3

.AB

DABA120

CD60

两个向量的数量积是否为零,是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一.使

k

a

b

a

2b

例2、

已知a

5,

b

4,且a与b夹角为60

,问k为何值时,解:

k

a

b

a

2b

k

a

b

a

2b

0

ka

2k

1

a

b

2b

02

2k

25

2k

1

5

4

cos

60

2

16

015解得:k

1415所以当k

14

时,

k

a

b

a

2b

2

2a

b

b

42

2

a

b

4

2a

b

4

2

2

8

2222

2

2

2122

2a

b

a

b

AOBa

b

a

b

cos2

S

1

OA

OB

sin

1

a

b

1

cos2

2

2a

b

42

12

12

2

2a

b当且仅当a

b

2时,S有最大值,此时cos

a

b

60

注意两个向量夹角的取值范围16

4

3222

122

4

1

2

12

a

b

a

b

cos

a

b

0

180

求a与b的夹角

解:因为a

b

2,所以a2例3、已知OA

a,OB

b,a

b

a

b

2,当

AOB的面积有最大值时,OABab

22

2

1

x

2

1

x

0x

y2

1

1

2

1

x

2

1

x

x

0

x2

y2

3即所以点P的横坐标的取值范围为0

x

3PM

PN

,NM

NP公差小于零的等差数列,求点P的横坐标的取值范围?解:记P

x,y

,由M

1,0

,N

1,0

得PM

1

x,

y

,

PN

1

x,

y

,

MN

2,0

MP

MN

2

1

x

,

PM

PN

x2

y2

1,

NM

NP

2

1

x

,于是MP

MN,PM

PN,NM

NP是公差小于零的等差数列等价于例4.

已知两点M

1,0

,N

1,0

,且点P使MP

MN,小结本节课主要复习了平面向量数量积定义、性质、运算律、几何意义及其在物理学上的应用。利用平面向量的数量积运算来解决一些实际问题.四、作业布置1.已知a

1,

b

4,

a

b

a

0,则a与b的夹角是:2

2A.90

B.60

C.120

D.150

已知a

3,

b

5,且a

b

12,则b在a的方向上投影为

已知向量x与a

2,

1

共线,且a

x

18,则x的坐标为

已知a与b的夹角为30

且a

3,

b

1,

求向量p

a

b与q

a

b的夹角的余弦.已知平面四边形ABCD中,AB

a,BC

b,CD

c,DA

d

,且a

b

b

c

c

d

d

a,试判断四边形ABCD的形状特征.若a

cos

,sin

,b

cos

,sin

,且k

a

b

3

a

kb

k

0

1

用k表示数量积a

b

2

求a

b的最小值,并求此时a与b的夹角

.0PM

PN

4

x

cos

PM

PN

1

2

0

2014

x

sin

1

cos2

1

02