专题47向量法求距离探索性及折叠问题（原卷版）

专题47向量法求距离、探索性及折叠问题知识梳理考纲要求考点预测方法技巧题型归类题型一：利用向量法求距离题型二：立体几何中的探索性问题题型三：折叠问题培优训练训练一：训练二：训练三：强化测试单选题：共8题多选题：共4题填空题：共4题解答题：共6题一、【知识梳理】【考纲要求】1.会求空间中点到直线以及点到平面的距离.2.以空间向量为工具，探究空间几何体中线、面的位置关系或空间角存在的条件．【考点预测】1．点到直线的距离如图，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设eq\o(AP,\s\up6(→))＝a，则向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(a·u)u，在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝eq\r(|\o(AP,\s\up6(→))|2－|\o(AQ,\s\up6(→))|2)＝eq\r(a2－a·u2).2．点到平面的距离如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是eq\o(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量eq\o(QP,\s\up6(→))的长度，因此PQ＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AP,\s\up6(→))·\f(n,|n|)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AP,\s\up6(→))·n,|n|)))＝eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|).【方法技巧】1.向量法求点到直线距离的步骤①根据图形求出直线的单位方向向量v.②在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量eq\o(MN,\s\up6(→)).③垂线段长度d＝eq\r(\o(MN,\s\up6(→))2－（\o(MN,\s\up6(→))·v）2).2.求点到平面的距离的常用方法①直接法：过P点作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离.②转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求.③等体积法.④向量法：设平面α的一个法向量为n，A是α内任意点，则点P到α的距离为d＝eq\f(|\o(PA,\s\up6(→))·n|,|n|).3.折叠问题中的平行与垂直关系的处理关键是结合图形弄清折叠前后变与不变的关系，尤其是隐含的垂直关系.一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一平面上的性质发生变化.4.由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心展开，这是解决空间垂直问题的技巧.二、【题型归类】【题型一】利用向量法求距离【典例1】已知棱长为1的正方体ABCD－EFGH，若点P在正方体内部且满足eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AE,\s\up6(→))，则点P到AB的距离为________.【典例2】如图，四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB＝eq\f(1,2)CD＝1，E为PC的中点.(1)证明：BE∥平面PAD.(2)若AB⊥平面PBC，△PBC是边长为2的正三角形，求点E到平面PAD的距离.【典例3】如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长均为4，N是CC1的中点.(1)求点N到直线AB的距离；(2)求点C1到平面ABN的距离.【题型二】立体几何中的探索性问题【典例1】已知正方体ABCD－A1B1C1D1，点E为A1D1中点，直线B1C1交平面CDE于点F.(1)求证：点F为B1C1的中点；(2)若点M为棱A1B1上一点，且二面角M－CF－E的余弦值为eq\f(\r(5),3)，求eq\f(A1M,A1B1)的值．【典例2】如图，三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，B1C＝eq\r(6)，AB⊥B1C.(1)求证：平面ABB1A1⊥平面ABC；(2)在棱BB1上是否存在点P，使直线CP与平面ACC1A1所成角的正弦值为eq\f(4,5)，若不存在，请说明理由；若存在，求BP的长．【典例3】如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的eq\r(2)倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD；(2)若SD⊥平面PAC，求平面PAC与平面DAC夹角的大小；(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．【题型三】折叠问题【典例1】如图1.梯形ABCD中，AB∥CD，过A，B分别作AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E，F.AB＝AE＝2，CD＝5，DE＝1，将梯形ABCD沿AE，BF折起，得空间几何体ADE­BCF，如图2.(1)图2中，若AF⊥BD，证明：DE⊥平面ABFE；(2)在(1)的条件下，若DE∥CF，求二面角D­AF­C的余弦值．【典例2】在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，AB＝2BC＝2CD，如图1，以DE为折痕将△ADE折起，使点A达到点P的位置，如图2.(1)证明：平面BCP⊥平面CEP；(2)若平面DEP⊥平面BCED，求直线DP与平面BCP所成角的正弦值．【典例3】图①是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图②.(1)证明：图②中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；(2)求图②中的平面BCG与平面ACG夹角的大小.三、【培优训练】【训练一】如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA＝AD＝CD＝2，BC＝3.E为PD的中点，点F在PC上，且eq\f(PF,PC)＝eq\f(1,3).(1)求证：CD⊥平面PAD；(2)求平面FAE与平面PAE夹角的余弦值；(3)设点G在PB上，且eq\f(PG,PB)＝eq\f(2,3).判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由.【训练二】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，CD⊥平面PAD，E，F，G，O分别是PC，PD，BC，AD的中点．(1)求证：PO⊥平面ABCD；(2)求平面EFG与平面ABCD夹角的大小；(3)在线段PA上是否存在点M，使得直线GM与平面EFG所成的角为eq\f(π,6)，若存在，求线段PM的长度；若不存在，请说明理由．【训练三】如图，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，沿EF将四边形EFCD折起，使二面角A­EF­C的大小为60°，点M在线段AB上．(1)若M为AB的中点，且直线MF与由A，D，E三点所确定平面的交点为O，试确定点O的位置，并证明直线OD∥平面EMC；(2)是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°；若存在，求此时二面角M­EC­F的余弦值，若不存在，说明理由．四、【强化测试】一、单选题1．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）在空间直角坐标系中，直线的方程为，空间一点，则点到直线的距离为（

）A． B．1 C． D．2．（2023·全国·高二专题练习）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是a，且，，E为的中点，则点E到直线的距离为（

）A． B． C． D．3．（2023·江西·校联考模拟预测）在空间直角坐标系中，已知，则当点到平面的距离最小时，直线与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．4．（2023·全国·高二专题练习）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P为线段BC1上的动点，则点P到直线AC的距离的最小值为（）A．1 B． C． D．5．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）在空间直角坐标系中，已知，，则当点A到平面BCD的距离最小时，直线AE与平直BCD所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．6．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）如图，长方体中，点E，F分别是棱，上的动点（异于所在棱的端点）.给出以下结论：①在F运动的过程中，直线能与AE平行；②直线与EF必然异面；③设直线AE，AF分别与平面相交于点P，Q，则点可能在直线PQ上.其中所有正确结论的序号是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③7．（2022·高二课时练习）如图，已知正方体中，F为线段的中点，E为线段上的动点，则下列四个结论：①存在点E，使；②存在点E，使平面；③EF与所成的角不可能等于60°；④三棱锥的体积随动点E的变化而变化．其中正确结论的个数是（

）A．4 B．3 C．2 D．18．（2022秋·高二课时练习）在棱长为2的正方体中，M，N两点在线段上运动，且，给出下列结论：①在M，N两点的运动过程中，⊥平面；②在平面上存在一点P，使得平面；③三棱锥的体积为定值；④以点D为球心作半径为的球面，则球面被正方体表面所截得的所有弧长和为．其中正确结论的序号是（

）A．①②③ B．①③④ C．②④ D．②③④二、多选题9．（2023·福建厦门·统考模拟预测）如图，在棱长为1的正方体中，点满足，其中，则（

）A．B．当时，有且仅有一个点，使得平面C．当时，有且仅有一个点，使得D．当时，三棱锥的体积为定值10．（2023春·山东枣庄·高一校考阶段练习）如图，在正四棱柱中，，，点在棱上，且，点在上底面运动，则下列结论正确的是（

）A．存在点使B．不存在点使平面平面C．若，，，四点共面，则的最小值为D．若，，，，五点共球面，则的最小值为11．（2023·全国·高二专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的动点，则下列说法正确的是（

）A．不存在点，使得B．存在点，使得C．对于任意点，到的距离的取值范围为D．对于任意点，都是钝角三角形12．（2023·福建宁德·校考模拟预测）在正方体中，分别为的中点，则（

）A．直线与直线垂直B．点与点到平面的距离相等C．直线与平面平行D．与的夹角为三、填空题13．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考模拟预测）在空间直角坐标系中，一四面体的四个顶点坐标分别为，则其体积为．14．（2023·河北沧州·统考三模）在空间直角坐标系中，已知，，，，，则当点A到平面BCD的距离最小时，直线AE与平面BCD所成角的正弦值为.15．（2023春·高二单元测试）正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，E为AB的中点，点F满足，动点M在侧面AA1D1D内运动，且MB∥平面D1EF，则|MD|的取值范围是．16．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）斜三棱柱中，平面平面，若，，，在三棱柱内放置两个半径相等的球，使这两个球相切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切，则三棱柱的高为．四、解答题17．（2023·全国·高二专题练习）图①是直角梯形，，，四边形是边长为的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且.(1)求证：平面平面；(2)在棱上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出直线与平面所成角的正弦值；若不存在，请说明理由.18．（2023·天津北辰·校考模拟预测）在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且.(1)求证：平面；(2)求直线PB与平面所成角的正弦值；(3)求点到PD的距离.19．（2023·全国·高二专题练习）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为的正三角形，平面平面，．(1)求证：平行四边形为矩形；(2)若为侧棱的中点，且平面与平面所成角的余弦值为，求点到平面的距离．20．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）如图，在四面体中，．点为棱上的点，且，三