2024届湖南省衡阳市衡阳县第二中学高三上学期第二次半月考数学试题（解析版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第Page\*MergeFormat1页共NUMPAGES\*MergeFormat21页2024届湖南省衡阳市衡阳县第二中学高三上学期第二次半月考数学试题一、单选题1．在直三棱柱中，，，，M是的中点，以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，若，则异面直线与夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，根据，求得，再利用向量法求解即可.【详解】解：设，则，，因为，所以，解得，故，，则，所以异面直线与夹角的余弦值为.故选：A.2．康托（Cantor）是十九世纪末二十世纪初德国伟大的数学家，他创立的集合论奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间［0，1］均分为三段，去掉中间的区间段，当记为第一次操作；再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作：…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使“康托三分集”的各区间长度之和小于，则需要操作的次数n的最小值为（

）（参考数据：）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】根据题意找到每次去掉区间长度的规律，利用等比数列的前项和公式求出进行次操作后去掉的区间总长度，再列出不等式，利用对数的运算律求解.【详解】第一次操作去掉区间长度为；第二次操作去掉两个区间长度为的区间，长度之和为；第三次操作去掉四个区间长度为的区间，长度之和为；第次操作去掉个区间长度为的区间，长度之和为；于是进行次操作后去掉的区间总长度为，所以，即，所以，所以需要操作的次数n的最小值为8，故选:B.3．一箱产品中有6件正品和2件次品．每次从中随机抽取1件进行检测，抽出的产品不再放回．已知前两次检测的产品均是正品，则第三次检测的产品是正品的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】结合条件概率的定义，以及古典概型公式，即可求解.【详解】已知前两次检测的产品均是正品的前提下，还剩4件正品和2件次品，则第三次检测的产品是正品的概率.故选：A4．若过点可以作曲线的两条切线，切点分别为，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】设切点，根据导数的几何意义求得切线方程，再根据切线过点，结合韦达定理可得的关系，进而可得的关系，再利用导数即可得出答案.【详解】设切点，则切线方程为，又切线过，则，有两个不相等实根，其中或，令或，当时，，当时，，所以函数在上递增，在上递减，，，当时，，当时，，所以，即.故选：D.5．已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据补集的运算求出，再由并集的运算可得答案.【详解】因为，所以，因为，所以．故选：B．6．已知集合，，若，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求得，结合，得到，根据集合并集的运算，即可求解.【详解】由集合，因为，可得，所以.故选：C.7．已知平面α的一个法向量，点在α内，则到α的距离为（

）A．10 B．3C． D．【答案】D【分析】由向量的坐标运算得，再由平面的距离即可求解.【详解】由题意，得，又知平面的一个法向量，则到平面的距离，故选：D.8．下列命题不正确的是（

）A．若向量满足，则为平行向量B．已知平面内的一组基底，则向量也能作为一组基底C．模等于个单位长度的向量是单位向量，所有单位向量均相等D．若是等边三角形，则【答案】C【分析】由平行向量定义判断A，根据基底的定义判断B，由相等向量的定义判断C，由向量夹角的定义判断D.【详解】对于A，因为，所以当为零向量时，，是平行向量，当不是零向量时，，也是平行向量，A正确；对于B，为一组基底，不共线，假设共线，则，所以，所以，矛盾，所以不共线，所以可以作为一组基底，B正确；对于C，虽然单位向量模长相等，但方向可以不同，故不是所有单位向量均相等，C错误；对于D，为等边三角形，，D正确.故选：C.9．已知正三棱柱的棱长均为，是侧棱的中点，则平面与平面的夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式结合特殊角的三角函数值求解即可．【详解】解：以点为坐标原点，以垂直于的直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系如图所示，因为是各棱长均等于的正三棱柱，是侧棱的中点，所以，故，，设平面的法向量为，则，即，令，则，，故，又平面的一个法向量为，所以，所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．故选：B．10．设是定义域为的偶函数，且，当时，，若函数有3个不同的零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由已知得函数的对称轴为，当时，所以，当时，所以，令，得，将问题转化为与有3个交点，作出图象如下图所示，利用一次函数与二次函数的位置关系，联立，运用根的判别式等于0，求解可得答案.【详解】解：因为函数满足，所以函数的对称轴为，又是定义域为的偶函数，当时，，所以当时，，且，所以当时，所以，当时，所以，令，得，则将函数有3个不同的零点，转化为与有3个交点，作出图象如下图所示，联立，整理得，则，解得（舍去），联立，整理得，则，解得（舍去），所以要使与有3个交点，所以，故选：A.11．函数的图像大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用时排除选项D，利用时排除选项C，利用时排除选项B，所以选项A正确.【详解】函数的定义域为当时，，可知选项D错误；当时，，可知选项C错误；当时，，可知选项B错误，选项A正确.故选：A12．中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地.茶的发现和利用已有四千七百多年的历史，且长盛不衰，传遍全球.为了弘扬中国茶文化，某酒店推出特色茶食品“金萱排骨茶”，为了解每壶“金萱排骨茶”中所放茶叶量x（单位：克）与食客的满意率y的关系，通过调查研究发现选择函数模型来拟合y与x的关系，根据以下数据：茶叶量x/克123454.344.364.444.454.51可求得y关于x的回归方程为（

）（附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，）A． B．C． D．【答案】B【分析】直接根据线性回归方程的公式，并对等式两边同时取对数转换为关于与的线性关系，进而拟合y与x的关系【详解】对等式两边同时取对数，可得：易知：，则综上，可得：又有：可得：故选：B13．已知是奇函数，且满足，当时，，当时，的最大值为，则（

）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】由，再结合是奇函数，通过赋值法，可得，即可求得时的的表达式，求导找到的最大值，利用已知条件，最大值为，即可解得的值.【详解】因为，即，当时，，则，，由得，，所以当时递增，当时递减，所以最大值为，所以得.故选：A【点睛】求函数最值常用方法，先确定函数的单调性，再由单调性求最值.14．在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为线段AB，BC的中点，连接DE，DF，EF，将ADE，CDF，BEF分别沿DE，DF，EF折起，使三点重合，得到三棱锥O-DEF，则该三棱锥外接球的表面积为（

）A．3 B． C．6 D．24【答案】C【分析】由三棱锥外接球即以OD，OE，OF为棱的长方体外接球求解.【详解】解：在正方形ABCD中，，，，折起后OD，OE，OF两两垂直，故该三棱锥外接球即以OD，OE，OF为棱的长方体外接球.因为OD=2，OE=1，OF=1，所以=，所以，所以该三棱锥外接球的表面积为，故选：C.15．德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响．他幼年时就表现出超人的数学天才，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列，则（

）A．96 B．97 C．98 D．99【答案】C【分析】令，利用倒序相加原理计算即可得出结果.【详解】令，，两式相加得：，∴，故选:C．二、多选题16．，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题中错误的是（

）A．若，，，则B．若，，，则C．若，，则D．若，，则【答案】ABC【分析】根据线面垂直的定义和性质，结合面面平行的性质逐一判断即可.【详解】对于A，若，，，则或与斜交或与平行，该命题错误；对于B，若，，，则或与异面，该命题错误；对于C，若，，则或与斜交或与平行，该命题错误；对于D，若，，由线面垂直的性质可知，该命题正确.故选：ABC．17．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作x轴的垂线与双曲线交于A，B两点，若为直角三角形，则（

）A．B．双曲线的离心率C．双曲线的焦距为D．的面积为【答案】BD【分析】画图分析，由双曲线的相关性质计算判断即可.【详解】如图所示：

若为直角三角形，由双曲线的对称性可知：，且.设，则由双曲线的定义得：，.所以在直角三角形中，由勾股定理得：.解得：，所以，所以的面积为：.故D正确；，所以，故C不正确；由可知，，，所以，故A不正确；，故B正确.故选：BD.18．利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A为“是一等品”，B为“是合格品”，C为“是不合格品”，则下列结果正确的是（

）.A． B． C． D．【答案】ABC【分析】根据事件的关系及运算求解．【详解】解：由题意知A，B，C为互斥事件，故C正确；又因为从100件中抽取产品符合古典概型的条件，所以，，则，故A、B，C正确；故D错误.故选ABC.【点睛】本题考查事件的关系及古典概型的概率计算，属于基础题．三、填空题19．已知向量与的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|=.【答案】【详解】∵平面向量与的夹角为，∴.∴故答案为.点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式．(2)常用来求向量的模．20．如图，已知在矩形ABCD和矩形ABEF中，，，且二面角为，则异面直线AC与BF所成角的余弦值为．

【答案】/0.7【分析】取中点，根据二面角平面角定义可知，得到为等边三角形；根据三角形中位线性质和异面直线所成角定义可知或其补角即为所求角，结合长度关系，利用余弦定理可求得，进而得到结果.【详解】连接，，取中点，连接，

四边形为矩形，，，平面平面，平面，平面，即为二面角的平面角，，又，，，为等边三角形，；分别为中点，，，或其补角即为异面直线与所成角，，，，即异面直线与所成角的余弦值为.故答案为：.21．当时，求函数的最大值．【答案】/【分析】由基本不等式求最值．【详解】，则，，，当且仅当，即时等号成立．故答案为：．22．函数，则函数的最小正周期是，取最大值时的集合为.【答案】【解析】利用公式即可计算周期，令，即可求出取最大值时的集合.【详解】最小正周期，取最大值时，即.故答案为：；.【点睛】本题考查三角函数的性质，是基础题.23．设口袋中有白球3个，黑球若干个，从中任取2个球，设抽到的球中白球个数为个，且，则口袋中共有黑球个．【答案】4【分析】设黑球有个，分和两种情况讨论，写出的所有可能取值，求出对应概率，再根据期望公式即可得解.【详解】设黑球有个，当时，可取，则，则，故与题意矛盾，所以，当时，可取，则，，，则，解得，即口袋中共有黑球个.故答案为：.24．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，①若sinA＞sinB，则A＞B；②若sin2A＝sin2B，则△ABC一定为等腰三角形；③若，则△ABC为直角三角形；④若△ABC为锐角三角形，则sinA<cosB．以上结论中正确的有.（填正确结论的序号）【答案】①③【分析】结合三角形的性质、三角函数的性质及正弦定理，对四个结论逐个分析可选出答案.【详解】对于①，由正弦定理，所以由sinA＞sinB，可推出，则，即①正确；对于②，取，则，而△ABC不是等腰三角形，即②错误；对于③，，则，由正弦定理可得，故△ABC为直角三角形，即③正确；对于④，若△ABC为锐角三角形，取，此时，即，故④错误.故答案为：①③.【点睛】本题考查真假命题的判断，考查三角函数、解三角形知识，考查学生推理能力与计算求解能力，属于中档题.25．公比为的等比数列的各项都是正数，且，则．【答案】【详解】依题意有，，故.26．已知具有相关关系的两个变量的一组观测数据如下表所示，若据此利用最小二乘估计得到回归方程，则.34562.544.5【答案】3【分析】根据题意计算样本中心点，代入回归方程即可得到答案.【详解】解：，，所以样本中心点为：.因为回归方程，样本中心点在回归方程上，所以，解得：.故答案为：3.【点睛】本题主要考查根据样本中心点在回归方程上求参数，考查学生的计算能力，属于基础题.27．的展开式中的常数项为．【答案】112【分析】写出的通项，令的指数为0，即可求得常数项.【详解】的展开式的通项公式为，令，解得，故的展开式中的常数项为．故答案为：11228．已知，则【答案】【分析】利用诱导公式及倍角公式变形计算即可.【详解】.故答案为：.四、解答题29．如图1，在平面图形中，，，，，沿将折起，使点到的位置，且，，如图2.

(1)求证：平面平面.(2)线段上是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为?若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)线段FG上存在点M，【分析】（1）根据题意，分别证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得平面平面；（2）以为原点，建立空间直角坐标系，假设线段上存在点满足题意，令,求得平面和平面的一个法向量和，结合向量的夹角公式，列出方程，即可求解.【详解】（1）证明：因为，所以，又因为，所以，因为，且，所以四边形为等腰梯形，又因为，所以，所以，所以，即，因为，，平面AEG，所以平面，又因为平面，所以平面平面.（2）解：由，，且，平面，所以平面，因为，可得，所以平面，又由（1）知，，所以两两互相垂直，以为原点，所在的直线分别为轴、轴和轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，

因为，四边形是矩形，所以，则，，.假设线段上存在点满足题意，令,则，可得，.设平面的一个法向量为，则，取，可得