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2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2023年全国高中数学联合竞赛一试仿真模拟卷7详细解析1．2．解：当时，可知．当，时，原式等价于恒成立．故的最大值为2．2．0．解：由题意知，又，故．代入得，故解有0个．3．．解：首先知且，1．当时，，因此恒大于0．当时，若在上恒大于0，则，，因此，且，故．综上所述，．4．．解：甲有三种情况：等腰直角三角形、直角边比为的直角三角形、正三角形．一共有56种．其中等腰直角三角形有24种；直角边比为的直角三角形有24种；正三角形有8种．乙有两种情况：等腰直角三角形、正三角形．共有20种．其中正三角形有8种；等腰直角三角形有12种．因此，两三角形相似的概率为．5．．解：作点P到平面的投影，作于M，于N，则，，过作分别交于，交于．设，则，，故，．所以，由于，因此，．又，故，当且仅当P为BC中点时等号成立．6．7．解：由条件知，，则，，则，所以，当时无解，所以，所以，，，0，共有7个．7．．解：设点，则，令，则时，时，，当且仅当即时等号成立．故M点的坐标为．8．．解：由方程构造△ABC及点O，使，且，，，则，，．验证知条件成立．故，由△ABC三边长知A到BC距离为12，故（也可由海伦公式得出），因此，．9．不妨设，只需证．假设，则由知，且，则．故矛盾．10．（1）由双曲线离心率为2知，，，双曲线方程化为，设直线方程为，联立得 ． ①设，，则，．因为，所以，又，解得，．代入解得．又因为，所以，此时．代入①式，得，判别式，方程有两个不同实根．因此符合题意．故双曲线方程为．（2）设抛物线的方程为，即，与双曲线联立消去x得，由相切知判别式，解得，代入，得，解得．代入解得，，因此令，则且，要求的最小值，只需求的最小值，只需求的最小值．令，则．当时，或，当时，取得极小值．当时，，取得最小值为．11．（1）由题设知在上恒成立．当时，在上恒成立．若，则．若，取，则，矛盾．若，则取，则，矛盾．当时，取，则，由于，则，即，矛盾．当时，取，则，由于，则，即，矛盾．综上，，，．且．由于当时，的最大值为10．所以，故．函数的解析式为，则在R上的最小值为1．（2）存在实数m、n，使得对任意恒成立．

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