高中数学人教A版选修2-3课件2-1-2离散型随机变量的分布列

2.1.2离散型随机变量的分布列1.离散型随机变量的分布列(1)一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,以表格的形式表示如下:这个表格称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列.为了简单,也用等式P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n表示X的分布列.离散型随机变量的分布列还可以用图象来表示.(2)离散型随机变量的分布列具有如下性质:【做一做1】

离散型随机变量X的分布列为则m的值为(

)答案:C2.两点分布随机变量X的分布列为若随机变量X的分布列具有上表的形式,则称X服从两点分布,并称p=P(X=1)为成功概率.【做一做2】

从含有5件次品的10件产品中,任取6件,其中恰有X件次品,则事件{X=0}发生的概率是多少?提示:因为有5件次品,5件正品,所以任取6件产品至少有一件次品,事件{X=0}是不可能事件,故P(X=0)=0.

【做一做3】

设某试验成功率是失败率的2倍,用随机变量ξ去描述一次试验的成功次数,则P(ξ=0)等于

(

)解析:易知“ξ=0”表示试验失败,“ξ=1”表示试验成功,设失败率为p,则成功率为2p,ξ的分布列如下:答案:C3.超几何分布一般地,在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*.如果随机变量X的分布列具有上表的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.【做一做4】

今有电子元件50个,其中一级品45个,二级品5个,从中任取3个,出现二级品的概率为(

)答案:C探究一探究二探究三探究四思维辨析离散型随机变量的分布列例1

从装有除颜色外完全相同的6个白球,4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球,规定每取出1个黑球赢2元,而每取出1个白球输1元,取出黄球无输赢.(1)以X表示赢得的钱数,随机变量X可以取哪些值?求X的分布列;(2)求出赢钱(即X>0时)的概率.解:(1)从箱中取两个球的情形有以下6种:{2个白球},{1个白球,1个黄球},{1个白球,1个黑球},{2个黄球},{1个黑球,1个黄球},{2个黑球}.当取到2个白球时,随机变量X=-2;当取到1个白球,1个黄球时,随机变量X=-1;当取到1个白球,1个黑球时,随机变量X=1;当取到2个黄球时,随机变量X=0;当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当取到1个黑球,1个黄球时,随机变量X=2;当取到2个黑球时,随机变量X=4.所以随机变量X的可能取值为-2,-1,0,1,2,4.所以X的分布列如下:当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟求离散型随机变量的分布列的步骤(1)找出随机变量X的所有可能的取值xi(i=1,2,…),并确定X=xi的意义;(2)借助概率知识求出随机变量X取每一个值时的概率P(X=xi)=pi(i=1,2,…,n);(3)列成表格的形式.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析变式训练1袋中有1个白球和4个黑球,每次从中任取一个球,每次取出的黑球不再放回,第一次取出白球后停止,求取球次数X的分布列.解:X的可能取值为1,2,3,4,5,则

所以X的分布列是

当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析离散型随机变量的分布列的性质例2设离散型随机变量X的分布列为求2X+1的分布列.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析解:由分布列的性质知,0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,得m=0.3.列表为从而2X+1的分布列为当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析引申探究

1.若例2中条件不变,求随机变量η=|X-1|的分布列.解:由例2,知m=0.3,列表为∴P(η=1)=P(X=0)+P(X=2)=0.2+0.1=0.3,P(η=0)=P(X=1)=0.1,P(η=2)=P(X=3)=0.3,P(η=3)=P(X=4)=0.3.故η=|X-1|的分布列为当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析2.若例2中条件不变,求随机变量η=X2的分布列.解:依题意知,η的值为0,1,4,9,16.列表为从而η=X2的分布列为当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值,此时要注意检验,以保证每个概率值均为非负数.(2)求随机变量在某个范围内的概率时,根据分布列,将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可,其依据是互斥事件的概率加法公式.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析变式训练2某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数ξ的分布列为商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元.若η表示经销一件该商品的利润,求η的分布列.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析解:由题易得,η的可能取值为200元,250元,300元,则P(η=200)=P(ξ=1)=0.12,P(η=250)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.24+0.18=0.42,P(η=300)=P(ξ=4)+P(ξ=5)=0.21+0.25=0.46,所以η的分布列为当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析两点分布的应用例3

一个袋中装有除颜色外其他都相同的3个白球和4个红球.(1)从中任意摸出1个球,用0表示摸出白球,用1表示摸出红球,即X求X的分布列;(2)从中任意摸出两个球,用X=0表示“两个球全是白球”,用X=1表示“两个球不全是白球”,求X的分布列.思路分析:两问中X只有两个可能取值,且为0,1,属于两点分布,应用概率知识求出X=0的概率,然后根据两点分布的特点求出X=1的概率,最后列表即可.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析所以X的分布列为

所以X的分布列为

当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟两点分布的两个特点(1)两点分布中只有两个对应结果,且两个结果是对立的.(2)由对立事件的概率求法可知:P(X=0)+P(X=1)=1.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析于是,随机变量X的分布列是

当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析超几何分布例4一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球,其中红球有3个,编号为1,2,3;黑球有2个,编号为1,2;白球有1个,编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球.(1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率;(2)记取得1号球的个数为随机变量X,求随机变量X的分布列.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析

引申探究

1.在本例条件下,若记取到白球的个数为随机变量η,求随机变量η的分布列.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析2.将本例的条件“一次随机抽取3个球”改为“有放回地抽取3次球,每次抽取1个球”,其他条件不变,结果又如何?当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟超几何分布的求解步骤(1)辨模型:结合实际情景分析所求概率分布问题是否由具有明显的两部分组成,如“男生、女生”,“正品、次品”“优劣”等,或可转化为明显的两部分.具有该特征的概率模型为超几何分布模型.(2)算概率:可以直接借助公式

求解,也可以利用排列、组合及概率的知识求解,需注意借助公式求解时应理解参数M,N,n,k的含义.(3)列分布表:把求得的概率值通过表格表示出来.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析变式训练4某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上40件产品作为样本称出它们的重量(单位:克),重量的分组区间为(490,495],(495,500],…,(510,515],由此得到样本的频率分布直方图,如下图所示:(1)根据频率分布直方图,求重量超过505克的产品数量;(2)在上述抽取的40件产品中任取2件,设Y为重量超过505克的产品数量,求Y的分布列.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析因随机变量的取值错误而致错典例

盒中装有大小相同的12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的(用过的球即为旧的),从盒中任取3个使用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X是一个随机变量,求X的分布列.易错分析:随机变量X的取值是最基础的一步,也是关系求分布列是否正确的关键一步,本题若把原题意中盒中旧球个数误认为取出旧球个数,则本题将一错到底.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析解:从盒中任取3个,这3个可能全是旧的,也可能是2个旧的1个新的,1个旧的2个新的或全是新的,所以用完放回盒中,盒中旧球的个数可能是3,4,5,6,即X的可能取值为3,4,5,6.所以X的分布列为

当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析纠错心得本题关键有两点:一是认清X的取值,题目中说的是盒中旧球的个数为X,所以取值应为3,4,5,6,而不是0,1,2,3;二是正确利用公式求解概率,以免出现计算错误.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析跟踪训练如图,从A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,1,0),B2(0,2,0),C1(0,0,1),C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点,将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”,记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内,那么此时“立体”的体积V=0).(1)求V=0的概率;(2)求V的分布列.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测1.已知随机变量X的分布列为,其中a,b,