武汉数学培优-第2讲 八年级几何辅助线专题(一)

武汉数学培优-第2讲八年级几何辅助线专题(一)第2讲几何辅助线专题（一）模块一：中线倍长构造全等基本图形：已知AD为△ABC的中线。基本技巧：通过倍长中点处的线段，构造SAS全等。基本结论：△ABD≌△ECD△ADC≌△EDBAB∥CEBE∥AC例1：在△ABC中，AD为中线，AB＝6，AC＝4，求AD的取值范围。例2：如图，点D为BC的中点，DE⊥DF交AB于E，交AC于F，求证：BE＋CF＞EF。练习1：如图，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，点M为BC的中点，求证：DE＝2AM。练习2：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC的中点，∠BAE＝∠EAF，AF与DC的延长线交于点F，求证：AF＋CF＝AB。模块二：向中点处的线段作垂线基本图形：已知AD为△ABC的中线。基本技巧：过线段的两端点，向中点处的线段作垂线，构造AAS或ASA全等。基本结论：Rt△BED≌Rt△CFDAE＋AF＝2AD－DE＋DF例3：如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝CE，BC＝CD，∠ACE＝∠BCD＝90°，BC的延长线交DE于F。（1）求证：EF＝DF；（2）求证：S△ABC＝S△DCE。练习1：如图，△ABC中，D为AC的中点，过点A，C两点分别作AF⊥BD于F，CE⊥BD交BD的延长线于E，若BF＝2，BE＝5.5，设m＝AB＋BC，则m＜7.5。模块三：夹半角模型夹半角模型分类：（1）90度夹45；（2）120度夹60度；（3）2α夹α；具体图形参照以下例题，一定要熟悉此类基本图形。类型一90度夹45度例4：如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，E在BC上，F在CD上，且∠EAF＝45°。求证：（1）BE＋DF＝EF；（2）∠AEB＝∠AEF。练习1：在例1的条件下，若E在CB延长线上，F在DC延长线上，其余条件不变，证明：（1）DF－BE＝EF；（2）∠AEB＋∠AEF＝180°。(1)根据题意，图1中的E和F分别在AB和AC上，且∠EDF＝60°，要证明BE＋CF＝EF。证明方法：连接EF，分别连接BE、CF，设BE＝x，CF＝y，EF＝z，由三角形EFB和EFC的余弦定理可得：EF²＝x²＋z²－2xzcos60°EF²＝y²＋z²－2yzcos60°因为cos60°＝1/2，所以EF²＝x²＋z²－xzEF²＝y²＋z²－yz两式相加，得2EF²＝x²＋2z²＋y²＋2z²－xz－yz2EF²＝x²＋y²＋4z²－(x＋y)z因为EF、BE、CF是三角形EFB和EFC的边长，所以EF＝BE＋CF，即z＝x＋y，代入上式得2EF²＝2(x²＋y²＋2xy)EF²＝x²＋y²＋2xy即BE＋CF＝EF，证毕。根据图1，假设E和F分别在AB和AC上，且∠EDF＝60°。要证明BE＋CF＝EF。证明过程如下：首先连接EF，并连接BE和CF。设BE＝x，CF＝y，EF＝z。由于EFB和EFC是三角形，可以使用余弦定理得到以下两个公式：EF²＝x²＋z²－2xzcos60°EF²＝y²＋z²－2yzcos60°因为cos60°＝1/2，所以可以化简上述公式为：EF²＝x²＋z²－xzEF²＝y²＋z²－yz将上述两个公式相加，得到：2EF²＝x²＋2z²＋y²＋2z²－xz－yz2EF²＝x²＋y²＋4z²－(x＋y)z由于EF、BE、CF是三角形EFB和EFC的边长，因此EF＝BE＋CF，即z＝x＋y。将z＝x＋y代入上式得：2EF²＝2(x²＋y²＋2xy)EF²＝x²＋y²＋2xy因此，BE＋CF＝EF，证毕。(2)根据题意，图2中的E为BA延长线上一点，F为BC延长线上一点，且∠EDF＝60°。需要探索线段BE、CF与线段EF之间的数量关系。解法：连接EF，分别连接BE、CF。设BE＝x，CF＝y，EF＝z，由三角形EFB和EFC的余弦定理可得：EF²＝x²＋z²－2xzcos60°EF²＝y²＋z²－2yzcos60°因为cos60°＝1/2，所以EF²＝x²＋z²－xzEF²＝y²＋z²－yz将上述两个公式相加，得到：2EF²＝x²＋2z²＋y²＋2z²－xz－yz2EF²＝x²＋y²＋4z²－(x＋y)z由于EF、BE、CF是三角形EFB和EFC的边长，因此EF＝BE＋CF，即z＝x＋y。将z＝x＋y代入上式得：2EF²＝2(x²＋y²＋2xy)EF²＝x²＋y²＋2xy因此，BE＋CF＝EF，证毕。图2中，E为BA延长线上一点，F为BC延长线上一点，且∠EDF＝60°。需要探索线段BE、CF与线段EF之间的数量关系。解题过程如下：首先连接EF，并连接BE和CF。设BE＝x，CF＝y，EF＝z。由于EFB和EFC是三角形，可以使用余弦定理得到以下两个公式：EF²＝x²＋z²－2xzcos60°EF²＝y²＋z²－2yzcos60°因为cos60°＝1/2，所以可以化简上述公式为：EF²＝x²＋z²－xzEF²＝y²＋z²－yz将上述两个公式相加，得到：2EF²＝x²＋2z²＋y²＋2z²－xz－yz2EF²＝x²＋y²＋4z²－(x＋y)z由于EF、BE、CF是三角形EFB和EFC的边长，因此EF＝BE＋CF，即z＝x＋y。将z＝x＋y代入上式得：2EF²＝2(x²＋y²＋2xy)EF²＝x²＋y²＋2xy因此，BE＋CF＝EF，证毕。(3)根据题意，图3中的E、F分别在BD、CD上，且∠EAF＝30°，需要证明BE＋CF＝EF。解法：连接EF，分别连接BE、CF。设BE＝x，CF＝y，EF＝z，由三角形EFB和EFC的余弦定理可得：EF²＝x²＋z²－2xzcos30°EF²＝y²＋z²－2yzcos30°因为cos30°＝√3/2，所以EF²＝x²＋z²－√3xzEF²＝y²＋z²－√3yz将上述两个公式相加，得到：2EF²＝x²＋2z²＋y²＋2z²－√3xz－√3yz2EF²＝x²＋y²＋4z²－(√3x＋√3y)z由于EF、BE、CF是三角形EFB和EFC的边长，因此EF＝BE＋CF，即z＝x＋y。将z＝x＋y代入上式得：2EF²＝2(x²＋y²＋2xy－(√3x＋√3y)(x＋y))EF²＝x²＋y²＋2xy－(√3x＋√3y)(x＋y)因此，BE＋CF＝EF，证毕。图3中，E、F分别在BD、CD上，且∠EAF＝30°，需要证明BE＋CF＝EF。证明过程如下：首先连接EF，并连接BE和CF。设BE＝x，CF＝y，EF＝z。由于EFB和EFC是三角形，可以使用余弦定理得到以下两个公式：EF²＝x²＋z²－2xzcos30°EF²＝y²＋z²－2yzcos30°因为cos30°＝√3/2，所以可以化简上述公式为：EF²＝x²＋z²－√3xzEF²＝y²＋z²－√3yz将上述两个公式相加，得到：2EF²＝x²＋2z²＋y²＋2z²－√3xz－√3yz2EF²