第三章流体运动学

第三章流体运动学第1页，课件共74页，创作于2023年2月§3-1研究流体运动的方法

流场：充满运动流体的空间一、基本概念

流体质点：由无数流体分子所组成的质量微团，有大小和形状且随时间不断改变。

空间点：是几何位置点，无大小和形状，不随时间改变。

系统：无数个流体微团的集合。

控制体：由空间点组成。第2页，课件共74页，创作于2023年2月拉格朗日简介

法国数学家、物理学家。1736年1月25日生于意大利西北部的都灵，1813年4月10日卒于巴黎。19岁就在都灵的皇家炮兵学校当数学教授。1766年德国的腓特烈大帝向拉格朗日发出邀请说，在“欧洲最大的王”的宫廷中应有“欧洲最大的数学家”。于是他应邀去柏林，居住达二十年之久。在此期间他完成了《分析力学》一书，建立起完整和谐的力学体系。

1786年，他接受法王路易十六的邀请，定居巴黎，直至去世。近百余年来，数学领域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于拉格朗日的工作。第3页，课件共74页，创作于2023年2月欧拉简介

瑞士数学家及自然科学家。1707年4月15日出生於瑞士的巴塞尔，1783年9月18日於俄国彼得堡去逝。欧拉出生於牧师家庭，自幼受父亲的教育。13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获硕士学位。

欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域。他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学中的经典著作。欧拉对数学的研究如此广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。第4页，课件共74页，创作于2023年2月1.Lagrange法（拉格朗日法）

二、研究流体运动的两种方法基本思想：跟踪每个流体质点的运动全过程，记录它们在运动过程中的各物理量及其变化规律。跟踪法初始时刻的位置坐标任意时刻的运动坐标区分不同流体质点流体质点的位移a，b，c为Lagrange变量，不是空间坐标函数，是流体质点的标号。第5页，课件共74页，创作于2023年2月速度表达式加速度表达式第6页，课件共74页，创作于2023年2月2.Euler法（欧拉法）

独立变量：基本思想：考察空间每一点上的物理量及其变化。空间一点上的物理量是指占据该空间点的流体质点的物理量。空间点坐标，时间(t)的函数，也表示流体质点的位移。布哨法

运动要素表示为：第7页，课件共74页，创作于2023年2月加速度或第8页，课件共74页，创作于2023年2月当地加速度质点加速度：迁移加速度第一部分：是由于某一空间点上的流体质点的速度随时间的变化而产生的，称为当地加速度。第二部分：是某一瞬时由于流体质点的速度随空间点的变化而产生的，称为迁移加速度。第9页，课件共74页，创作于2023年2月Lagrange法优缺点√直观性强、物理概念明确、可以描述各质点的时变过程×数学求解较为困难，一般问题研究中很少采用

Euler法的优越性：3.在工程实际中，并不关心每一质点的来龙去脉。基于上述三点原因，欧拉法在流体力学研究中广泛被采用。1.利用欧拉法得到的是场，便于采用场论这一数学工具来研究。2.采用欧拉法，加速度是一阶导数，而拉格朗日法，加速度是二阶导数，所得的运动微分方程分别是一阶偏微分方程和二阶偏微分方程，在数学上一阶偏微分方程比二阶偏微分方程求解容易。第10页，课件共74页，创作于2023年2月分别描述有限质点的轨迹同时描述所有质点的瞬时参数表达式复杂表达式简单不能直接反映参数的空间分布直接反映参数的空间分布不适合描述流体元的运动变形特性适合描述流体元的运动变形特性

拉格朗日观点是重要的流体力学最常用的解析方法两种方法的比较Lagrange法Euler法第11页，课件共74页，创作于2023年2月§3-2流场的基本概念一、恒定流与非恒定流恒定流：流场中所有空间点上一切运动要素均不随时间变化，即非恒定流：流场中所有空间点上一切运动要素均不随时间变化，即第12页，课件共74页，创作于2023年2月恒定流非恒定流对于恒定流，只存在迁移加速度第13页，课件共74页，创作于2023年2月二、流线与迹线（一）流线1.定义：表示某瞬时流动方向的曲线，曲线上各质点的流速方向均与该曲线相切。属欧拉法的研究内容强调的是空间连续质点而不是某单个质点形成是在某一瞬间而不是一段连续时间内表示的是质点的速度方向而不是空间位置连线第14页，课件共74页，创作于2023年2月2、流线的几个性质：通过某一空间点在给定瞬间只能有一条流线，一般情况流线不能相交和分支。流线不能是折线，是一条光滑的连续曲线。在定常流动中，流线不随时间改变其位置和形状，流线和迹线重合。在非定常流动中，由于各空间点上速度随时间变化，流线的形状和位置是在不停地变化的。第15页，课件共74页，创作于2023年2月3、流线微分方程

速度矢量通过该点流线上的微元线段速度与流线相切第16页，课件共74页，创作于2023年2月（二）迹线1、定义：流场中某一流体质点的运动轨迹。它是单个质点在运动过程中所占据的空间位置随时间连续变化的轨迹。

属拉格朗日法的研究内容（t为自变量，x,y,z为t的函数）第17页，课件共74页，创作于2023年2月三、流管、元流、总流

1．流管：在流场中，任意取一封闭曲线（不是流线），由通过该曲线上每一点的流线所围成的管状面，称为流管。

2．元流：在微小流管内所有流体质点所形成的流动，称为元流。3．总流:流管内所有流体质点所形成的流动成为总流，即为无数个元流的集合。

第18页，课件共74页，创作于2023年2月四、过流截面、流量、平均流速1.过流截面:与元流或总流内各条流线相垂直的横截面称为过流截面，过流截面可以是平面或曲面。

2．流量：单位时间内通过某一过流截面的流体体积称为体积流量，简称流量，用符号表示，其常用单位为，工程实际中常用来表示流量。第19页，课件共74页，创作于2023年2月3.平均流速：是一个假想的流速，即假定在有效截面上各点都以相同的平均流速流过，这时通过该有效截面上的体积流量仍与各点以真实流速流动时所得到的体积流量相同。五、均匀流、非均匀流、渐变流、急变流1.均匀流：是指流线为直线且相互平行，且同一条流线上各空间点的流速相同的流动。2.非均匀流：流线不是相互平行直线，且同一条流线上各空间点的流速相同的流动。第20页，课件共74页，创作于2023年2月1-2渐变流2-3急变流3-4渐变流4-5急变流3.渐变流和急变流：在非均匀流中，流线之间的夹角较小、流线曲率较小而近似平行直线的流动。否则称为急变流。c-c处渐变流第21页，课件共74页，创作于2023年2月六、一维流动、二维流动、三维流动1.三维流动：若流动要素是三个空间坐标的函数，则这种流动称为三维流动。例如，空气绕地面建筑物的流动、水在自然河道中的流动等。

2.二维流动：若流动要素只是两个空间坐标的函数而与第三坐标无关，这种流动称为二维流动。例如，水在矩形渠道中的流动。3.一维流动：流动要素只是一个空间坐标的函数的流动称之为一维流动。通常河道、渠道、管道中，流动要素是三个坐标的函数，如果流速用平均流速来代替，它们的流动也看成一维流动来处理。第22页，课件共74页，创作于2023年2月第23页，课件共74页，创作于2023年2月§3-3流体运动的连续性方程一、三维流动、二维流动的连续性方程第24页，课件共74页，创作于2023年2月在x方向在时间内，沿轴从左边和右边侧面流入六面体的流体质量分别为沿x轴流入和流出六面体的流体质量之差为

第25页，课件共74页，创作于2023年2月同理

流入六面体内的流体质量总差为引起密度的变化第26页，课件共74页，创作于2023年2月在瞬时在微段时间内由密度引起流体的质量变化为第27页，课件共74页，创作于2023年2月不可压缩流体三维流动的连续性方程不可压缩流体二维流动的连续性方程物理意义：在同一时间内通过流场中任一封闭表面的体积流量等于零，也就是说，在同一时间内流入的体积流量与流出的体积流量相等。第28页，课件共74页，创作于2023年2月二、恒定总流的连续性方程（1）恒定流动，该段元流的形状、位置不随时间发生变化；（2）没有流体穿过元流，从侧面流入和流出；（3）元流内流体不存在空隙。第29页，课件共74页，创作于2023年2月根据质量守恒定律，在时间内

不可压缩流体分流第30页，课件共74页，创作于2023年2月刚体:流体:具有流动性，极易变形移动（move）——线速度

转动

(rotation)——角速度移动（move）

——线速度

转动(rotation)——角速度变形（reform）——线变形角变形§3-4流体微团的运动第31页，课件共74页，创作于2023年2月第32页，课件共74页，创作于2023年2月速度分布图

第33页，课件共74页，创作于2023年2月一、线变形运动线变形速率不可压缩流体水平方向线变形同理第34页，课件共74页，创作于2023年2月二、角变形运动与旋转运动水平方向竖直方向第35页，课件共74页，创作于2023年2月纯变形角纯旋转角第36页，课件共74页，创作于2023年2月同理角变形速率旋转角速度第37页，课件共74页，创作于2023年2月三、流体微团运动的分解第38页，课件共74页，创作于2023年2月在一般情况下，流体微团的运动可分解为三部分：①以流体微团中某点的速度作整体平移运动②绕通过该点轴的旋转运动③微团本身的变形运动线速度旋转角速度线变形速率角变形速率第39页，课件共74页，创作于2023年2月四、有旋流动和无旋流动

数学条件：

当当无旋流动有旋流动如果在整个流场中各处的流体微团均不绕自身轴线的旋转运动，则称为无旋流动。流体在流动中，如果流场中有若干处流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动，则称为有旋流动。

有旋流动

无旋流动第40页，课件共74页，创作于2023年2月（a）

（b）

即当流场速度同时满足：流动无旋需要指出的是，有旋流动和无旋流动仅由流体微团本身是否发生旋转来决定，而与流体微团本身的运动轨迹无关。

如图7-5（a），流体微团的运动为旋转的圆周运动，其微团自身不旋转，流场为无旋流动；图7-5（b）流体微团的运动尽管为直线运动，但流体微团在运动过程中自身在旋转，所以，该流动为有旋流动。无旋流动有旋流动第41页，课件共74页，创作于2023年2月三、涡量、涡线和环量1.涡量：表示流体微团的旋转特性。2.涡线：表示涡量方向的曲线，即涡线各点切向方向为涡量的方向。3.涡管：任意一条封闭曲线C上所有涡线构成的管状曲面。4.环量xoy平面流动无旋流，环量为零第42页，课件共74页，创作于2023年2月§3-5速度势函数及流函数一、速度势1.势:如果某一矢量函数沿某方向的投影恰好等于某一标量函数在该方向上的偏导数，则称该矢量为有势矢量，此标量函数称为该矢量的势函数。

由数学分析可知，是成为某一标量函数全微分的充分必要条件。2.速度势:

第43页，课件共74页，创作于2023年2月无旋有势速度势函数满足拉普拉斯方程，即或拉普拉斯算子第44页，课件共74页，创作于2023年2月（1）速度势函数是调和函数，满足拉普拉斯方程的函数，在数学上称为调和函数。3.速度势函数的性质（2）任意曲线上的速度环量等于曲线两端点上速度势函数值之差。而与曲线的形状无关。（3）在空间无旋流场中，势函数相等的面为等势面；在平面无旋流动中，势函数相等的线是等势线。对于任意封闭曲线，若A点和B点重合，速度势函数是单值且连续的，则流场中沿任一条封闭曲线的速度环量等于零，即。第45页，课件共74页，创作于2023年2月二、二维平面流动的流函数1.流函数：充分必要条件2.平面流线方程:

第46页，课件共74页，创作于2023年2月3.流函数的性质（1）对于不可压缩流体的平面势流，流函数Ψ满足拉普拉斯方程，流函数也是调和函数。（2）等流函数线与流线等同，仅在平面流动时成立。对于三维流动，不存在流函数，也就不存在等流函数线，但流线还是存在的。

（3）平面流动中，通过两条流线间任一曲线单位厚度的体积流量等于两条流线的流函数之差,这就是流函数的物理意义。第47页，课件共74页，创作于2023年2月证明如下：

其中第48页，课件共74页，创作于2023年2月三、和的关系

柯西-黎曼条件（1）满足柯西-黎曼条件。和互为共轭调和函数，这就有可能使我们利用复变函数这样一种有力的工具求解此类问题。（2）流线与等势线正交。流线和等势线构成正交网格，称为流网。第49页，课件共74页，创作于2023年2月例1-1一不可压流体平面流动的速度分布为：①该平面流动是否存在流函数和速度势函数；②若存在，试求出其表达式；解：（1）由不可压流体平面流动的连续性方程，知该流动满足连续性方程，流动是存在的，存在流函数。该流动无旋，存在速度势函数。

第50页，课件共74页，创作于2023年2月（2）由流函数的全微分得：积分由速度势函数的全微分得：积分第51页，课件共74页，创作于2023年2月例1-2已知不可压缩流体平面势流，其速度势试求速度分量和流函数。解：（1）由势函数和流速之间的关系，知（2）由流函数的全微分得：积分第52页，课件共74页，创作于2023年2月§3-6简单平面势流一、均匀平行流动1.速度分量定义：流速的大小和方向沿流线不变的流动为均匀流若流线平行且流速相等，则称均匀等速流。第53页，课件共74页，创作于2023年2月2.流函数

3.势函数

流函数线为平行直线，如图中实线所示

等势线也为平行直线，如图中虚线线所示。两者构成流谱。

海洋上风引起的空气流动、风洞或水洞实验段内的流动。第54页，课件共74页，创作于2023年2月二、平面点源（汇）点源点汇第55页，课件共74页，创作于2023年2月

如果在无限平面上流体不断从一点沿径向直线均匀地向各方流出，则这种流动称为点源，这个点称为源点。

若流体不断沿径向直线均匀地从各方流入一点，则这种流动称为点汇，这个点称为汇点。定义1.速度分量源（汇）强第56页，课件共74页，创作于2023年2月2.流函数

3.势函数

等流函数线是一族从原点出发的径向射线(实线），而等势线是一族圆心位于原点的不同半径的同心圆（虚线）。井源渗流、小孔口出流第57页，课件共74页，创作于2023年2月三、环流1.速度分量第58页，课件共74页，创作于2023年2月表明：除原点（奇点）外，都为有势流。

如果将一直线涡束代替固体圆柱体，涡束内的流体质点如同圆柱体一样绕中心轴旋转，涡束内的区域称为涡核区，涡束外的区域为有势流区。速度环量环流强度速度分量第59页，课件共74页，创作于2023年2月2.流函数和势函数流函数线是一族以原点为中心的同心圆，等势线是一族从原点发出的径向射线。立轴漩涡、大气气旋3.点涡：除圆心外的流场为无旋流。第60页，课件共74页，创作于2023年2月§3-7势流叠加原理势流叠加原理

几个简单有势流动叠加得到的新的有势流动，其速度势函数和流函数分别等于原有几个有势流动的速度势函数和流函数的代数和，速度分量为原有速度分量的代数和。

第61页，课件共74页，创作于2023年2月一、钝体绕流均匀平行流动平面点源1.合成流动流函数和势函数第62页，课件共74页，创作于2023年2月2.流速滞止点:流场中速度为零的点.3.滞止点的流线方程滞止点S点坐标滞止点的流线方程第63页，课件共74页，创作于2023年2月

滞止点流线为钝体的轮廓线，该流线将流场分成两个部分：由均匀流引起的这部分流量皆在这条流线之外流动，而由点源引起的那部分流量皆在这条流线之内流动，这样，就可以把通过滞止点的流线视为固壁(钝体)，称为钝体绕流钝体的宽度第64页，课件共74页，创作于2023年2月二、偶极流流函数线是圆心在轴的一族共弦圆（实线）；等势线则是与它们正交圆心在轴的另一族圆（虚线）。第65页，课件共74页，创作于2023