第三章随机变量及分布

第三章随机变量及分布1第1页，课件共30页，创作于2023年2月定义1.2设（X，Y）为二维随机变量，对于任意的x，y，二元函数F(x,y)=p(Xx,Yy)

称为（X，Y）的分布函数。或称为

X与Y的联合分布函数联合分布函数的几何含义：联合分布函数在点(x,y)处的函数值F(x,y)就表示随机点落在以(x,y)为顶点的左下方的无穷矩形区域(-

<

u

x,-

<

v

y)内的概率。(x,y)

xyo联合分布函数的性质：(1)F(x,y)是变量x或

y的单调不减函数。即：对任意固定的y，当x2>x1时，F(x2,y)

F(x1,y)

对任意固定的x，当

y2

>y1时，F(x,y2)

F(x,y1)

第2页，课件共30页，创作于2023年2月oxx1

x2

yy1

y2

(2)对任意的x

和y都有：0

F(x,y)

1(x,y)

xyo(3)对x

和y，F(x,y)都是右连续的(4)当x1

<

x2

，y1

<

y2时，有

P(x1<X

x2,y1<Y

y2)=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)第3页，课件共30页，创作于2023年2月定义：二维随机变量(X,Y)中，随机变量X（或Y）自身的分布称为(X,Y)关于X（或Y）的边缘分布。

结论：设(X,Y)

的联合分布函数为F(x,y)，则有2边缘分布边缘分布函数：X的分布函数

FX(x)和

Y的分布函数FY(y)边缘分布函数可由联合分布函数确定。

边缘分布从某种意义看，就是一维随机变量的分布，它具有一维分布的性质。只不过边缘分布在二维空间考虑。第4页，课件共30页，创作于2023年2月定义1.3：如果二维随机变量(X,Y)所有可能取的数对是有限个或可列个，则称(X,Y)为二维离散型随机变量。1.2二维离散型随机变量1二维离散型随机变量的联合分布

y

jy

2y

1x

1x

2x

ip

11p

12p

1jp

21p

22p

2jp

i1p

i2p

ij

Y

X

设二维离散型随机变量(X,Y

)所有可能取的数对为(x

i

,y

j

)(i,j

=1,2,

)则P(X=

x

i，Y

=

y

j

)=

p

i

j(i,j

=1,2,

)称为二维离散型随机变量(X,Y

)的联合概率函数或联合分布。例：同时掷两枚色子，朝上面的点数记为X,Y

，则二维随机变量(X,Y

)为离散型。(X,Y

)的联合概率函数表：(1)pij0,i,j=1,2,…

联合概率分布的性质(2)第5页，课件共30页，创作于2023年2月设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为

P(X=

x

i，Y=

y

j

)=

p

i

j(i,j

=

1,2,

)

p

i.

行和

p1.

p2.

pi.

p.j

列和

p.1

p.2

p.j

即2二维离散型随机变量的边缘分布称为二维随机变量(X,Y)关于X,Y的边缘分布

y

jy

2y

1x

1x

2x

ip

11p

12p

1jp

21p

22p

2jp

i1p

i2p

ij

YX第6页，课件共30页，创作于2023年2月注意：联合分布唯一确定边缘分布，边缘分布不能唯一地确定联合分布。11Y

X

01/121/61/61/61/61/1201/62332例：（X,Y）的联合概率分布求：X,Y的边缘分布解：X,Y的边缘分布1pX

1/21/41/4321pY

1/21/41/432第7页，课件共30页，创作于2023年2月定义1.5：设二维随机向量(X,Y)的分布函数为F(x

,

y)。

如果存在非负可积函数f(x,y)，使得1.3二维连续型随机变量的联合密度函数则称(X,Y)为二维连续型随机变量，f(x,y)

称为(X,Y

)的联合概率密度函数，或简称联合密度。1联合密度函数二维连续型随机变量的联合密度的基本性质(1)f(x,y)

0

x

,

y

R(2)第8页，课件共30页，创作于2023年2月给出联合密度f(x,y)

后，事件{(X,Y)

G}的概率都可用二重积分表示。

OxyabG

1(x)

2(x)当G为长方形时，OxyabGcd例：(均匀分布)设二维随机向量(X,Y)具有概率密度：

f(x,y)

=c,(x,

y)

G

0,其他求：常数c

解第9页，课件共30页，创作于2023年2月例：设二维随机向量(X,Y)具有概率密度：

f(x,y)

=ce

-3(x+y),0<

x<+,0<

y<+

0,其他求：(1)常数c;(2)联合分布函数F(x,y);(3)(X,Y)落入右上图所示三角形区域G

内的概率。解OxyG11x+y=1c=9(2)当0<

x<+

,0<

y<+

时当x,

y不都大于0时=(x,y)

xyo第10页，课件共30页，创作于2023年2月求：(1)常数c;(2)联合分布函数F(x,y);(3)(X,Y)落入右上图所示三角形区域G

内的概率。例：设二维随机向量(X,Y)具有概率密度：

f(x,y)

=ce

-3(x+y),0<

x<+

,0<

y<+

0,其他解：(3)Oxy1y=1-x1x1-x001第11页，课件共30页，创作于2023年2月设二维连续型随机变量(X,Y)联合密度为f(x,y)，则其边缘分布函数为若记称fX(x)是(X,Y)关于X的边缘密度函数。把称为(X,Y)关于Y的边缘密度函数。2边缘密度函数第12页，课件共30页，创作于2023年2月例：已知随机向量(X,Y)服从圆形区域G

上的均匀分布，其密度函数为0，其他求：边缘密度函数f

x(x)和f

y(y)。解：关于X

的边缘密度函数为同理，关于Y

的边缘密度函数为当

x>R时当

xR时0x>R0y>R第13页，课件共30页，创作于2023年2月第二节条件分布定义：二维随机变量(X

,Y)中，已知随机变量X取定值x时，随机变量Y的分布称为在(X=x）条件下Y的条件分布。

已知随机变量Y取定值y时，随机变量X的分布称为在(Y

=y）条件下X的条件分布。

第14页，课件共30页，创作于2023年2月2.2离散型随机变量的条件概率分布设(X,Y)的联合分布律为：P((X=

x

i,

Y

=

yj

)=p

i

j(i,j

=1,2,

)边缘分布：现考虑在事件(Y=yj

)已发生的条件下，事件(X=

xi

)的条件概率P(X=x

i|Y=y

j)。定义2.1：设

(X,Y

)是二维离散型随机向量，对于固定的j,若P(Y=y

j

)>0，则称为在Y=y

j

条件下随机变量X的条件概率分布同样，对于固定的i，若P(X=x

i

)>0，则称为在X=x

i

条件下随机变量Y的条件概率分布第15页，课件共30页，创作于2023年2月在X=2的条件下,Y的条件分布为：=1/3例：（X,Y）的联合概率分布11YX01/121/61/61/61/61/1201/62332P(X=2)=1/6+1/6+1/6=1/2在Y=1时,X

的条件分布解：1

P(Y|X=2)Y

1/31/31/332=1/3=1/3求：在X=2时,Y

的条件分布在Y=1的条件下,X的条件分布为1

P(X|Y=1)X

2/31/3032第16页，课件共30页，创作于2023年2月称为在Y=y条件下X的条件密度函数。2.3连续型随机变量的条件分布定义2.2设二维连续型随机变量(X,Y)联合密度为f(x,y)，边缘密度函数为fX(x),fY(y)

则称为在Y=y条件下，随机变量X的条件分布函数，记为第17页，课件共30页，创作于2023年2月称为在X=x条件下Y的条件密度函数。类似的，当则称为在X=x条件下，随机变量Y的条件分布函数，记为第18页，课件共30页，创作于2023年2月解：0其他例：设(X,Y)~f(x,y)=求：条件密度函数

f(x|y)，

f(y|x)0其他0其他对于满足y

<R的固定值y，f

Y

(y)>0，则：0其他0其他对于满足x

<R的固定值x，f

X

(x)>0，则：第19页，课件共30页，创作于2023年2月定义：二维随机变量(X,Y)中，联合分布函数和边缘分布函数分别为F(x，y)，FX(x)，FY(y）。若满足

F(x，y)=FX

(x)FY(y）则称随机变量

X和Y

相互独立。第三节随机变量的独立性离散型随机变量X,Y的独立性离散型随机变量X,Y

独立的充要条件是对一切i,j=1,2,…

都有pij=pi.•

p.j即：

P(X=

x

i,Y=

y

j

)=P(X=

x

i)

P(Y=

y

j

)(i,j

=

1,2,

)第20页，课件共30页，创作于2023年2月设二维连续型随机变量(X,Y)联合密度为f(x,y)，边缘密度函数为fX(x),fY(y)，若f(x,y)=fX

(x)fY(y)，则X,Y独立例：设(X,Y)~f(x,y)=判断X，Y是否独立0其他解：0其他0其他f(x,y)fX(x)fY(y)，则X，Y不独立例：设二维随机向量(X,Y)具有概率密度：

f(x,y)

=9e

-3(x+y),0<

x<+

,0<

y<+

0,其他

fX(x)

=3e

-3x,0<

x<+

0,其他

fY(y)

=3e

-3y

,0<

y<+

0,其他f(x,y)=fX

(x)fY(y)，则X,Y独立第21页，课件共30页，创作于2023年2月二维正态分布若二维连续型随机向量(X,Y)的联合密度为其中

1,

2,

1>0,

2>0

,|

|<1均为常数，则称(X,Y)服从参数为

1,

2,

1,

2,

的二维正态分布，记作(X,Y)~N(

1,

2,

12

,

22

,

)。可求出边缘密度函数为：表明，二维正态分布的边缘分布是一维正态分布。

X~N(

1,

12

)

Y~N(

2,

22

)

第22页，课件共30页，创作于2023年2月例：因为随机变量X

与Y

独立，所以对任意实数x,y都有设随机变量X

与Y独立，且都服从正态分布，其密度函数为求：(X,Y)

的联合密度函数。解：(X,Y)~N(

1,

2,

12,

22

,0)

此例说明：若XN(

1,

12)，YN(

2,

22)，且X与Y独立，则(X,Y)N(

1,

2,

12,

22

,0)；若(X,Y)N(

1,

2,

12,

22,0)，则X

与Y独立。所以，二维正态随机变量X

与Y独立的充要条件是

=0。第23页，课件共30页，创作于2023年2月第四节二维随机变量函数的分布若存在二元函数z=g(x,y)，使得对二维随机变量(X,Y)的每一取值(x,y)，随机变量Z的相应取值为z=g(x,y)，则称随机变量Z是随机变量(X,Y)的函数，记作Z=g(X,Y)。由(X,Y)

的分布求出Z=g(X,Y)的分布呢？

例：

Z=X+Y4.1Z=X+Y的分布第24页，课件共30页，创作于2023年2月例：已知(X,Y)的联合分布如表求Z=X+Y

的概率函数。因为Z=X

+Y，所以Z

的可能取值是1,2,3,4,5解：于是，Z的概率函数如表所示。123450.10.250.270.380ZP表7

P(Z=1)=P(X=0,Y=1)=0.110Y

X00.020.180.20.050.20.150.10.11232

P(Z=2)=P(X=0,Y=2)+P(X=1,Y=1)=0.2+0.05=0.25P(Z=3)=P(X=0,Y=3)+P(X=1,Y=2)+P(X=2,Y=1)=0.15+0.1+0.02=0.27P(Z=4)=P(X=1,Y=3)+P(X=2,Y=2)=0.2+0.18=0.38P(Z=5)=P(X=2,Y=3)=01二维离散型随机变量函数的分布第25页，课件共30页，创作于2023年2月例：设X~P(

1)

与Y~P(

2)，且X

与Y

独立求Z=X+Y的概率函数。

由于泊松分布的随机变量X与Y可取所有非负整数，故其和Z=X+