实验三 离散傅立叶变换及其特性验证

实验名称：实验三离散傅立叶变换及其特性验证一、实验目的1、掌握离散时间傅立叶变换(DTFT)的计算方法和编程技术。2、掌握离散傅立叶变换(DFT)的计算方法和编程技术。3、理解离散傅立叶变换(DFT)的性质并用Matlab进行验证。二、实验原理与计算方法1、离散时间傅立叶变换如果序列x(n)满足绝对可和的条件，即占|x(n)|5，则其离散时间傅立叶变换定义为：X(e.j®)=F［x(n)］=才x(n)ej(1)如果x(n)是无限长的，则不能直接用Matlab由x(n)计算X(ei^)，但可以用它来估计表达式在［0,兀］频率区间的值并绘制它的幅频和相频(或实部和虚部)曲线。如果x(n)是有限长的，则可以用Matlab对任意频率®处的X(e^)进行数值计算。如果要在［0,n］间按等间隔频点估计X(e®)，贝U(l)式可以用矩阵一向量相乘的运算来实现。假设序列x(n)在n<n<n(即不1N一定在［0,N-1］)有N个样本，要估计下列各点上的X(ej^)：冗ro=——k，k=0,1,2...,MkM它们是［0,n］之间的(M+1)个等间隔频点，则(1)式可写成：

X(e；w)=£e-M叫x(n)k=0,1,2・・・,Mll=1(2)将｛x(n/｝和｛X(e®k)｝分别排列成向量x和X,则有：X=Wx3)其中W是一个(M+1)XN维矩阵:W=\e-jMkn；n<n<n,k=0丄2..・,MI1N将｛k｝和｛n｝排成列向量，则W=「ex丄jZkTLtM丿一在Matlab中，把序列和下标排成行向量，对(3)式取转置得:XTxXTxTexpf-j殳btk\JM2、离散傅立叶变换一个有限长序列的离散傅立叶变换对定义为：X(k)=迟x(n)Wnk,0<k<N-1Nn=0(4)x(n)-kn,0<n<N-1NNk=0(5)以列向量x和X形式排列x(n)和X(k),则式(4)、(5)可写成:X=WNxx=—W*X

NN其中矩阵WN由下式给出：

N=N0<k,nN=N0<k,n<N-1W1…WN-1NNWN-1…W(N-1)2NN线性性质：DF7[ax(n)+bx(n)]二aDFT[x(n)]+bDFT[x(n)]1212注意:若x1(n)和x2(n)分别是N1点和N2点的序列,则选择N亍max叫N2),将它们作N3点DFT处理。周期性：离散傅立叶变换(DFT)是周期序列DFS取主值区间形成的，因此序列x(n)及其DFTX(k)具有特性x(N-n)=x(-n)和X(N-k)二X(-k)。通常将结果N/2+1~N-1间的X(k)量值表示在k的负值区间。对称性：实序列x(n)的离散傅立叶变换可以表示为X(k)=Xr(k)+jXi(k)，其中实部为偶对称，虚部为奇对称，幅值|X(k)1=\；X2(k)+X2(k)为偶对称，相位申(k)=arctan^d为奇对称。r1xr(k)如果序列x(n)是实偶对称序列，则x(k)也是实偶对称，即X(N-k)=X(k)；如果序列x(n)是实奇对称序列，则x(k)是虚奇对称，即X(N-k)=-X(k)；如果序列x(n)是虚偶对称序列，则X(k)也是虚偶对称，即X(N-k)=X(k)；如果序列x(n)是虚奇对称序列，则x(k)是实奇对称，即X(N-k)=-X(k)。根据上述关系，对于实序列x(n)，贝U有X*(N-k)=X(k)；对于纯虚序列x(n)，则有X*(N-k)=-X(k)。三、实验内容(1)将实指数函数e-atu(t)抽样，作DFT，并作出实部、虚部和幅频、相频特性曲线。用到的M文件：function[Xk]=dft(xn,N)n=[0:1:N-1];k=[0:1:N-1];%rowvectorfornn=[0:1:N-1];k=[0:1:N-1];%rowvecorforkWN=exp(-j*2*pi/N);%Wnfactornk=n'*k;WNnk=WN.Ank;%DFTmatrixXk=xn*WNnk;程序和运行的结果：>>n=[0:127];Ts=1./32;t=n.*Ts;Xn=exp(-t);Xk=dft(Xn,128);subplot(4,1,1);stem(n,real(Xk),'r');title('实部图形')subplot(4,1,2);stem(n,imag(Xk),'b');title('虚部图形')subplot(4,1,3);stem(n,abs(Xk),'og');title('幅度图形')subplot(4,1,4);stem(n,angle(Xk),'m');title('相位图形')实部图形100120140虚部图形4020111111111illin.fl.r；..i..："：.i..：:.i.....r..,实部图形100120140虚部图形4020111111111illin.fl.r；..i..："：.i..：:.i.....r..,■40100120201406080相位图形00抽样程序与结果n=[0:0.5:63];Ts=1./64;t=n.*Ts;Xn=exp(-t);Xk=dft(Xn,127);stem(n,Xn)(2)将图3-2中的两个连续函数经抽样，作DFT,验证前述的四种奇偶特性，并作出幅频和相频特性曲线。图3-2两个有限时间连续函数第一个图的程序及结果：n=[0:31];Ts=1./32;t=n.*Ts;xn=t;yn=-t+2;Xk=dft(xn,32);Xk1=dft(yn,32);m=[Xk,Xk1];

subplot(4,1,1);stem(real(m),'.');title('实部')subplot(4,1,2);stem(imag(m),'.');title('虚部')subplot(4,1,3);stem(abs(m),'・')；title('幅度，)subplot(4,1,4);stem(angle(m),'.');title('相位')实部500-50010203040506070虚部相位50-5川悄［山山500-50010203040506070虚部相位50-5川悄［山山h山屮•屮册*IIIIII10203040506070第二个图的程序及结果：n=[0:31];Ts=1./64;t=n.*Ts;xn=(-t);yn=(-t)+2;Xk=dft(xn,32);Xk1=dft(yn,32);m=[Xk,Xk1];subplot(4,1,1);stem(real(m),'・')；title('实部')subplot(4,1,2);stem(imag(m),'.');title('虚部，)subplot(4,1,3);stem(abs(m),，.，);title