2021全国中考真题分类汇编-三角形 特殊三角形

2021全国中考真题分类汇编（三角形）

---特殊三角形

一、选择题

1.（2021•江苏省扬州）如图，在4x4的正方形网格中有两个格点A、B,连接A3,在网格中再找一个

格点C,使得△ABC是等腰直曲三角形，满足条件的格点C的个数是（）

2.（2021•山东省临沂市）如图，点A,8都在格点上，若BC=^亘，则AC的长为（）

A.5B.C.2万D.3713

3

3.（2021•山西）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理.这种根

据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明实际上它也可用于验证数与代数，图形

与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（）

A.统计思想B.分类思想C.数形结合思想D.函数思想

4.（2021•浙江省杭州）已知线段48,按如下步骤作图：①作射线AC,使ACLA&②悴4BAC的平分

线AD,③以点A为圆心,AB长为半径作弧，交AD于E；④过点E作EPYAB于点P,则AP：AB=（）

Cl

幺片------------j-----“

A.1：B.1：2C.1：,\/3D.1：yfQ.

5.（2021•四川省乐山市）如图，已知点尸是菱形A3CD的对角线AC延长线上一点，过点P分别作AD>

QC延长线的垂线，垂足分别为点E、若NA6C=12O。，A5=2，则PE—PE的值为（）

6.（2021•四川省自贡市）如图，A（8,0）,C（-2,0）,以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于

点B，则点8的坐标为（）

A.（0,5）B.（5,0）C.（6,0）D.（0,6）

7.（2021•浙江省绍兴市）如图，菱形ABCD中，/B=60°,点P从点B出发，沿折线BC-C。方向移

动，移动到点。停止.在aAB尸形状的变化过程中（）

D.

A.直角三角形一等边三角形一等腰三角形一直角三角形

B.直角三角形一等腰三角形一直角三角形一等边三角形

C.直角三角形一等边三角形一直角三角形一等腰三角形

D.等腰三角形一等边三角形一直角三角形一等腰三角形

8.（2021•新疆）如图，在中，ZACB=90°,ZA=30°,AB=4，于点。，E

是48的中点，则OE的长为（）

C.3D.4

9.（2021•浙江省宁波市）如图，在AA6c中，ZB=45°,NC=60°,AZ），3C于点。，BD=#）.若

则即的长为（）

A.叵B.也C.1

32D-T

10.（2021•甘肃省定西市）如图1,在△ABC中，AB=BC,B£>_LAC于点。（A£>>8£>）.动点/从A点

出发，沿折线AB-BC方向运动，运动到点C停止.设点M的运动路程为x,△AMQ的面积为y,y与x

的函数图象如图2,则AC的长为（）

11.（2021•广西玉林市）图（1）,在RhABC中，NA=90°,点尸从点A出发，沿三角形边以1cm

/秒的速度逆时针运动一周，图（2）是点P运动时，线段AP的长度》（cm）随运动时间x（秒）变化的

关系图象，则图（2）中P点的坐标是（）

A.(13,4.5)B.(13,4.8)

C.(13,5)D.(13,5.5)

12.（2021•江苏省无锡市）在RtZ\ABC中，ZA=90°,AB=6,AC=8,点尸是△ABC所在平面内一点，

则抬2+PB2+PC2取得最小值时，下列结论正确的是（）

A.点P是aABC三边垂直平分线的交点

B.点P是△ABC三条内角平分线的交点

C.点P是△A8C三条高的交点

D.点P是aABC三条中线的交点

13.（2021•贵州省铜仁市）如图，在故A48c中，ZC=90°,AB=10,8c=8,按下列步骤作图:

步骤1：以点A为圆心，小于AC的长为半径作弧分别交AC、43于点。、E.步骤2：分别以点。、

E为圆心，大于1。后的长为半径作弧，两弧交于点M.步骤3：作射线AM交3C于点则AF的

2

长为（)

A.6B.375C.48D.6丘

14.（2021•襄阳市）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（j/a）生其

中，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.间水深几何."（丈、尺是长度单位，1丈=10尺，）其大意为：有

一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦

苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度是多少？则水深为（）

A.10尺B.11尺C12尺D.13尺

15.（2021•吉林省长春市）在△ABC中，N8AC=90°,AB^AC.用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一

点。，使△ACQ为等腰三角形.下列作法不正确的是（）

16.（2021•湖北省黄石市）如图，在RtaABC中，ZACB=90°,按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长

为半径作弧，分别交BA、BC于M、N两点；②分别以M、N为圆心，以大于‘MN的长为半径作弧，两弧相交

2

于点P;③作射线BP,交边AC于D点.若AB=10,BC=6,则线段CD的长为（）

10816

A.3B.C.D.

335

17.（2021•绥化市）已知在心AACB中，ZC=90°,ZABC=75°,AB=5.点E为边AC上的动点,

点F为边A3上的动点，则线段五£+£3的最小值是（）

A,史BC.亚D.G

2-I

18.（2021•辽宁省本溪市）如图，在AABC中，4B=BC,由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC

交于点E,点尸为的中点，连接上户，若BE=AC=2,则的周长为（）

y/5+3C.75+1D.4

二.填空题

1.（2021•湖北省黄冈市）在Rt/XABC中，ZC=90°,NB=30°,适当长为半径画弧，分别交AC,F；

再分别以点£尸为圆心尸的长为半径画弧，两弧交于点8您豺线AO爻BC干点O,则BD与CD

2

的数量关系为:.

2.（2021•江苏省苏州市）如图，在由ZiABC中，/C=90°.AF=EF.若NCFE=72°.则NB=▲°.

B

C

3.（2021•江苏省扬州）如图，在mAABC中，NACB=90°,点。是AB的中点，过点。作。EL8C,

垂足为点E,连接CO,若CD=5,5c=8,则。£=.

4.（2021•湖南省娄底市）如图，8c中，46=4。=2,尸是8。上任意一点，PELAB于点

E,PF，AC于点凡若S4ABC=1，则PE+PF=.

5.（2021•四川省成都市）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为.

6.（2021•四川省眉山市）如图，ZVIBC中，AB=AC=5,8C=6,A£＞平分NBAC交BC于点。，分别以

点A和点C为圆心，大于L1C的长为半径作弧，两弧相交于点M和点M作直线MN,交AO于点E,

2

则DE的长为

7.（2021•浙江省杭州）如图，在直角坐标系中，以点A（3,1）,AC,AD（1,1）,点C（1,3）,点D

（4,4）（5,2）,则NBACZDAE（填中的一个）.

8.（2021•浙江省绍兴市））如图，在△A8C中，A8=AC,ZABC=70°,以点C为圆心，CA长为半径作

弧，交直线BC于点P,连结4P,则N84P的度数是.

9.（2021•江苏省盐城市）如图，在Rt/SABC中，CD为斜边AB上的中线，若CD=2,则AB=

10.（2021•齐齐哈尔市）若直角三角形其中两条边的长分别为3,4,则该直角三角形斜边上的高的长为

11.（2021•贵州省铜仁市）如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A顺时针旋转30。到AAGQ的位置,

则阴影部分的面积是

12.（2021•深圳）如图，已知N84C=60°,是角平分线且A£>=10,作AD的垂直平分线交AC于

点F,作则△0EF周长为.

13.（2021•江苏省南京市）如图，在四边形A6CO中，AB=BC=BD.设NA6C=a,则ZADC=

______（用含a的代数式表示）.

14.（2021•广西贺州市）如图，一次函数y=x+4与坐标轴分别交于A,3两点，点P,C分别是线

段A3，OB上的点，且ZOPC=45°,PC=PO,则点P的标为.

三、解答题

1.（2021•江西省）如图，在△A8C中，/A=40°,ZABC=80°,BE平分/ABC交AC于点E,ED

_L4B于点£）,求证：AD=BD.

2.（2021•浙江省杭州）如图，在△A8C中，NABC的平分线80交AC边于点力，NC=45°.

（1）求证：AB=BD；

（2）若AE=3,求△ABC的面积.

3.（2021•长沙市）如图，在△A8C中，ADL8C,垂足。，80=CD,延长至E,使得C£=C4,

连接AE.

(1)求证：ZB=ZACB-.

(2)若AB=5,4)=4,求/XABE的周长和面积.

答案

一、选择题

1.（2021•江苏省扬州）如图，在4x4的正方形网格中有两个格点A、B,连接A3，在网格中再找一个

格点C,使得△ABC是写暧亶革三角形，满足条件的格点C的个数是（）

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC

其中的一条腰.

【详解】解：如图：分情况讨论：

①AB为等腰直角△A8C底边时，符合条件的C点有0个；

②A8为等腰直角△A8C其中的一条腰时，符合条件的C点有3个.

故共有3个点，

故选：B.

2.（2021•山东省临沂市）如图，点A,8都在格点上，若8c=2Z亘，则AC的长为（）

B.............................

A.Vl3B.C.2VI3D.3VT3

3

【分析】根据勾股定理可以得到AB的长，然后由图可知AC=4B-BC,然后代入数据计算即可.

【解答】解：由图可得，

AB=4铲+&2=V36+16=V^2=2^/13>

:BC=

3__

：.AC^AB-BC=2yfu-20^,=当垣,

33

故选：B.

3.（2021•山西）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理.这种根

据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明实际上它也可用于验证数与代数，图形

与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（C）

A.统计思想B.分类思想C.数形结合思想D.函数思想

4.（2021•浙江省杭州）已知线段AB,按如下步骤作图：①作射线AC,使ACLAB；②忤4BAC的平分

线AD,③以点A为圆心,AB长为半径作弧，交AD于E；④过点E作EP1AB于点P,则4P：A8=（）

Cl

cpu

A.I：B.I：2C.1：,\/3D.1：yfQ.

【分析】直接利用基本作图方法得出AP=PE,再结合等腰直角三角形的性质表示出AE/P的长，即可得

出答案.

【解答】解：•.•ACLAB,

：.ZCAB=90°,

：A。平分NBAC,

，/EA8=2X90°=45°,

2

'：EP±AB,

.,.N4PE=90°,

：.ZEAP=ZAEP=45a,

：.AP=PE,

.•.设AP=PE=x,

故AE=AB--\[7x,

.".AP：AB=x:-\[2x=1:

故选：D.

5.（2021•四川省乐山市）如图，已知点P是菱形A6C。的对角线AC延长线上一点，过点P分别作AO、

【答案】B

【解析】

【分析】根据菱形的基性质，得到/附E=30。，，利用勾股理求出AC=26,则4P=2g+PC,PE^^AP=

y[3+-PC,由/Pb=/OC4=30°,得至iJPgLpC,最后算出结果.

22

【详解】解：•・•四边形"CO是菱形且NA8C=120。，A8=2,

：.AB=BC=CD=DA=2fZBAD=60°,ACLBD,

；・NCAE=30°,

9

'.AC±BD,ZCAE=30°fAD=2,

•••AC=2V^P=26，

：.AP=2y/3+PC,

在直角中，

VZB4£=30°,AP=26+PC，

：.PE=^AP=y/3+-^PC,

在直角△「入?中，

VZPCF=30°,

：.PF=—PC,

2

，PE-PF=A；PC-gpC=5

故选：B.

6.（2021•四川省自贡市）如图，4（8,0）,C（—2,0）,以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于

点8,则点2的坐标为（）

A.（0,5）B.（5,0）C.（6,0）D.（0,6）

【答案】D

【解析】

【分析】先根据题意得出OA=8,OC=2,再根据勾股定理计算即可

【详解】解：由题意可知：AC=AB

VA（8,0）,C（-2,0）

：.OA=S,OC=2

.*.AC=AB=10

在Rt^OAB中，OB=7AB2-（9A2=V102-82=6

6）

故选：D

7.（2021•浙江省绍兴市）如图，菱形ABC。中，NB=60°,点P从点B出发，沿折线BC-C。方向移

动，移动到点。停止.在AAB尸形状的变化过程中（）

A.直角三角形分等边三角形一等腰三角形一直角三角形

B.直角三角形一等腰三角形一直角三角形一等边三角形

C.直角三角形一等边三角形一直角三角形一等腰三角形

D.等腰三角形一等边三角形-直角三角形一等腰三角形

【分析】把点尸从点8出发，沿折线BC-C。方向移动的整个过程，逐次考虑确定三角形的形状即可。

【解答】解：：/8=60°,故菱形由两个等边三角形组合而成，

当APLBC时，此时△ABP为等腰三角形；

当点P到达点C处时，此时△A8P为等边三角形；

当点P在CQ上且位于AB的中垂线时，则△ABP为等腰三角形；

当点P与点。重合时，此时△ABP为等腰三角形，

故选：C.

8.（2021•新疆）如图，在四△ABC中，ZACB=90°，NA=30°,AB=4，C£）J_A8于点O,E

是A8的中点，则。E的长为（）

【答案】A

9.（2021•浙江省宁波市）如图，在△MC中，ZB=45°,NC=60°,AZ），3C于点。，BD=6若

A.且B.3C.1D.逅

322

【答案】C

【解析】

【分析】根据条件可知△AB。为等腰直角三角形，则BO=AO,△ADC是30°、60°的直角三角形，可求

Ar

出AC长，再根据中位线定理可知无尸二——o

2

【详解】解：因为AO垂直3C,

则△ABO和△AC。都是直角三角形,

又因为NB=45°,NC=60。，

所以AD=BD=yfi，

,万A。>/3

因为sinZC=---=,

AC2

所以AC=2,

因为EF为△ABC的中位线，

…AC

所以*——二］,

2

故选：C.

10.（2021•甘肃省定西市）如图1,在△4BC中，AB=BC,BO_LAC于点。（AD>BD）.动点M从A点

出发，沿折线48fBe方向运动，运动到点C停止.设点M的运动路程为x,的面积为y,y与x

的函数图象如图2,则AC的长为（）

【分析】先根据AB=8C结合图2得出48=任，进而利用勾股定理得，AD2+Biy^l3,再由运动结

合△AQM的面积的变化，得出点M和点8重合时，△AOM的面积最大，其值为3,即

2

进而建立二元二次方程组求解，即可得出结论.

【解答】解：由图2知，AB+BC=2-/l3,

'：AB=BC,

•'-AB—y/13,

'：AB=BC,BD1.BC,

：.AC=2AD,NAOB=90°,

在Rt/\ABD中,AD2+BD2=AB2=13①，

设点M到AC的距离为"，

-'.S^ADM=-AD'h,

•动点M从A点出发，沿折线AB-BC方向运动，

当点M运动到点8时，△AOM的面积最大，即〃=8£>,

由图2知，的面积最大为3,

-AD'BC^3,

2

：.AD'BD=6®,

①+2X②得，AD2+BD2+240^0=13+2X6=25,

：.（AD+BD）2=25,

：.AD+BD^5（负值舍去），

：.BD=5-AD@,

将③代入②得，AD（5-AD）=6,

；.4。=3或AO=2,

"：AD>BD,

：.AD=3,

：.AC=2AD=6,

故选:B.

11.（2021•广西玉林市）图（1）,在RhABC中，NA=90。，点P从点A出发，沿三角形边以1cm

/秒的速度逆时针运动一周，图（2）是点尸运动时，线段AP的长度y（cm）随运动时间X（秒）变化的

关系图象，则图（2）中尸点的坐标是（）

A.(13,4.5)B.(13,4.8)

C.(13,5)D.(13,5.5)

【答案】c

12.（2021•江苏省无锡市）在RtZ\ABC中，NA=90°,4B=6,AC=8,点P是△ABC所在平面内一点,

则以2+PB2+PC2取得最小值时，下列结论正确的是（)

A.点P是aABC三边垂直平分线的交点

B.点P是△ABC三条内角平分线的交点

C.点尸是aABC三条高的交点

D.点P是aABC三条中线的交点

【分析】过P作PO_LAC于。，过P作PE_LAB于E,延长CP交AB于M,延长BP交4c于N,设AO

=PE=x,AE=DP=y,则AP2+CP1+BP2=3(x-2)2+3(y-A)2+^M,当x=2,y=当寸，AP2+CP2+BP2

333

的值最大，此时AZ)=PE=2,AE=PD=&由迪=2C,得AM=4,M是A8的中点，同理可得AN

3PDCD

=」AC,N为AC中点，即P是AABC三条中线的交点.

2

【解答】解：过P作P£>_LAC于。，过P作PE_LAB于E,延长CP交AB于M,延长BP交AC于N,

如图：

四边形4EP。是矩形，

设AO=PE=x,AE=DP=y,

RtZ\AEP中，人产=/+丫2,

为△COP中，3=(6-x)2+y2,

《△8EP中，8尸=/+(8-y)2,

.".AP2+CP2+BP2=x1+y2+(6-x)1+yi+j?+(8-y)2

=3/-12X+3)2-16y+100

=3(x-2)2+3(j-&)2+.20Q,

33

；.x=2,y=a时，4尸+。尸+8尸的值最大，

-3

此时A£>=PE=2,AE=PD=&,

3

；/A=90°,PDLAC,

：.PD//AB,

.AM=AC即迪=旦

"PDCD*'AT

3

；.AM=4,

：.AM=^AB,即M是AB的中点，

2

同理可得AN=LC,N为AC中点,

2

是AABC三条中线的交点，

故选：D.

13.（2021•贵州省铜仁市）如图，在放A48C中，NC=90°,A6=10,8c=8,按下列步骤作图:

步骤1：以点A为圆心，小于AC的长为半径作弧分别交AC、AB于点。、E.步骤2：分别以点。、

E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点M.步骤3：作射线A〃交BC于点尸.则A尸的

2

长为（）

A.6B.375c.4GD.6&

【答案】B

14.（2021•襄阳市）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭。诂）生其

中，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.间水深几何.”（丈、尺是长度单位，I丈=10尺，）其大意为：有

一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦

苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度是多少？则水深为（）

k-10—

A.10尺B.11尺C.12尺D.13尺

【答案】C

15.（2021•吉林省长春市）在△ABC中，/BAC=90°,ABHAC.用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一

点。，使△ACD为等腰三角形.下列作法不正确的是（）

【分析】根据等腰三角形的定义一一判断即可.

【解答】解：4、由作图可知A。是△ABC的角平分线，推不出△ADC是等腰三角形，本选项符合题意.

B、由作图可知CA=C£>,△AOC是等腰三角形，本选项不符合题意.

C、由作图可知D4=C£>,△AQC是等腰三角形，本选项不符合题意.

£>、由作图可知8£>=C£>,推出AD=OC=8£）,△AOC是等腰三角形，本选项不符合题意.

故选：A.

16.（2021•湖北省黄石市）如图，在RtZ\ABC中，ZACB=90°,按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长

为半径作弧，分别交BA、BC于M、N两点；②分别以M、N为圆心，以大于'MN的长为半径作弧，两弧相交

2

于点P;③作射线BP,交边AC于D点.若AB=10,BC=6,则线段CD的长为（）

【答案】A

【解析】

【分析】由尺规作图痕迹可知，8。是/ABC的角平分线，过。点作于H点，设。C=ZW=x则

AD=AC-DC=S-x,BC=BH=6,AH=AB-BH=4,在RtZ\AZ）H中，由勾股定理得到（8-工y=/+42,由此

即可求出x的值.

【详解】解：由尺规作图痕迹可知，8。是/A8C的角平分线,

过。点作于〃点，

D

N

•；NC=NDHB=90。,

:,DC=DH,

AC=\lAB2-BC2=4102-62=8'

DC=DH=x,贝|JAD=AC-DC=8-x,BC=BH=6,AH=AB-BH=4,

在Rt^AOH中，由勾股定理：AD2=AH2+DH2>

代入数据：（8-X）2=X2+42,解得X=3,故8=3,

故选：A.

17.（2021•绥化市）已知在RRACB中，NC=90°,NABC=75°,AB=5.点E为边AC上的动点,

点F为边A3上的动点，则线段FE+4的最小值是（）

A.—B.-C.石D.6

22

【答案】B

【解析】

【分析】作点F关于直线AB的对称点尸，如下图所示，止匕时再由点到直线的距离垂线

段长度最短求解即可.

【详解】解：作点尸关于直线A8的对称点尸，连接/厂’，如下图所示：

由对称性可知，EF=EF',

此时EF+EB=EF'+EB,

由“点到直线的距离垂线段长度最小”可知，

当8尸，/小时，EF+EB有最小值BFo,此时E位于上图中的Eo位置,

由对称性知，ZCAFo=ZBAC=900-75°=15°,

ZBAFo=3O°,

由直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半可知，

1「5

BFo=—AB——x5=—,

222

故选：B.

18.（2021•辽宁省本溪市）如图，在△A5C中，AB=BC,由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC

交于点E,点尸为8C的中点，连接EF，若BE=AC=2,则△CM的周长为（）

【答案】C

【解析】

【分析】根据作图可知BD平分NABC,AB=BC,由三线合一，解Rt△BEC,即可求得.

【详解】：8。平分ZA6C,AB=8C,B£=AC=2

:.BE±AC,AE^EC^-AC=\

2

BC=yjBE2+EC2=V22+l2=V5

,:点、F为BC的中点

•••EF=~BC=FC=—

22

•••△CEF的周长为：

CE+EF+FC=l+—+—=y/5+l

22

故选C.

二.填空题

1.（2021•湖北省黄冈市）在RtZXABC中，NC=90°,ZB=30°,适当长为半径画弧，分别交AC,F；

再分别以点E,尸为圆心厂的长为半径画弧，两弧交于点8作我线A。交8c子点O,则BD与CD

2

的数量关系为:BD=2CD.

【分析】证明4。=。8=2。£),可得结论.

【解答】解：・.・/C=90°,N8=30°,

：.ZCAB=90°-30°=60°,

由作图可知AD平分NCAB,

・・・NCAD=NB4O=30°,

：.AD=2CDf

VZBAD=ZB=30°,

；.AD=DB,

:・BD=2CD,

故答案为：BD=2CD.

2.（2021•江苏省苏州市）如图，在劭△ABC中，NC=90。.AF=EE若NC尸E=72。.则NB=

B

F

【分析】根据等边对等角可得=再根据/4+NAE/=NCFE=72°,求出NA的度数，最后

根据在Rt/XABC中，ZC=90°,即可求出/B的度数.

【解答】解：

ZA=ZAEF,

；NA+NAEF=NCFE=72",

：.ZA=AX72°=36°,

2

在RtZ\ABC中，/A=36°,

：.ZB=90°-36°=54°.

故答案为：54.

3.(2021•江苏省扬州)如图，在&5c中，NACB=9O°,点。是A3的中点，过点。作OEL3C,

垂足为点E,连接CZ),若8=5,BC=8,贝ijOE=.

【答案】3

【解析】

r\pr)r\i

【分析】根据直角三角形的性质得到48=10,利用勾股定理求出AC,再说明DE//AC,得至lj匕=丝==,

ACAB2

即可求出DE.

【详解】解：・・・NACB=90。，点。为A8中点，

AAB=2CD=10,

VBC=8,

-AC=yjAB2-BC2=6，

•；DE_LBC,AC±BCf

：.DE//AC,

,DEBD\DEBD1

・・----=-----=—,un|Jn-----=-----=—

ACAB26A82

：.DE=3,

故答案为：3.

4.（2021•湖南省娄底市）如图，AAbC中，48=4。=2,尸是3。上任意一点,PELAB于点

E,PFJ.AC于点尸，若SA4BC=1,则PE+PF

【答案】1

【解析】

【分析】将AABC的面积拆成两个三角形面积之和，即可间接求出PE+PF的值.

【详解】解：连接AP,如下图：

PE上AB于点E,PF工AC于点F，

S^ABC=SJPC+SWB=1

S^APC+S^APB=^ACPF+^ABPE

・・・4?=AC=2,

S△AP尸Cc+S4mAPtsB=PF+PE=1,

:.PE+PF=1，

故答案是：1.

5.（2021•四川省成都市）如图，数字代表所在正方形的面积，则4所代表的正方形的面积为

【分析】三个正方形的边长正好构成直角三角形的三边，根据勾股定理得到字母A所代表的正方形的面

积A=36+64=100.

【解答】解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方=36,一直角边的平方=64,

则斜边的平方=36+64=100.

故答案为100.

6.（2021•四川省眉山市）如图，ZVIBC中，AB=AC=5,BC=6,AQ平分NBAC交BC于点。，分别以

点A和点C为圆心，大于L1C的长为半径作弧，两弧相交于点M和点M作直线MM交A。于点E,

2

则OE的长为1

【分析】直接利用基本作图方法结合线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理分别得出

0a4。的长，即可得出OE的长.

【解答】解：如图所示：连接EC,

由作图方法可得：垂直平分AC,

则AE=EC,

'：AB=AC=5,BC=6,平分/BAC交2c于点。，

：.BD=DC^3ADA.BC,

在Rt^ABD中，AD=VAB2-BD2=必二P=4,

设£>E=x，则AE=EC=4-x,

在RtA£Z)C中，

DE1+DC2=EC2,

即X2+32=(4-x)2,

解得：X=工，

8

故。E的长为工.

8

故答案为：工.

7.(2021•浙江省杭州)如图，在直角坐标系中，以点4(3,1),AC,AD(1,1),点C(1,3),点D

(4,4)(5,2),则NBAC=NDAE(填中的一个).

【分析】在直角坐标系中构造直角三角形，根据三角形边之间的关系推出角之间的关系.

【解答】解：连接OE,

由上图可知AB—2,BC—2,

：./\ABC是等腰直角三角形，

.•.NB4C-45°,

22=：

又■:AE=7AF4+EF2=V2+l"

同理可得DE=^22+52=V5>

4Z）=y2+28=~\j]0,

则在△ADE中，有AE2+D£2—AD7,

...△AOE是等腰直角三角形，

；./£>AE=45°,

ZBAC=ZDAE,

故答案为：=

8.（2021•浙江省绍兴市））如图，在AABC中，AB=AC,NA8C=70°,以点C为圆心，CA长为半径作

弧，交直线BC于点P,连结AP,则N8AP的度数是15°或75°.

【分析】根据等腰三角形的性质可以得到AABC各内角的关系，然后根据题意，画出图形，利用分类讨

论的方法求出NBAP的度数即可.

【解答】解：如右图所示，

当点P在点8的左侧时，

*：AB=AC,NA8C=70°,

AZACB=ABC=1Q°,

AZBAC=180°-ZACB-ZABC=180°-70°-70°=40°,

,.,CA=CP1,

180°-/ACP〔Ior)0-7(1。

：.ZCAP\=ZCPbA=--------------1=2^——_=55°，

23

：.ZBAP\=ZCAP\-ZCAB=55°-40°=15°；

当点P在点C的右侧时，

*：AB=AC,NABC=70°,

/.ZACB=ABC=10°,

AZBAC=180°-ZACB-ZABC=180°-70°-70°=40°，

,:CA=CP4,

NC4P2=NCPIA=/MB=2^=35。,

52

.".ZBAP2=ZCAP2-ZCAB=35°+40°=75'

由上可得，N8AP的度数是15°或75°,

故答案为：15°或75°.

9.（2021•江苏省盐城市）如图，在RtaABC中，CC为斜边A8上的中线，若C£>=2,则AB=4

D

-----------------------------------

【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出co=LB,代入求出答案即可.

2

【解答】解：：NACB=90°,8为aABC斜边AB上的中线，

：.CD=^AB,

2

■:CD=2,

：.AB=2CD=4,

故答案为：4.

10.（2021•齐齐哈尔市）若直角三角形其中两条边的长分别为3,4,则该直角三角形斜边上的高的长为

【答案】2.4或9

4

【解析】

【分析】分两种情况：直角三角形的两直角边为3、4或直角三角形一条直角边为3,斜边为4,首先根据

勾股定理即可求第三边的长度，再根据三角形的面积即可解题.

【详解】若直角三角形的两直角边为3、4,则斜边长为J32+42=5,

设直角三角形斜边上的高为h,

—x3x4=-x5/z,

22

/.h=2.4.

若直角三角形一条直角边为3,斜边为4,则另一条直角边为“2-32=不

设直角三角形斜边上的高为h,

—x3xV?=—x4/z,

22

,,377

••ll--------

4

故答案为：2.4或地.

4

11.（2021•贵州省铜仁市）如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A顺时针旋转30。到AB.C.D,的位置,

则阴影部分的面积是

【答案】2-2叵

3

12.（2021•深圳）如图，已知NB4c=60。，是角平分线且AD=10,作AO的垂直平分线交AC于

【解答】DF=AF（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）

CAnrF=DE+EF+AF=AE+DE

•••N3AC=60°,A£＞是角平分线

ZZME=30°

AD=10

DE=5,AE=5上

=5+5百

13.（2021•江苏省南京市）如图，在四边形ABC。中，AB=BC=BD.设NA8C=cz,则ZADC=

（用含a的代数式表示）.

D

6

【答案】1800--a

2

【解析】

【分析】由等腰的性质可得：ZADB=9Q0--ZABD,ZBDC=9Q°--ZCBD,两角相加即可得到结论.

22

【详解】解：在△AB。中，AB=BD

：.ZA=ZADB=-(180°-NABD)=90°--ZABD

22

在△