不等关系及绝对值不等式及习题

PAGE..不等式和根本不等式一．知识梳理1.实数大小的比拟方法(1)作差法：a>b⇔a-b>0，a<b⇔a-b<0，a=b⇔a-b=02.不等式的性质

(1)性质1:如果a>b,则b<a;如果b<a,则a>b.

(2)性质2:如果a>b,b>c,则a>c.

(2)性质3:如果a>b,则a+c>b+c.

推论:如果a>b,c>d,则a+c>b+d.

(4)性质4:如果a>b,c>0,则ac>bc;，如果a>b,c<0,则ac<bc.

推论1:如果a>b>0,c>d>0,则ac>bd.

推论2:如果a>b>0,则a2>b2.

推论3:如果a>b>0,则an>bn(n为正整数).

推论4:如果a>b>0,则(n为正整数).3.含有绝对值不等式

(1)定理:对任意实数a和b,有|a+b|≤|a|+|b|,其中等号成立的条件为ab≥0.

说明:①定理中的b以-b代替,则有|a-b|≤|a|+|b|.，其中等号成立的条件为ab≤0.

②对任意实数a和b,有||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.(2)绝对值不等式的解法

解含有绝对值的不等式,关键在于利用绝对值的意义,设法去掉绝对值符号,把它转化为一个或几个普通不等式或不等式组,常用的方法有定义法、平方法、公式法等.4.平均值不等式定理1:对任意实数a,b,有a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取"=〞号).定理2;定理3:对任意三个正数a,b,c,有a3+b3+c3≥3abc(当且仅当a=b=c时取"=〞号).二．典例分析题型一比拟两个数的大小点评:比拟两个实数的大小,可以用作差法或作商法,假设含有未知字母,注意分类讨论.练习1:a,b,c∈R+,且b<c,比拟ab与ac+bc的大小.题型二绝对值三角不等式定理的应用对于绝对值三角不等式定理：|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，要从以下两个方面深刻理解：(1)两端的等号成立的条件在解题时经常用到，特别是用此定理求函数的最大(小)值时．(2)该定理可以推广为|a＋b＋c|≤|a|＋|b|＋|c|，也可强化为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它们经常用于含绝对值的不等式的推证．例2〔1〕f(*)＝|3－*|＋|*－2|的最小值为________．〔2〕假设不等式|*-a|+|*-2|≥1对任意实数*均成立,则实数a的取值围是________.练习2f(*)=|*-1|+|2*+3|.假设f(*)≥m对一切*∈R都成立,数m的取值围;

题型三绝对值不等式的解法(1)形如|*＋a|±|*－b|≥c不等式的解法常用零点分段讨论法，其步骤为：①求零点；②划分区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，特别注意在分段时不要漏掉区间的端点值．(2)上述不等式也可用|*－a1|±|*－a2|的几何意义去求解集．例3解以下不等式：(1)|*－1|<2；(2)|*2－1|>3；(3)|*2－2*＋4|>2*；(4)4|*＋6|<3－2*.〔5〕2|*|+|*-1|<2例4函数f(*)＝|2*＋1|－|*－3|.(1)解不等式f(*)≤4；(2)假设存在*使得f(*)＋a≤0成立，数a的取值围．题型四绝对值不等式的证明例5假设|a-b|>c,|b-c|<a,求证:c<a.点评:绝对值不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|的几何意义是:三角形任意两边之差小于第三边,三角形任意两边之和大于第三边,在运用时注意等号成立的条件.题型五利用不等式求最值练习5:θ为锐角,求y=sinθcos2θ的最大值.三高考回忆(2010·新课标全国卷，理)(本小题总分值10分)设函数f(*)＝|2*－4|＋1.(1)画出函数y＝f(*)的图像；(2)假设不等式f(*)≤a*的解集非空，求a的取值围．例9(2010·卷，理)函数f(*)＝|*－a|.①假设不等式f(*)≤3的解集为{*|－1≤*≤5}，数a的值；②在①的条件下，假设f(*)＋f(*＋5)≥m对一切实数*恒成立，数m的取值围．四家庭作业一、选择题

1〔2011年理高考题7〕a＞0，b＞0，a+b=2，则y=的最小值是 A． B．4 C． D．52.〔2011年全国高考大纲理3〕下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是 A． B． C． D．3〔2011年高考题理15〕假设，且，则以下不等式中，恒成立的是 A． B． C．D D．4.设a>0,b>0,以下不等式中不成立的是5.设a,b,c是互不相等的正数,则以下等式中不恒成立的是6.函数y=|*+1|-|*-1|的最大值是()A.1B.2C.-2D.不存在7.设a,b∈R,a2+2b2=6,则a+b的最小值为8.不等式|*-1|+|*+2|≥5的解集为()9.设a>1,方程|*+loga*|=|*|+|loga*|的解是()

A.0≤*≤1B.*≥1C.*≥aD.0<*≤a二、填空题11.假设5-*>7|*+1|与不等式a*2+b*-2>0同解,而|*-a|+|*-b|≤k的解集为空集,则k的取值围为________.12.设正数a,b,c,d满足a+d=b+c,且|a-d|<|b-c|,则ad与bc的大小关系是________.三、解答题14.(2009·)如图,O为数轴的原点,A,B,M为数轴上三点,C为线段OM上的动点,设*表示C与原点的距离,y表示C到A距离4倍与C与B的距离的6倍的和.

(1)将y表示成*的函数;

(2)要使y的值不超过70,*应该在什么围取值、答案：练习1解:ab-(ac+bc)=a(b-c)-bc,∵b<c,∴b-c<0,又a>0,∴a(b-c)<0,

∵b>0,c>0,∴bc>0,-bc<0,∴a(b-c)-bc<0,∴ab<ac+bc.例2〔1〕解析：∵|3－*|＋|*－2|≥|3－*＋(*－2)|＝1，∴f(*)min＝1.，答案：1〔2〕解析:由题得|*-a|+|*-2|≥|(*-a)-(*-2)|=|a-2|,∴|a-2|≥1,解得a∈(-∞,1]∪例3【思路分析】这四个小题分别代表四个根本类型．【解析】(1)原不等式等价于－2<*－1<2，解得{*|－1<*<3}．(2)原不等式等价于*2－1>3或*2－1<－3，由*2－1>3，得*>2或*<－2.由*2－1<－3，得*2<－2无解．∴原不等式的解集为{*|*>2或*<－2}．(3)原不等式等价于①*2－2*＋4<－2*或②*2－2*＋4>2*.解①得无解，解②得*≠2.∴原不等式的解集为{*|*∈R且*≠2}．(4)原不等式等价于－eq\f(1,4)(3－2*)<*＋6<eq\f(1,4)(3－2*)．即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4*＋24>2*－3，,4*＋24<3－2*.))解之得－eq\f(27,2)<*<－eq\f(7,2).∴原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(*|－\f(27,2)<*<－\f(7,2)))例4练习3例5证明:由|a-b|>c,|b-c|<a,，所以c-a<|a-b|-|b-c|≤|(a-b)+(b-c)|=|a-c|=|c-a|

由c-a<|c-a|知c-a<0,所以c<a.例6〔1〕〔2〕练习5：例7答案:B练习6例8【解析】(1)由于f(*)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2*＋5，*<2，,2*－3，*≥2，))则函数y＝f(*)的图象如下图．(2)由函数y＝f(*)与函数y＝a*的图象可知，当且仅当a≥eq\f(1,2)或a<－2时，函数y＝f(*)与函数y＝a*的图象有交点．故不等式f(*)≤a*的解集非空时，a的取值围为(－∞，－2)∪[eq\f(1,2)，＋∞)．例9【解析】解法一①由f(*)≤3得|*－a|≤3，解得a－3≤*≤a＋3.又不等式f(*)≤3的解集为{*|－1≤*≤5}，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－3＝－1，,a＋3＝5，))解得a＝2.②当a＝2时，f(*)＝|*－2|.设g(*)＝f(*)＋f(*＋5)，于是g(*)＝|*－2|＋|*＋3|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2*－1，*＜－3；,5，－3≤*≤2；,2*＋1，*＞2)).所以当*＜－3时，g(*)＞5；当－3≤*≤2时，g(*)＝5；当*＞2时，g(*)＞5.综上可得，g(*)的最小值为5.从而，假设f(*)＋f(*＋5)≥m即g(*)≥m对一切实数*恒成立，则m的取值围为(－∞，5]．解法二①同解法一．②当a＝2时，f(*)＝|*－2|.设g(*)＝f(*)＋f(*＋5)．由|*－2|＋|*＋3|≥|(*－2)－(*－3)|＝5(当且仅当－3≤*≤2时等号成立)得，g(*)的最小值为5.从而，假设f(*)＋f(*＋5)≥m即g(*)≥m对一切实数*恒成立，则m的取值围是(－∞，5]．家庭作业答1，【答案】C2，【答案】A3，答案:D，4.答案:D5，.答案:C,6，解析:|*+1|-|*-1|≤|*+1-*+1|=2,应选B.7，,8，答案:D9，解析:由题可知*与loga*同号,,又*>0,∴loga*≥0,∵a>1,∴*≥1.答案:B10，,11.解析:不等式5