中考几何证明题

几何证明◆典例精析【例题1】（天津）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8．（1）如图①，若半径为r1的⊙O1是Rt△ABC的内切圆，求r1；（2）如图②，若半径为r2的两个等圆⊙O1、⊙O2外切，且⊙O1与AC、AB相切，⊙O2与BC、AB相切，求r2；（3）如图③，当n是大于2的正整数时，若半径为rn的n个等圆⊙O1、⊙O2、…、⊙On依次外切，且⊙O1与AC、AB相切，⊙On与BC、AB相切，⊙O2、⊙O3、…、⊙On－1均与AB边相切，求rn．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB==10．如图，设⊙O1与Rt△ABC的边AB、BC、CA分别切于点D、E、F，连接O1D、O1E、O1F、AO1、BO1、CO1．于是，O1D⊥AB，O1E⊥BC，O1F⊥AC，S△AO1C=AC·O1F=AC·r1=3r1，S△BO1C=BC·O1E=BC·r1=4r1，S△AO1B=AB·O1D=AB·r1=5r1，S△ABC=AC·BC=24．又∵S△ABC=S△AO1C+S△BO1C+S△AO1B，∴24=3r1+4r1+5r1，∴r1=2．（2）如图，连接AO1、BO2、CO1、CO2、O1O2，则S△AO1C=AC·r2=3r2，S△BO2C=BC·r2=4r2，∵等圆⊙O1、⊙O2外切，∴O1O2=2r2，且O1O2∥AB．过点C作CM⊥AB于点M，交O1O2于点N，则CM==，CN=CM－r2=－r2，∴S△CO1O2=O1O2·CN=（－r2）r2，∴S梯形AO1O2B=（2r2+10）r2=（r2+5）r2．∵S△ABC=S△AO1C+S△BO2C+S△CO1O2+S梯形AO1O2B，∴24=3r2+4r2+（－r2）r2+（r2+5）r2．解得r2=．（3）如图，连接AO1、BOn、CO1、COn、O1On，则∴k=2或．评析：巧用面积法解题，可化难为易，应引起注意．◆中考演练一、填空题1．（黄冈）如图1，在ABCD中，EF∥AB，DE：EA=2：3，EF=4，则CD=_______．(1)(2)(3)(4)2．（四川）如图2，AB、AC是互相垂直的两条弦，AB=8cm，AC=6cm，则⊙O半径OA长为_______cm．二、选择题1．（福州）如图3，EF过矩形ABCD对角线交于点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的（）．A．B．C．D．2．（黄冈）如图4，△ABC中，AB=AC，D为BC中点，E为AD上任意一点，过C作CF∥AB交BE的延长线于F，交AC于G，连结CE，下列结论中不正确的是（）．A．AD平分∠BACB．BE=CFC．BE=CED．若BE=5，GE=4，则GF=三、解答题1．（长春）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=60°，AD=CD．E、F分别在AD、CD上，DE=CF，AF、BE交于点P，请你量一量∠BPF的度数，并证明你的结论．2．（青岛）已知：如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，且∠BCE=∠CAB，CE交AB的延长线于点E，AD⊥AB，交EC的延长线于点D．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若CE=3，BE=2，求CD的长．◆实战模拟一、填空题1．（四川）如图5，在半径为3的⊙O中，B是劣弧AC的中点，连结AB并延长到D，使BD=AB，连结AC、BC、CD．如果AB=2，那么CD=________．(5)(6)(7)2．（杭州）如图6，在等腰Rt△ABC中，AC=BC，以斜边AB为一边作等边△ABD，使点C、D在AB的同侧；再以CD为一边作等边△CDE，使点C、E在AD的异侧．若AE=1，则CD的长为________．3．（沈阳）如图7，已知在⊙O中，直径MN=10，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM、OP以及⊙O上，并且∠POM=45°，则AB的长为________．二、选择题1．（宁波）如图8，在四边形ABCD中，E是AB上一点，EC∥AD，DE∥BC．若S△BEC=1，S△BEC=3，则S△CDE等于（）．A．2B．C．D．(8)(9)(10)2．（河南）如图9，半径为4的两等圆相外切，它们的一条外公切线与两圆围成的阴影部分中，存在的最大圆的半径等于（）．A．B．C．D．13．（深圳）如图10，AB是⊙O直径，点D、E是半圆的三等分点，AE、BD延长线交于点C．若CE=2，则图中阴影部分的面积是（）．A．－B．C．－D．三、解答题1．（宁夏）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点E在直角边AC上（点E与A、C两点均不重合），点F在斜边AB上（点F与A、B两点均不重合）．（1）若EF平分Rt△ABC的周长，设AE的长为x，试用含x的代数式表示△AEF的面积；（2）是否存在线段EF将Rt△ABC的周长和面积同时平分？若存在，求出此时AE的长；若不存在，说明理由．2．（烟台）如图，从⊙O外一点A作⊙O的切线AC、AC，切点分别为B、C，且⊙O直径BD=6，连结CD、AO．（1）求证：CD∥AO；（2）设CD=x，AO=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）若AO+CD=11，求AB的长．答案:中考演练一、1．102．5二、1．B2．B三、1．证△ABE≌△DAF，∠BPF=120°2．（1）连结OC，证∠OCE=90°（2）CD=实战模拟一、1．2．3．