2021版理科数学全国通用版备战一轮复习第8节

第二章函数的概念及基本初等函数(I)第八节函数与方程及函数模型的应用-「谍时―跟踪检测］ 现科摆4贋升素札*两韓全L RJI t JfMCJJ1/LN€_I€」A级基础过关固根基|21.(2019届甘肃省平凉市模拟)函数f(x)=Inx—x2的零点所在的区间为( )A•(0,1) B・(1,2)C.(2,3) D.(3,4)解析：选B 由题意知，函数f(x)是(0,+^)上的增函数，因为f(1)<0,f(2)1=In2—2=In2—In:e>0,所以f(1)f(2)<0,所以函数f(x)的零点所在的区间是(1,2),故选B.2.(20192.(2019届福建省龙岩市期末)已知函数f(x)=x2—2x,x<0,1+xx>0,则函数y=f(x)+3x的零点个数是( )A.0B.CA.0B.C.2D.x<0,解析：选C令f(x)+3x=0,贝U213xx>0,或11+一+3x=0,x解得x=0AA.(0,+x)或x=—1,所以函数y=f(x)+3x的零点个数是2,故选C.(2019届河北九校第二次联考)若函数f(x)=kx—|x—e—x|有两个正实数零点，则k的取值范围是()10,eD.(0,e)解析：选C令D.(0,e)解析：选C令f(x)=kx—|x—ex|=0,得kx=|x—e当x>0时，k=x—e—xxe1+x 1 2x>0,则g'(x)=^2?">°，所以g(x)在(0,+x)上单调递增，因为g2=1—寸e<0,11g(1)=1—e>0，所以在2，1上存在一个a,使得g(a)=0,所以y=|g(x)|的图象如图所示•由题意知，要使直线y=k与y=|g(x)|的图象有两个交点，贝U0<k<1,故选C.(2019届洛阳模拟)某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月评价分数x(正常情况下0Wx<100,且教职工平均月评价分数在50分左右，若有突出贡献可以高于100分)计算当月绩效工资y(元)•要求绩效工资不低于500元，不设上限，且让大部分教职工绩效工资在600元左右，另外绩效工资越低或越高时，人数要越少，则下列函数最符合要求的是 ()y=(x—50)2+500_xy=1025+50013y=1000(x—50)3+625y=50[10+lg(2x+1)]解析：选C由题意知，拟定函数应满足：①是单调递增函数，且增长速度先快后慢再快；②在x=50左右增长速度较慢，最小值为500.A中，函数y=(x—50)2+500先减后增，不符合要求；B中，函数y=10宕+500是指数型函数，增长速度是越来越快，不符合要求； D中，函数y=50[10+lg(2x+1)]是对数型1TOC\o"1-5"\h\z函数，增长速度是越来越慢，不符合要求；而C中，函数y=1000(x—50)3+625是由函数y=x3经过平移和伸缩变换得到的，符合要求，故选 C.x一1(2019届长春市第一次质量监测)已知函数f(x)二与g(x)二1—sinn(,x—2则函数F(x)=f(x)—g(x)在区间[—2,6]上所有的零点的和为( )A.4 B.8C.12 D.16解析：选D令F(x)=f(x)—g(x)=0,得f(x)=g(x),在同一平面直角坐标系1中分别画出函数f(x)=1+ 与g(x)=1—sinn的图象，如图所示，x—2

又f(x),g(x)的图象都关于点(2,1)对称，结合图象可知，f(x)与g(x)的图象在［-2,6］上共有8个交点，交点的横坐标即F(x)=f(x)—g(x)的零点，由对称性可得，所有零点之和为4X2X2=16,故选D.TOC\o"1-5"\h\z1 i(2019届武汉市武昌区高三调考)已知函数f(x)=3x3+aqxJx+2，则f(x)的零点可能有( )A.1个 B.1个或2个C.1个或2个或3个 D.2个或3个1O 1 o3解析：选A因为2x2+x+2=2(x+1)2+2>0，所以令f(x)=0，贝Ua=13—13—3xg(x)=1 的图象的交lx2+x+2—322+4x+12=(x+2)2+8>0,所以g'x)w0,所以g(x)在(—x,+x)上单调递减,所以直线y=a与函数g(x)的图象可能有1个交点.所以f(x)的零点可能有1个,故选A.(2019届邯郸名校联考)某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传，在一年内预计销售量y(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为y=1+1 ,f(x)的零点可以转化为直线y=a与函数1^+x+2点的横坐标.212 13—x2^x+x+2+ (x+1)2x2+x2x2+x+22—6x4—3x3—2x22x2+x+2令g'x)=令g'x)=0，即一£x4—|x3—2x2=0,整理得,^x2•(x2+4x+12)=0，由于X^2(x>o)•已知生产此产品的年固定投入为4万元，每生产1万件此产品仍需再投入30万元，且能全部售完•若每件甲产品售价(元)定为“平均每件甲产品所占生产成本的150%”与“年平均每件甲产品所占广告费的50%”之和，则当广告费为1万元时，该企业甲产品的年利润为()A.30.5万元 B.31.5万元C.32.5万元 D.33.5万元解析：选B由题意，产品的生产成本为(30y+4)万元，销售单价为送土4xTOC\o"1-5"\h\zx 30y+4 x 1150%+yx50%，故年销售收入为z= y一x150%+yx50%•尸45y+6+京，x 45xx•••年利润w=z-(30y+4)-x=15y+2-17+后—2(万元).二当广告费为145 1万元，即x=1时，该企业甲产品的年利润为17+1+2—2=31.5(万元)，故选B.若方程Inx+x—4=0在区间(a，b)(a，b€Z，且b—a=1)上有一根，则a的值为()A.1 B.2C.3 D.4解析：选B方程lnx+x—4=0的根为函数f(x)=lnx+x—4的零点.f(x)的定义域为(0,+^),f(x)在定义域上单调递增.因为f(2)=ln2—2<0,f(3)=ln3—1>0,f(2)f(3)<0，所以f(x)在区间(2,3)上有一个零点，则方程lnx+x—4=0在区间(2,3)上有一根，所以a=2,b=3,故选B.(2020届合肥调研)若函数f(x)=2|x—2a|—4x+a在区间(—2,+x)上有且仅有一个零点，则实数a的取值范围是 .解析：令f(x)=2|x—2a|—4|x+a|=0,即方程2|x—2a|=22x+a|,即方程|x—2a|=2|x+a|,即方程(x—2a)2=4(x+a)2，即方程x(x+4a)=0在区间(—2,+)上有且仅有一个实根，当a=0时，方程有唯一实数根x=0,满足条件；当az0时，11必有—4a<—2,解得a>㊁.综上，实数a的取值范围是aa=0或a>2.答案：aa=0或a>1

(2019届唐山模拟)某人计划购买一辆A型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、车检费、停车费等约需 2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，试问，大约使用 年后，用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元.解析：设使用x年后花费在该车上的费用达到14.4万元，依题意可得，14.4(1—0.9x)+2.4x=14.4，化简得x—6X0.9x=0.令f(x)=x—6X0.9x，易得f(x)为单调递增函数，又f(3)=—1.374<0,f⑷二0.0634>0,所以函数f(x)在(3,4)上有一个零点，故大约使用4年后，用在该车上的费用达到14.4万元.答案：4某快递公司在某市的货物转运中心拟引进智能机器人分拣系统， 以提高12分拣效率和降低物流成本，已知购买x台机器人的总成本p(x)=丽x2+x+150万元.若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？现按(1)中的数量购买机器人，需要安排 m人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量_8m(60—m)，1<m<30，q(m)=15 (单位：件)，已知传统人工分拣每人每日的480，m>30平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？1解：(1)由总成本p(x)=600“+x+150万元，可得每台机器人的平均成本yX二噴即x二300时，上:式等号成立.•••若使每台机器人的平均成本最低，应P(U…0=盅x+吟1>2买300台.

(2)引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量m(60—m),1<m<30,r r ,「—“十q(m)=15 当1<m<30时，300台机器人的日平480,m>30,均分拣量为160m(60—m)=—160m2+9600m,：当m=30时，日平均分拣量有最大值144000件；当m>30时，日平均分拣量为480X300=144000(件),：300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件.若传统人工分拣144000件，144000则需要人数为罟0=120(人).•••日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进则需要人数为机器人前的用人数量最多可减少120—机器人前的用人数量最多可减少120—30120X100%=75%.B级素养提升|练能力|TOC\o"1-5"\h\z设m,n€Z,已知函数f(x)=log2(—X|+8)的定义域是[m,n]，值域是[0,3],当m取最小值时，函数g(x)=2|x—1|+m+1的零点个数为( )A.2 B.3C.1 D.0解析：选A因为函数f(x)=log2(—|x|+8)的值域是[0,3],所以1<—X+8<8,即一7<x<7.因为函数f(x)=log2(—|x|+8)的定义域是[m,n],所以m的最小值为一7,此时g(x)=2*1|—6.令g(x)=2|x1|—6=0,解得x=2+log23或x=—log23,即有2个零点，故选A.13.已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)=log1(x+1),x€[0,1),2 则关于x的函数F(x)=f(x)—a(0<a<1)的所有零点1—|x—3|,x€[1,+^),之和为( )A.2a—1 B.2—a—1C.1—2—a D.1—2a解析：选D因为f(x)为R上的奇函数，所以当x<0时，f(x)=—f(—x)=一log](—x+1),x€(—1,0),2 画出函数y=f(x)的图象和直线y=—1+|—x—3|,x€(—g,—1],a(0<a<1)，如图所示.由图可知，函数y=f(x)与直线y=a(0<a<1)共有5个交点，设其横坐标从左一，八"， X1+X2 X4+X5 一到右分别为X1,X2,X3,X4,X5,则一厂=—3,厂=3,而一log1(—X3+1)2=a,即卩log2(1—x3)=a,可得X3=1—2a，所以X1+X2+X3+X4+x5=1—2a，故选D.1已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且当x<0时，f(x)=2X—2x+a,则函数f(x)有 零点.1解析：由题意知，f(0)=1+a=0,所以a=—1•当x<0时，令f(x)=2X—qx—1=0,解得x=—1.又函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(1)=0,所以函数f(x)有3个零点.答案：3|log2(x—1)|,1<x<3,已知函数f(x)=129 若方程f(x)=m有四个不同的2x2—2x+10,x>3,实根X1,X2,X3,X4,且满足X1<X2<X3<X4,则£+ (X3+X4)的取值范围为 .解析：方程f(x)=m有四个不同的实数根X1,X2,X3,X4可转化为函数f(X)的图象与直线y=m有四个不同的交点，且交点的横坐标分别为X1,x2,x3,X4,作出函数f(x)的大致图象如图所示，结合图象得0<m<1，且f(X1)=f(X2)=