平面向量概念及坐标运算 学案-高三数学一轮复习

平面向量的基本概念及线性运算知识归纳1．向量的有关概念（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）．（2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．（3）特殊向量：①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．②单位向量：长度等于1个单位的向量．③平行（共线）向量：方向相同或相反的非零向量．规定：0与任一向量平行．④相等向量：长度相等且方向相同的向量．⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量．2.向量的线性运算运算定义法则（或几何意义）运算律加法三角形法则平行四边形法则（首尾相连）（共起点）①交换律②结合律（多边形法则）减法三角形法则（共起点，减指被减），数乘（1）（2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相反；当时，，方向任意。3．向量共线定理如果（非零向量）与共线，当且仅当存在唯一一个实数，使．推论：①三点，，共线；②三点，，共线，P为平面任意点存在实数，使得，且4．平面向量基本定理及其坐标表示如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且仅有一对实数，，使得．我们把不共线的向量、叫做表示这个平面内所有向量的一组基底．在直角坐标系内，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：a＝xi＋yj，(x，y)叫做向量a的直角坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝(1，0)，j＝(0，1)，0＝(0，0)．5.平面向量的坐标运算（1）已知点，，则，（2）已知，，则，，6.平面向量平行或垂直的坐标表示已知，，则|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))．，7.向量的三角不等式特别地：或当且仅当至少有一个为0时或者两向量共线时，向量不等式的等号成立．题型一：平面向量的基本概念及其理解给出下列命题：①向量是有向线段，因此可以用有向线段表示向量；②单位向量都相等；③若＝2，＝1，则>；④若＝，＝c，则＝；⑤若向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，则A，B，C，D四点能构成平行四边形；⑥若∥，∥，则∥；⑦向量＝的充要条件是＝且∥；⑧与非零向量共线的单位向量为±；⑨若λ＝0(λ为实数)，则λ必为零；⑩若＝，则＝或＝－；⑪向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BA,\s\up6(→))相等；⑫平行向量不一定是共线向量．其中正确的是___．(只填序号)题型二：平面向量的线性运算1．在中，点D在边AB上，．记，则（

）A． B． C． D．2.在中，是边上的中点，则（）A． B． C． D．3.在中，为边上的中线，为的中点，则（）A． B． C． D．4.如图所示，在中，点是的中点，且，与相交于点，设，，则等于（）A． B．C．D．题型三：向量共线定理的应用1.已知向量与不共线，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝＋m(m≠1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝n＋.若A，B，C三点共线，则实数m，n满足的条件为()A．m＋n＝1B．m＋n＝－1C．mn＝1D．mn＝－12.已知，是不共线的非零向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝＋2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3－，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2－3，则四边形ABCD是()A.矩形B.平行四边形C.梯形D.菱形3.已知，是平面内两个不共线的向量，eq\o(AC,\s\up6(→))＝－k，eq\o(CB,\s\up6(→))＝2－，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3－2，若A，B，D三点共线，则k的值为()A.2B.－3C.－2D.34.在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＝0，若eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，则()A.＝3B.＝3C.＝－3D.＝－3题型四：平面向量的坐标运算1．已知向量，则（）A．2 B．3 C．4 D．52.已知向量，，若，则．3.已知向量，，．若，则．题型五：坐标法在平面向量中的应用1.设向量，，若(∈R)，则的最小值为A．B．1C．D．2.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示点在以为圆心的圆弧上运动，若，其中，，则的取值范围A．， B．， C．， D．，3.如图，四边形是边长为1的正方形，点在的延长线上，且，点为内（含边界）的动点，设，则的最大值等．题型六：向量三角不等式的应用1.若向量，b满足＝