年销售额的回归模型预测

#附件2：课程设计任务书学生姓名：专业班级：指导教师：工作单位：题目：初始条件：要求完成的主要任务：（包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）时间安排:指导教师签名：年月日系主任（或责任教师）签名：年月日年销售额的回归模型预测【摘要】本文首先利用题目所给数据做出散点图，分析自变量与因变量之间的线性关系，建立基本的线性回归模型y+Px+£[i]，对所建立的模型直接用MATLAB统计工具箱TOC\o"1-5"\h\zt01tt[2]求解，得到的回归系数估计值及其置信区间（置信水平«-0.05）、检验统计量R2,F,P[3]，将参数估计值代入初始模型得到$=-1.4548+0.17628x。tt但是这个模型没有考虑到题目所给的数据是一个时间序列。实际上，在对时间序列数据作回归分析时，模型的随机误差项8有可能存在相关性。违背模型关于8（对t）tt相互独立的基本假设。所以对原模型进行自相关检验，发现其随机误差存在正自相关，故对原模型作变量变换：y'二y-Py，x'=x-px得到新的模型：y'二卩'+卩'x'+u，ttt-1ttt-1t01tt其中，卩'=卩G-p）,p'=p。0011对新的模型利用MATLAB统计工具箱求解，并对新的模型也作一次自相关检验，即诊断随机误差u是否还存在自相关，经检验认为新的模型中随机误差不存在自相关。因t此经变换所得到的回归模型y'=P'+P'x'+u是适用的。TOC\o"1-5"\h\zt01tt最后，将模型y'=P'+卩'x'+u中的y'和x'还原为原始变量y和x，得到结果为：t01tttttt$=—0.3916+0.6326y+0.1737x—0.1099xtt-1tt-1关键词：时间序列回归模型统计检验D—W检验一、问题重述与分析1.1、问题提出某公司（记为A）想用全行业的销售额作为自变量来预测公司的销售额，表1给出了2006年〜2010年公司销售额和行业销售额的分季度数据（单位:百万元）。表1A公司的公司销售额和行业销售额的分季度数据（单位:百万元）年季t公司销售额y行业销售额x年季t公司销售额y行业销售额x20061120.96127.3200831124.54148.32221.40130.041224.30146.43321.96132.7200911325.00150.24421.52129.421425.64153.120071522.39135.031526.36157.32622.76137.141626.98160.73723.48141.2201011727.52164.24823.66142.821827.78165.620081924.10145.531928.24168.721024.01145.342028.78171.71.2、问题分析表1的数据是以时间序列为序的，称为时间序列。由于公司销售额和行业销售额等经变量均有一定的滞后性，因此，在这样的时间序列数据中，同一变量的顺序观测值之间出现相关现象（称自相关）是很自然的。然而，一旦数据中存在这种自相关序列，如果仍采用普通的回归模型直接处理，将会出现不良后果，其观测也会失去意义，为此，我们必须先来诊断数据是否存在自相关，如果存在，就要考虑自相关关系，建立新的模型。二、模型假设根据题目所给出的数据信息，做出以下简化假设：1、假设只考虑题目所给的信息，不考虑其他因素对公司销售额的直接影响;2、假设其他各种随机因素对公司销售额的影响都归为随机误差；

三•模型的符号说明y:表示公司销售额。tx:表示行业销售额。t0:表示线性回归模型的回归系数。i£：表示各种随机因素对y的影响总和，称为随机误差。tt冷：表示公司销售额的估计值。t四、模型的建立与求解4.1、基本回归模型的建立由于题目中所给数据较少，故将每年每季度的销售额数据作为一个单独研究的对象，将所有数据按年份和季度编号。记该公司的行业销售额为x,公司销售额为y,t=1,2,nG20）。利用MATLAB作出tt因变量y与自变量x的散点图，如图1。tt++++0126130135140145150155160165170175126130135140行业销售额站图1公司销售额y与行业销售额x的散点图TOC\o"1-5"\h\ztt从图1可以看出，随着行业销售额的增加，公司销售额也增大，而且两者有很强的线性关系，因此可以建立线性回归模型y二B+Bx+s（1）t01tt上述线性回归模型中除了行业销售额外，影响的其他因素的作用包含在随机误差8t内，这里假设8（对t）相互独立，且服从均值为零的正态分布，t二1,2,…n.t对于初步估计的回归模型能否客观揭示所研究的经济现象中诸因素之间的关系，是否符合变量之间的客观规律性，引入所影响因素是否有效，变量之间是否存在线性相关关系，模型能否付诸应用，应通过模型检验决定。4.2、统计检验（一）拟合优度检验（R2检验）A、22A拟合优度检验是检验回归方程对样本观测值的拟合程度，即检验所有解释变量与被解释变量之间的相关程度。检验的方法是构造一个可以表征拟合程度的指标，这个指标是通过对总变差（总离差）的分解而得到。A、22A其中S二工残总变差平方和S是各个观察值与样本均值之差的平方和，反映了全部数据之间的总差异；残差平方和S残是总变差平方和中未被回归方程解释的部分，由解释变量x,X,…X中未包含的一切因素对被解释变量y的影响而造成的；回归平方和S是总变12k回差平方和中由回归方程解释的部分。一个拟合得好的回归模型，体现在总体平方和与回归平方和的接近程度，即S总中S残越小越好。于是采用:=1-^残6<R2<I）S总对回归方程的拟合优度进行检验。如果所有样本观测值都位于回归方程上，即:

\2Ay-yii丿此时回归方程完全拟合了样本观测值，R2等于1。如果R2越接近1,则说明回归方程的拟合优度越高。R2说明了在被解释变量y的总变差中，由一组解释变量x,x,…x的变动所引起的12k百分比。由于R2是一个随解释变量个数的增加而递增的增函数，所以为使拟合优度检验指标不仅能反映已被解释的变差与总变差的关系，而且能反映回归模型中所包含的解释变量个数的影响，需要调整R2，记为R2。_2S(n-k-1)R2=1-TS/(n-1)丿总式中n-k-1为残差平方和S的自由度，n-1为总变差平方和S的自由度。故可残总得：R2=1-(-R2)n-1n—k—1由于拟合优度并不是检验回归模型的唯一标准，在实际应用中，为了使模型有较合理的经济解释，可以在某种程度上牺牲拟合优度。即模型合理的经济解释是第一位的。方程显著性检验(F检验)方程显著性检验就是对模型中解释变量与被解释变量之间的线性关系在总体上是否显著成立作出推断。即检验被解释变量y与所有解释变量x,x,…x之间的线性关系12k是否显著，方程显著性检验所应用的方法是数理统计学中假设检验。检验的原假设H与对立假设H1分别为：01H:H:p=p=•-=p=0001k至少有一个P不为零j应用数理统计理论可以证明：S与S相互独立，且当H:p=p=•••=p=0为真回残001k时，S回与S残分别服从自由度为k、"-11的”2分布，故有:F=(回)〜F(k,n-k-1)S/G-k-1丿残即F统计量服从以(,n-k-1)为自由度的F分布。首先根据样本观测值及回归值计算出统计量F，于是在给定的显著性水平«下，若F>F（k,n-k-1）,则拒绝H,判定被解释变量y与所有解释变量x,x,…x之间的回a012k归效果显著，即确实存在线性关系；反之，则不显著。（三）变量显著性检验（t检验）R2检验和F检验都是将所有的解释变量作为一个整体来检验它们与被解释变量y的相关程度以及回归效果，但对于多元回归模型，方程的总体显著性并不意味每个解释变量对被解释变量y的影响都是显著的。如果某个解释变量并不显著，则应该从方程中把它剔除，重新建立更为简单的方程。所以必须对每个解释变量进行显著性检验。等价于对每个解释变量检验假设H:0二0H:0丰00j1j其中j=0,1,2,…k。应用数理统计理论可以证明：当H:0二0为真时，统计量t服从自由度为（-k-1）0jj的t分布，即：t=匚〜t（H一k一1）j=0,1,2,…kjS在给定的显著性水平a下，若|t>t（n-k-1），则拒绝H，说明解释变量x对被1ja/20j解释变量y有显著影响，即x是影响y的主要因素；反之，接受H，说明解释变量x对j0j被解释变量y无显著影响，则应删除该因素。当影响y的主要因素只有一个变量x时，问题变成了一元回归分析，此时t检验和F检验的作用是一样的，因此可以不用再做F检验了。4.3、模型的求解根据表1的数据，对模型（1）直接用MATLAB统计工具箱求解，得到的回归系数估计值及其置信区间（置信水平八0-05）、检验统计量R2,F,P的结果见表2。表2模型（1）的计算结果参数参数估计值置信区间00-1.4548[-1.9047-1.0048]

卩10.17628[0.17320.1793]R2=1F=14888P=0.0000将参数估计值代入模型（1）得到Ay(2)=_1.4548+0.17628x结果分析：表2显示，R2=1指因变量y几乎100%可由模型确定，(2)=_1.4548+0.17628xt检验的临界值，P远小于，可以计算剩余标准差仅为0.081。因而模型（2）从整体上看是可用的。利用MATLAB中rstool命令也可得到相应的结果，在rstool交互式画面中点击左下方的Export,可输出模型的统计结果，得剩余标准差s=0.081。产生的交互式画面见图2。PredictedY124.569

+/-

0.051307X1图2回归分析中的rstool交互式画面X14.4、自相关性诊断与处理方法从表面上看得到的基本模型（2）的拟合度非常之高（R2二1），应该很满意了。但是这个模型没有考虑到我们的数据是一个时间序列。实际上，在对时间序列数据作回归分析时，模型的随机误差项8有可能存在相关性。违背模型关于8（对t）相互独立的tt基本假设。为了对8的自相关性作定量诊断，并在确诊后得到新的结果，我们考虑如下t模型：(3)y=B+Bx+8(3)t01tt8=p8+utt—1t其中p是自相关系数，|p|Wl,u相互独立且服从均值为零的正态分布。模型（3）

中若P二0，则退化为普通的回归模型；若P>0，则随机误差8存在正的自相关；若tP<中若P二0，则退化为普通的回归模型；若P>0，则随机误差8存在正的自相关；若tP<0，则随机误差8存在负的自相关。大多数与经济有关的时间序列数据，在经济规t律作用下，一般随着时间的推移有一种向上或向下变动的趋势，其随机误差表现出正相关性。D—W检验是一种常用的诊断自相关现象的统计方法。首先根据模型（2）得到的残差计算DW统计量如下：工(e-e》tt—1DW=Ye2(4)tt=1其中n是观察值个数，残差e=y—夕为随机误差8的估计值。当n较大时,ttttYeett—1■t=2Ye2tt=1(5)而（5）式右端e2正是自相关系数p的估计值p，t于是(6)DW沁2(1—P、(6)I丿由于—1<p<1，所以0<DW<4，并且，若p在0附近，则DW在2附近，8的t自相关性很弱；若P在土1附近，则DW接近0或4，8的自相关性很强。t要根据DW的具体数值确定8是否存在自相关，应该在给定的检验水平下，依照样t本容量和回归变量数目，查D—W分布表，得到检验的临界d和d，然后由表3中DWLu所在的区间来决定。表3与DW值对应的自相关状态DW值检验结果0<DW<dL否定假设，存在正自相关d<DW<dLU检验无结论（不能确定）d<DW<4—dUU接受假设，不存在自相关

4—d<DW<4—dUL检验无结论（不能确定）4—d<DW<4L否定假设，存在负自相关从表3中可知，DW检验存在无结论区域，当计算的DW统计量落到无结论区域时，决策者就不能作出回归模型是否存在自相关现象的结论。在实际应用中，当DW统计量的值在2左右时，则无须查表检验即可判定回归模型不存在自相关，此时回归模型有效。4.5、加入自相关后的模型根据（4）式可计算出DW二0.7347，对于显著性水平a二0.01，n二20，q二1，查D—W分布表，得到检验的临界值d=0.95和d=1.15，现在DW<d，由表3可以认TOC\o"1-5"\h\zLuL为随机误差存在正自相关，且P的估计值可由（6）式得。作变量变换：(7)(8)y'二y-Py(7)(8)ttt—1x'二x—pxttt—1则模型（3）化为:y'二卩'+P'x'+ut01tt其中，P'=PG—p)，p'=p0011以p的估计值代入（7）式作变换，利用变换后的数据y'，x'估计模型（8）的参数，得tt到的结果见表4,可以得到其剩余标准差为0.067.表4模型（8）的计算结果变换变量y'二y—py和x'二x—pxttt—1ttt—1回归系数估计回归系数置信区间p'0b'=—0.39160[-0.7441-0.0390]p'1b'=0.17371[0.16750.1800]R2二1F二3432.3P二0.0000对模型（8）也作一次自相关检验，即诊断随机误差u是否还存在自相关，从模型t（8）的残差可计算出DW二1.6519，对于显著性水平a二0.01、q二1以及n二19时，检验的临界值为d=0.93，d二1.13，故d<DW<4-d，所以可以认为随机误差不存在TOC\o"1-5"\h\zLuuu自相关。因此经变换（7）所得到的回归模型（8）是适用的。最后，将模型（8）中的y'和x'还原为原始变量y和x，得到结果为：tttt9=-0.3916+0.6326y+0.1737x-0.1099x（9）tt—1tt—14.6、结果分析及预测从机理上看，对于带滞后性的经济规律作用下的时间序列数据，加入自相关的模型（9）更为合理，而且在本例中，衡量与实际数据拟合程序的指标——剩余标准差从模型（2）的0.081减少到0.0671。当用模型（9）对公司的销售额y作预测时，先估计t未来的全行业销售额x，比如，设t=21时，x=174.1，容易由模型（9）得到9=29.1860。ttt五、模型的意义和推广企业预测是企业编制计划、做出正确决策的重要前提。预测的目的是为企业经营规划和决策提供信息。企业为了规划经营活动，必须对各项重要的经济指标如销售、利润、成本、资金等进行科学的预测，以便对未来的经营发展趋势做出正确的分析与判断。回归分析预测法是通过预测对象和影响因素的统计整理和分析，找出