高中：3 习题课一　运动的合成与分解的两类模型

习题课一运动的合成与分解的两类模型分类讲解•举一反三♦典题分类▼分类讲解•举一反三♦类型1小船渡河模型【核心深化】.小船参与的两个分运动(1)船对地的运动(即船在静水中的运动)，它的方向与船头的指向相同.(2)船随水漂流的运动，它的方向与河岸平行..两类最值问题⑴渡河时间最短问题水流速度始终沿河道方向，不能提供指向河对岸的分速度.因此若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可.由图甲可知…此时船渡河的位移工=总，位移方向满足tanO=*sin</ (，水(2)渡河位移最短问题乙乙情况一：。水〈V船最短的位移为河宽d,此时渡河所用时间，=」飞，船头与上游河岸夹角。PmiSin8满足0船cos水，B|Jcos<9=—,如图乙所示.%情况二：。木船丙丙.如图所示，一铁球用细线悬挂于天花板上，静止垂在桌子的边缘，悬线穿过一光盘的中间孔，手推光盘在桌面上平移，光盘带动悬线紧贴着桌子的边缘以速度。沿水平方向匀速运动，当光盘由A位置运动到图中虚线所示的B位置时，悬线与竖直方向的夹角为仇此时铁球（）A.竖直方向速度大小为ocosS.竖直方向速度大小为osin。C.竖直方向速度大小为man。D.相对于地面速度大小为。解析：选B.将光盘的速度在沿绳和垂直于绳的方向分解，如图所示，沿绳方向的分量"=osin。，这就是桌面以上绳子变长的速度，也等于铁球上升的速度,B正确，A、C错误；由题意可知铁球在水平方向上速度与光盘相同，竖直方向速度为osina可得铁球相对于地面速度大小为vyj1+sin2^,D错误.8.如图所示,一条小船位于200m宽的河的正中A点处,从这里向下游1005m处有一危险区，当时水流速度为4m/s,为了使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少是（）Az一8仍，A.-m/s B.-m/sD.4m/sC.2m/sD.4m/s解析：选C.恰使小船避开危险区，小船应沿直线人3到达对岸，如图所示,则有tane=4^=W，所以8=30°.当船头与A8垂直时，小船在静水中的速度最/IUD小.最小速度为oi=U2sin9=4sin3()°m/s=2m/s,故C正确.9.(202()•内蒙古赤峰期末)一条笔直的河流沿东西走向，两岸平行，各处的宽度均为d=8()m,水流的速度均为v水=3m/s,船在静水中的速度恒为v脂=5m/s,则()A.渡河的最短时间为20sB.渡河的最短位移为90mC.保持船头沿南北方向到达对岸，渡河位移最短D.船能够沿南北方向的直线渡到正对岸解析：选D.当。铅方向与河岸垂直时，渡河时间最短，f="=16s,故A错误；当小船合速度的方向与河岸的方向垂直时，渡河位移最短，设此时船头的方向与河岸的夹角为仇cos6>=—=7，船渡河的位移为河宽d=80m,船能够沿南北方向的直线渡到正对岸，故B、C错误，D正确.CBA10.如图所示为一条河流，河水流速为一只船从A点先后两次渡河到对岸，船在静水中行驶的速度为〃.第一次船头向着43方向行驶，渡河时间小船的位移si；第二次船头向着AC方向行驶，渡河时间d船的位移S2.若AB、AC与河岸的垂线的夹角相等，则有()A./|>/2,51<52 B.Zl</2,51>52C.ri=/2, D.ri=/2,s\>s2解析：选D.由于AB、AC与河岸的垂线方向的夹角相等，则船在垂直于河岸方向上的分速度相等，渡河时间/=",所以两次渡河时间相等，船头向着A8方办向行驶时，沿河岸方向的分速度D//=〃cos夕+。，船头向着AC方向行驶时，沿河岸方向行驶的分速度。'//=〃COS夕一。，水平方向上的位移X1>X2,根据平行四边形定则，51>S2»故D正确.二、多项选择题II.（2020•云南昆明期末）如图所示，水平向右沿直线行驶的小车通过细绳和定滑轮将重物以速率。竖直向上匀速提升，在此过程中，不计细绳与滑轮间的摩擦，下列说法正确的是（）A.小车做加速运动B.小车做减速运动C.细绳对小车的拉力逐渐变大D.细绳对小车的拉力大小不变V解析：选BD.将小车的速度分解，如图，由平行四边形定则可知。年=工1则随着小车向右运动，。减小，。率减小，即小车做减速运动，A错误，B正确；因物块匀速上升，可知绳子对物块的拉力不变，即绳子的张力不变，绳子对小车的拉力大小不变，C错误，D正确.12.小河宽80m,河中各点水流速度与各点到较近河岸边的距离关系为。水=日（火=0.1s「），一小船以4m/s速度垂直于河岸渡河，则下列说法中正确的是（）A.小船渡河时的轨迹为直线B.小船渡河时的轨迹为曲线C.小船到达距河对岸20m处，船的渡河速度为4#m/sD.小船到达距河对岸50m处，船的渡河速度为5m/s解析：选BD.小船同时参与了两个分运动：一个是垂直于河岸相对于水的匀速运动，另一个是随水流向下游方向的变速运动，故其实际运动的初速度与加速度一定不共线，A错误，B正确；小船到达距对岸20m时，所在处水流速度。水=2m/s,此时船的渡河速度为。2?+42m/s=2小m/s,C错误；同理，小船到达距河岸对岸50m处即距出发点所在岸30m时水流速度为3m/s,船的渡河速度为5m/s,D正确.13.（202（）•江西南昌高一检测）如图所示，将质量为2根的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为例的小环，小环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为".现将小环从与定滑轮等高的A处由静止释放，当小环沿直杆下滑距离也为d时（图中3处），下列说法正确的是（重力加速度为g）（）A.小环刚释放时轻绳中的张力一定大于2〃%B.小环到达8处时，重物上升的高度为（地一1）4c.小环在8处的速度与重物上升的速度大小之比等于坐D.小环在8处的速度与重物上升的速度大小之比等于也解析：选ABD.小环释放后，其下落速度O增大，绳与竖直杆间的夹角9减小，而ui=vcos0,故增大，由此可知小环刚释放时重物具有向上的加速度，绳中张力一定大于2mg,A正确；小环到达3处时，绳与直杆间的夹角为45°,重物上升的高度〃5=（g一l）d,B正确；如图所示，将小环速度。进行正交分解，。i=ocos45°=p,所以小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于色，C错误，D正确.14.甲、乙两船在同一河流中同时开始渡河，河水流速为。o,船在静水中的速率均为小甲、乙两船船头均与河岸成。角，如图所示，已知甲船恰能垂直到达河正对岸的A点，乙船到达河对岸的B点，A、B之间的距离为乙则下列判断正确的是（）A.乙船先到达对岸B.若仅是河水流速。o增大，则两船的渡河时间都不变C.不论河水流速出如何改变，只要适当改变。角，甲船总能到达正对岸的A点D.若仅是河水流速加增大，则两船到达对岸时，两船之间的距离仍然为L解析：选BD.将小船的运动分解到平行于河岸和垂直于河岸两个方向，由分运动和合运动具有等时性，知甲乙两船到达对岸的时间相等.渡河的时间t=故A错误；若仅是河水流速。o增大，渡河的时间与河水流速无cJ111v/ C/dillv/关，则两船的渡河时间都不变，故B正确；只有甲船速度大于水流速度时，不论水流速伙）如何改变，甲船都可能到达河的正对岸A点，故C错误；若仅是河水流速00增大，则两船到达对岸时间不变，根据速度的分解，船在水平方向的分速度的差值仍不变，则两船之间的距离仍然为L,故D正确.合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河.确定方法如下：如图丙所示，以。水矢量的末端为圆心，以。船的大小为半径画圆弧，当合速度的方向与圆相切时,合速度的方向与河岸的夹角最大(设为。)，此时航程最短.由图可知sin0水最短航程为尸七==%此时船头指向应与上游河岸成夕角，且cos。'=詈.sinav(i］。水【典题例析】浦TT(2020•山东临沂高一检测)小船要横渡一条200m宽的河，水流速度为3m/s,船在静水中的航速是5m/s.(1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，它将在何时、何处到达对岸？(2)要使小船到达河的正对岸，应如何行驶？多长时间能到达对岸？(sin37°=0.6)(3)如果水流速度变为10m/s,要使小船航程最短，应如何航行？［思路点拨］求解小船渡河问题应理清以下问题：(1)船头指向是小船在静水中的速度的方向；(2)小船实际运动的方向是合速度的方向；(3)。水船时，小船不能垂直于河岸渡河.I解析］(1)因为小船垂直于河岸的速度即小船在静水中的行驶速度，且在这一方向上，小船做匀速运动，故渡河时间/="=挈s=40s,小船沿河流方向的位移x=v木/=3义40m=120m,即小船经过40s,在正对岸下游120m处靠岸.要使小船到达河的正对岸，则。豕、。船的合运动。含应垂直于河岸，如图甲所则v合=y/vii—vi=4m/s,经历时间 s=50s.又cose=*=±=0.6,即船头指向与河岸的上游所成角度为53°.如果水流速度变为10m/s,如图乙所示，应使u合的方向垂直于。器，故船头应偏向上游，与河岸成夕角，有cos0f=—=1,解得夕=60°,即船头指向与岸的上游成600角.［答案］（l）40s正对岸下游120m处（2）船头指向与岸的上游成如果水流速度变为10m/s,如图乙所示，应使u合的方向垂直于。器，故船头应偏向上游，与河岸成夕角，有cos0f=—=1,解得夕=60°,即船头指向与岸的上游成600角.［答案］（l）40s正对岸下游120m处（2）船头指向与岸的上游成53°角50s（3）船头指向与岸的上游成60°角研究小船渡河问题的思路渡河时间最短（船头垂直于河岸时）、三模型渡河位移最小（”粕＞力的情况）渡河位移最小（〃v%的情况）建模型两方案正交分解（沿河岸、垂直于河岸）矢量三角形（常用于分析最值）【针对训练】I.已知河水的流速为5,小船在静水中的速度为。2,且。2＞加，下面用小箭头表示小船及船头的指向，则能正确反映小船在最短时间内渡河、最短位移渡河的情景图示依次是（）②0，’下游

③A.①②：X山’下游④B.一，’下游①⑤C.④⑤D.②③解析：选C.小船以最短时间渡河时，因河流宽度一定，就要求小船在垂直于河岸方向上的分速度最大，即小船相对于静水的航行方向也即船头的指向须始终垂直于河岸，则此时小船的实际运动方向必偏向于下游，应选④.当小船以最短的位移渡河时，由于。2＞。1,小船可垂直到达河对岸，此时船头的指向应偏向于河上游，对应于图⑤，故C正确.2.（多选）一条机动船载客渡河，若其在静水中的速度一定，河水的流速也不变，且0加＞。水，则（）A.船垂直到达对岸，渡河最省时B.使船身方向垂直于河岸，渡河最省时C.船沿垂直于河岸的轨迹航行，渡河位移最短D.使船身方向垂直于河岸，渡河位移最短解析：选BC.因河流宽度是一定的，当船沿垂直于河岸方向上的速度最大时，渡河时间最短；当船身方向（即船的静水速度方向，也即船相对于水流的速度方向）垂直于河岸时，垂直于河岸方向上的速度等于船在静水中的速度且最大，渡河时间最短，但船会随水流向下游漂移，合位移大小大于河的宽度，不是最短的渡河位移；由于船在静水中速度大于水流速度，根据平行四边形定则，当船身指向偏向上游合适的角度时，合速度的方向可以与河岸垂直，船可以垂直到达对岸，此时位移最小.但垂直于河岸的速度小于船在静水中的速度，故渡河时间不是最短，可见，B、C正确，A、D错误.类型2“关联”速度【核心深化】.“关联”速度问题：物体斜着拉绳（杆）或绳（杆）斜着拉物体时，两端所连接物体的速度关系问题.2.“关联”速度的分解规律（1）分解依据①物体的实际运动是合运动.②由于绳（杆）不可伸长，所以绳（杆）两端所连物体的速度沿着绳（杆）方向的分速度大小相同.（2）分解方法：将物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和沿绳（杆）的两个分量.⑶常见的速度分解情形MS如图所示，将楔形木块B放在光滑水平面上靠墙边处并用手扶着，然后在木块和墙面之间放入一个小球A,楔形木块的倾角为乱放手让小球和木块同时由静止开始运动，某时刻二者速度分别为内和加，则()VA•VB=1:Iva*UB=sin0:cos0v\:ub=cos0:sin0pa:UB=sin9：tan9［思路点拨］解答本题应注意以下两点：(1)由于一切接触面均光滑，让小球和木块同时由静止开始运动的过程中，将二者的运动按照实际运动效果分解；(2)两者在垂直于斜面方向的速度是相等的.|解析］将DA分解到沿斜面和垂直于斜面两个方向，如图甲所示，则有：V2=PACOS仇将PB分解到沿斜面和垂直于斜面两个方向，如图乙所示，则有S=OBSin仇因为小球和木块总是相互接触的，所以小球的速度0A和木块的速度DB在垂直于接触面的方向上的投影相等，即：oacos9=OBsin仇即iM：OB=sin。：cos3,B正确.甲6»3乙甲6»3乙［答案IB囱圈国国解答“关联”速度的分解问题的两个关键（1）弄清合运动与分运动：物体的实际运动是合运动.（2）绳（杆）两端所连物体的速度沿着绳（杆）方向的分速度大小相等.【针对训练】.（2020•黑龙江牡丹江期末）如图所示，汽车通过滑轮拉重物A,汽车沿水平方向向右匀速运动，滑轮与绳的摩擦不计，则物体的运动情况是（）A.匀速上升 B.加速上升C.先加速后减速 D,减速上升解析：选B.设绳子与水平方向的夹角为0,将小车的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向的两个分量，沿绳子方向的速度等于A的速度，根据平行四边形定则，oa=ucos仇车子在匀速向右的运动过程中，绳子与水平方向的夹角减小，所以A的速度增大，A做加速上升运动，故B正确..（多选）如图所示，一个长直轻杆两端分别固定小球A和小球B,竖直放置,两球质量均为〃?，两球半径忽略不计，杆的长度为乙由于微小的扰动，A球沿竖直滑槽向下运动，B球沿水平滑槽向右运动，当杆与蜕直方向的夹角为。时（图中未标出），关于两球速度内与。b的关系，下列说法正确的是（）A.若。=30°,则A、B两球的速度大小相等B.若9=45°,则A、B两球的速度大小相等yA=UBtan0PA=yBsinG解析：选BC.当杆与竖直方向的夹角为夕时，根据运动的分解可知（如图所示）,沿杆方向两分速度相等，vacos^=VBsin9,即以=0Btan6.当6=45°时，ua=ub.（建议用时：40分钟）一、单项选择题1.小船以一定的速率垂直于河岸向对岸划去，当水流匀速时，它渡河的时间、发生的位移与水速的关系是（）A.水速大时，位移大，但时间不变B.水速大时，位移大，时间也大C.水速小时，位移小，时间也小D.位移、时间大小与水速大小无关解析：选A.将小船的运动分解为沿河岸方向和垂直于河岸方向，水流的运动不影响垂直于河岸方向上的运动，在垂直于河岸方向上，喝,船的静水速不变,所以过河的时间不变.水速的大小影响船沿河岸方向上的位移，x=v时间不变，水速越大，沿河岸方向上的位移越大，根据运动的合成，发生的位移越大，故A正确，B、C、D错误.（2020•黑龙江牡丹江期末）船在静水中的速度为ui,水流的速度为。2,河宽为4,当船头垂直于河岸航行时（）A.实际航程最短B.水速减小时渡河时间变长C.过河时间最短D.水速增大时渡河时间变长解析：选C.如果水流速度为s,船渡河过程被冲到下游的距离为：工=如=/d,实际航程不是最短，A错误；船渡河的时间与水流速度无关，B错误；河宽为d,船垂直于河岸的速度为ui,过河最短时间为：，=’,C正确；船渡河的时间v\与水流速度无关，D错误.（2020•北京四中期中考试）如图所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下,当小车以速度。匀速向右运动时，物体P的速度为（）A.vC A.vC cos0D.ycos20解析：选B.将绳两端所连物体速度分别沿绳的方向和垂直于绳的方向进行分解，根据沿绳方向的分速度相等可得。p=ocosaB正确.水流方向4.小船横渡一条河，