一元二次不等式及其解法2

1．下列不等式的解集是∅的为()A．x2＋2x＋1≤0 \r(x2)≤0C．(eq\f(1,2))x－1＜0 \f(1,x)－3＞eq\f(1,x)答案：D2．若x2－2ax＋2≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－eq\r(2)，eq\r(2)] B．(－eq\r(2)，eq\r(2))C．[－eq\r(2)，eq\r(2)) D．[－eq\r(2)，eq\r(2)]解析：选D.Δ＝(－2a)2－4×1×2≤0，∴－eq\r(2)≤a≤eq\r(2).3．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两个实根，则实数m的取值范围是________．解析：由Δ＝(m－3)2－4m≥0可得．答案：m≤1或m≥94．若函数y＝eq\r(kx2－6kx＋k＋8)的定义域是R，求实数k的取值范围．解：①当k＝0时，kx2－6kx＋k＋8＝8满足条件；②当k＞0时，必有Δ＝(－6k)2－4k(k＋8)≤0，解得0＜k≤1.综上，0≤k≤1.一、选择题1．已知不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集是R，则()A．a＜0，Δ＞0 B．a＜0，Δ＜0C．a＞0，Δ＜0 D．a＞0，Δ＞0答案：B2．不等式eq\f(x2,x＋1)＜0的解集为()A．(－1,0)∪(0，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)C．(－1,0) D．(－∞，－1)答案：D3．不等式2x2＋mx＋n>0的解集是{x|x＞3或x＜－2}，则二次函数y＝2x2＋mx＋n的表达式是()A．y＝2x2＋2x＋12 B．y＝2x2－2x＋12C．y＝2x2＋2x－12 D．y＝2x2－2x－12解析：选D.由题意知－2和3是对应方程的两个根，由根与系数的关系，得－2＋3＝－eq\f(m,2)，－2×3＝eq\f(n,2).∴m＝－2，n＝－12.因此二次函数的表达式是y＝2x2－2x－12，故选D.4．已知集合P＝{0，m}，Q＝{x|2x2－5x＜0，x∈Z}，若P∩Q≠∅，则m等于()A．1 B．2C．1或eq\f(2,5) D．1或2解析：选D.∵Q＝{x|0＜x＜eq\f(5,2)，x∈Z}＝{1,2}，∴m＝1或2.5．如果A＝{x|ax2－ax＋1＜0}＝∅，则实数a的集合为()A．{a|0＜a＜4}B．{a|0≤a＜4}C．{a|0＜a≤4}D．{a|0≤a≤4}解析：选D.当a＝0时，有1＜0，故A＝∅.当a≠0时，若A＝∅，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0,Δ＝a2－4a≤0))⇒0＜a≤4.综上，a∈{a|0≤a≤4}．6．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y＝3000＋20x－(0＜x＜240，x∈N)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是()A．100台 B．120台C．150台 D．180台解析：选＋20x－≤25x⇔x2＋50x－30000≥0，解得x≤－200(舍去)或x≥150.二、填空题7．不等式x2＋mx＋eq\f(m,2)＞0恒成立的条件是________．解析：x2＋mx＋eq\f(m,2)＞0恒成立，等价于Δ＜0，即m2－4×eq\f(m,2)＜0⇔0＜m＜2.答案：0＜m＜28．(2022年高考上海卷)不等式eq\f(2－x,x＋4)＞0的解集是________．解析：不等式eq\f(2－x,x＋4)＞0等价于(x－2)(x＋4)＜0，∴－4＜x＜2.答案：(－4,2)9．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程．若该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和与t之间的关系)式为s＝eq\f(1,2)t2－2t，若累积利润s超过30万元，则销售时间t(月)的取值范围为__________．解析：依题意有eq\f(1,2)t2－2t＞30，解得t＞10或t＜－6(舍去)．答案：t＞10三、解答题10．解关于x的不等式(lgx)2－lgx－2＞0.解：y＝lgx的定义域为{x|x＞0}．又∵(lgx)2－lgx－2＞0可化为(lgx＋1)(lgx－2)＞0，∴lgx＞2或lgx＜－1，解得x＜eq\f(1,10)或x＞100.∴原不等式的解集为{x|0＜x＜eq\f(1,10)或x＞100}．11．已知不等式ax2＋(a－1)x＋a－1＜0对于所有的实数x都成立，求a的取值范围．解：当a＝0时，不等式为－x－1＜0⇔x＞－1不恒成立．当a≠0时，不等式恒成立，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜0，,Δ＜0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜0,a－12－4aa－1＜0))⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜0,3a＋1a－1＞0))⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜0,a＜－\f(1,3)或a＞1))⇔a＜－eq\f(1,3).即a的取值范围是(－∞，－eq\f(1,3))．12．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24000元，为了减少耕地损失，政府决定按耕地价格的t%征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少eq\f(5,2)t万亩，为了既可减少耕地的损失又可保证此项税收一年不少于9000万元，则t应在什么范围内？解：由题意知征收耕地占用税后每年损失耕地为(20－eq\f(5,2)t)万亩．则税收收入