教师资格证-（高中）数学-章节练习题-第一章-专业知识-第一节-数与代数

教师资格证-（高中）数学-章节练习题-第一章专业知识-第一节数与代数[单选题]1.A.30ºB.45ºC.60ºD.75º参考答案：A参考解析：特殊角的三角函数值sin30=1/2如在一个直角三角形中，如果A角对应的直角边等于斜边的一半。那么这个A就等于30度。[单选题]2.共有()。A.3个B.4个C.5个D.6个参考答案：A参考解析：[单选题]3.A.B.C.D.参考答案：C参考解析：[单选题]4.A.a-bB.c-bC.a(1-b)D.c-a参考答案：B参考解析：[单选题]5.设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，a，β分别为A对应于λ1，λ2的特征向量，则a，β()。A.线性相关B.线性无关C.正交D.平行参考答案：B参考解析：λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，α与β是A的分别属于λ1，λ2的特征向量，根据征值的性质：属于不同特征值的特征向量线性无关，所以有α与β是线性无关。选项（C）对应分量成比例，即线性相关，排除（A）（C），由于特征向量不可能是零向量，排除（D）。故选择：B[单选题]6.设4阶矩阵A与B仅有第3行不同，且|A|=1，|B|=2，则|A+B|=()。A.3B.6C.12D.24参考答案：A参考解析：根据行列式展开定理，对矩阵A和B分别展开。记C=A+B，根据题意，知行列式|A|，|B|，[单选题]7.A.A=1B.A≠1C.A=2D.A≠2参考答案：B参考解析：1≠0，所以λ≠1。[单选题]8.已知x的多项式则该多项式的常数项为()。A.-4B.0C.1D.4参考答案：A参考解析：[单选题]9.A.B.C.D.参考答案：D参考解析：[单选题]10.A.充分必要条件B.充分而非必要条件C.必要而非充分条件D.既不充分也非必要条件参考答案：B参考解析：[单选题]11.设A，B，A+B，A-1+B-1均为n阶可逆矩阵，则(A-1+B-1)-1=()。A.A-1+B-1B.A+BC.A(A.B)-1BD.(A+B)-1参考答案：C参考解析：[单选题]12.设4阶行列式D=4，且D的每列元素之和均为2，则A21+A22+A23+A24()。A.1B.2C.3D.4参考答案：B参考解析：[单选题]13.组线性相关的是()。A.a1，a2，a3B.a1，a2，a4C.a1，a3，a4D.a2，a3，a4参考答案：C参考解析：[单选题]14.设a1，a2，a3是三维向量，则对任意常数k，ι，向量组a1+ka3，a2+ιa3线性无关是向量组a1，a2，a3线性无关的()。A.必要非充分条件B.充分非必要条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件参考答案：A参考解析：[单选题]15.A.x=(a，a，-a)，a∈RB.x=(2a，a，-3a)，a∈RC.x=(a，-a，a)，a∈RD.x=(-2a，3a，a)，a∈R参考答案：A参考解析：程组的一个基础解系，x=(a，a，-a)，a∈R，即得所求。[单选题]16.A.B.C.D.参考答案：B参考解析：P1A表示互换矩阵A的第一、二行，矩阵B表示矩阵A先互换第一、二行，然后将互换的[单选题]17.A.t=6时，P的秩必为1B.t=6时，P的秩必为2C.t≠6时，P的秩必为1D.t≠6时，P的秩必为2参考答案：C参考解析：因为P，Q均为三阶非零矩阵且PQ=0，所以r(Q)+r(P)≤3，且P≠0，如果t≠6时，r(Q)=2，P的秩必为1；当t=6时，r(Q)=1，r(P)≤2。[单选题]18.于()。A.1B.-1C.2D.-2参考答案：D参考解析：已知线性方程组是非齐次的，方程组有解，则系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，由此可以求出k。[单选题]19.A.ACB.ABCC.AB-BCD.AC+BC参考答案：B参考解析：两个矩阵相乘要求前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相同。矩阵加减要求矩阵要具有相同的行数和列数。所以矩阵A和C不能相乘，A错；AB为3×3维的矩阵，BC为2×3维的矩阵，二者不能做减法运算，所以C项错；同理D项也错。选项B满足要求。[单选题]20.A.可去间断点B.跳跃间断点C.无穷间断点D.连续点参考答案：A参考解析：[单选题]21.设λ1，λ2是矩阵A的两个不同特征值，a，β分别为A对应于λ1，λ2的特征向量，则a，β()A.线性相关B.线性无关C.正交D.平行参考答案：B参考解析：属于不同特征值的特征向量线性无关。故选B。[单选题]22.设a，b是两个非零向量，则下面说法正确的是()A.若A.b=A.-B.，a⊥bB.若a⊥b，则A.b=A.-B.C若A.b=A.-B.，存在实数λ，使得a=λbD.若存在实数λ，使得a=λb，则A.b=A.-B.参考答案：C参考解析：利用排除法可得选项C是正确的，∵|a+b|=|a|-|b|，则a，b共线，即存在实数λ，使得a=λb。选项A：|a+b|=|a|-|b|时，a，b可为异向的共线向量；选项B：若a⊥b，比如在正方形里，|a+b|=|a|-|b|不成立；选项D：若存在实数λ，使得a=λb，a，b可为同向的共线向量，此时显然|a+b|=|a|-|b|不成立。[单选题]23.设a1=(1，2，3，1)T，a2=(3，4，7，-1)T，a3=(2，6，a，6)T，a4=(0，1，3，a)T，那么a=8是a1，a2，a3，a4线性相关的()A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件参考答案：B参考解析：[单选题]24.A.λ=5，μ=1B.λ=1，μ=5C.λ=-5，μ=1D.λ=-1，μ=5参考答案：A参考解析：且r(A)=2，所以λ+3=8，μ-5=-4，即λ=5，μ=1，故选A。[单选题]25.A.x=(a，a，-a)，a≠0B.x=(2a，a，-3a)，a≠0C.x=(a，-a，a)，a≠0D.x=(-2a，3a，a)，a≠0参考答案：A参考解析：对A=4求相应的线性方程组(λE-A)x=0的一个基础解系，有程组的一个基础解系为(1，1，-1)，则对应特征值4的特征向量为x=(a，a，-a)，a≠0。[单选题]26.A.B.C.(-∞，1)D.参考答案：B参考解析：[单选题]27.若集合Ω={1，2}，则线性方程组Ax=b有无穷多解的充分必要条件为()。A.a∉Ω，d∉ΩB.a∉Ω，d∈ΩC.a∈Ω，d∉ΩD.a∈Ω，d∈Ω参考答案：D参考解析：线性方程组Ax=b有无穷多解的充分必要条件：r(A)=r(A，b)<3。由r(A)=r(A，b<3知，a=1或2，d=1或2，即a∈Ω，d∈Ω。故本题选D。[单选题]28.如果方阵A与对角矩阵相似，则A100=()。A.EB.A.C-ED.100E参考答案：A参考解析：A与对角矩阵相似，则存在一个可逆矩阵P，有A=[单选题]29.设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，α，β分别为A对应于λ1，λ2的特征向量，则α，β()。A.线性相关B.线性无关C.正交D.平行参考答案：B参考解析：属于不同特征值的特征向量线性无关。[单选题]30.已知三维向量空间的一组基为α1=(1，1，0)，α2=(1，0，1)，α3=(0，1，1)，则向量β=(2，0，0)在此基底下的坐标是()。A.(2，0，0)B.(1，1，-1)C.(1，0，-1)D.(0，0，0)参考答案：B参考解析：设β=(2，0，0)在此基底下的坐标是(x1，x2，x3)，[单选题]31.已知方程组有无穷多解，则有()。A.λ=0B.λ=1C.λ=-1D.λ≠1参考答案：B参考解析：因为非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件是其系数矩阵的秩等于其增广矩阵的故本题选B。[单选题]32.设二次型正定，则实数a的取值应满足()。A.a>9B.-3C.3≤a≤9D.a≤-3参考答案：B参考解析：因为二次型定，所以A是正定矩阵，则A的所有顺序主子式应都大于0，即有2>0，可得a的取值范围是-3[单选题]33.()。A.不定二次型B.半正定二次型C.半负定二次型D.正定二次型参考答案：A参考解析：根据二次型的性质，当对称矩阵的顺序主子式都大于0时，为正定二次型；顺序主子式大于等于0时，为半正定二次型；所有奇数阶顺序主子式小于0，所有偶数阶顺序主子式大于0时，为负定二次型；所有奇数阶顺序主子式小于或等于0，所有偶数阶顺序主子式大于或等于0时，为半负定二次型。本题中，[单选题]34.已知R3中的一个基为α1=(1，1，0)T，α2=(1，0，1)T，α3=(0，1，1)T则向量α=(2，0，0)T在基α1，α2，α3，下的坐标是()。A.(-1，1，1)TB.(1，-1，1)TC.(1，1，-1)TD.(1，1，1)T参考答案：C参考解析：设向量α在基α1，α2，α3下的坐标为(x，y，z)T，即α=xα1+yα2+zα3，解得[单选题]35.设三阶方阵A的特征值为1，2，-3，则|A2-3A-E|的值为()。A.135B.153C.-6D.0参考答案：B参考解析：由矩阵特征值的性质可知，如果λ是矩阵A的一个特征值，则λ2是A2的特征值，kλ是kA的特征值，λ-1是A—E的特征值。所以矩阵A2-3A-E的特征值为λ2-3λ-1(λ=1，2，-3)，即为-3，-3，17。因为矩阵的行列式等于矩阵所有特征值的乘积，所以|A2—3A—E|=(-3)×(-3)×17=153。[单选题]36.已知向量组α1，α2，α3，α4线性无关，则下列命题正确的是()。A.α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1线性无关B.α1-α2，α2-α3，α3-α4，α4-α1线性无关C.α1+α2，α2+α3，α3-α4，α4-α1线性无关D.α1+α2，α2-α3，α3-α4，α4-α1线性无关参考答案：D参考解析：[单选题]37.矩阵B满足ABA*=2BA*+E，其中A*为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则|B|=()。A.B.C.D.参考答案：B参考解析：由题意可知，|A|=3，则A*A=AA*=3E。在等式ABA*=2BA*+E两边同时右乘A，[单选题]38.已知线性方程组AX=Kβ1+β2有解，其中则K等于()。A.1B.-1C.2D.-2参考答案：D参考解析：已知线性方程组有解，则其系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩。将AX=Kβ1+β2的增广矩阵化成行阶梯形矩阵，[单选题]39.设f(x)=(x-1)(x-2)…(x-2019)，则方程f′(x)=0有()个实根。A.2017B.2018C.2019D.2020参考答案：B参考解析：由题意得，f(x)的全部零点为x=1，x=2，…，x=2019，由罗尔定理可知，x1∈(1，2)有f'(x1)=0,x2∈(2,3)有f'(x2)=0,…，x2018∈(2018,2019)有f'(x2018)=0,又f'(x)是2018次多项式,所以f'(x)至多有2018个实根,则f'(x)=0的全部实根为x1，x2，...,x2018。故本题选B。[单选题]40.设A是m×n矩阵，非齐次线性方程组Ax=b有解的充分条件是()。A.r(A)=mB.A的行向量组线性相关C.r(A)=nD.A的列向量组线性相关参考答案：A参考解析：非齐次线性方程组Ax=b有解的充要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩。由系数矩阵A是m×n矩阵知，增广矩阵[单选题]41.A.1B.-2C.-1D.1或-2参考答案：D参考解析：因为向量α是A-1的特征向量，所以α也是A的特征向量，则存在一个常数λ，有Aα=[单选题]42.已知2n阶行列式D的某一列元素及其余子式都等于a，则D等于()。A.1B.0C.a2D.-a2参考答案：B参考解析：[单选题]43.设A是秩为n-1的n阶矩阵，α1与α2是方程组Ax=0的两个不同的解向量，则Ax=0的通解必定是()。A.α1+α2B.kα1C.k(α1+α2)D.k(α1-α2)参考答案：D参考解析：通解中必有任意常数，A项错误；齐次方程组Ax=0的基础解系中解向量的个数为n-r(A)，所以齐次方程组Ax=0的基础解系由一个非零向量构成。由题意无法确定α1是不是零向量，所以kα1可能为零向量，排除B。对于α1+α2，当α1=-α2时，α1+α2=0(即α1≠α2并不能保证α1+α2≠0)，排除C；而α1≠α2α1-α2≠O。故本题选D。[单选题]44.A*是A的伴随矩阵，若r(A*)=1，则a=()。A.3B.2C.1D.1或3参考答案：D参考解析：对矩阵A作初等变换，有易见，当a=1或3时，均有r(A)=3。故本题选D。[单选题]45.设α1，α2，α3是三维向量空间R3的一个基，则由基α1，α2，α3到基α1+α2，α2+α3，α3+α1的过渡矩阵为()。A.B.C.D.参考答案：A参考解析：[单选题]46.是正定二次型，则t的取值范围是()。A.(-1，1)B.(-1，0)C.(-，0)D.(-，1)参考答案：C参考解析：[单选题]47.三元一次方程组所代表的三个平面的位置关系为()。A.B.C.D.参考答案：C参考解析：所以三个平面两两相交，围成一个三棱柱。故本题选C。[单选题]48.设有非零向量a，b，c，若a·b=0，a×c=0，则b·c=()。A.0B.-1C.1D.3参考答案：A参考解析：已知a·b=0，a×c=0.所以b与a垂直，c与a共线，又由于a是非零向量，所以b与c垂直，于是b·c=0。故本题选A。[单选题]49.有限小数与无限不循环小数的关系是()。A.对立关系B.从属关系C.交叉关系D.矛盾关系参考答案：A参考解析：有限小数与无限不循环小数的关系是对立关系，因为它们满足下列三个条件：①属于同一个属概念，即小数；②外延之和小于属概念的外延，即存在既不是有限小数又不是无限不循环小数的小数；③外延没有重合的部分，即不存在既是有限小数又是无限不循环小数的小数。[单选题]50.若非齐次线性方程组有无穷多解，则λ=()。A.4B.3C.2D.1参考答案：C参考解析：题中非齐次线性方程组对应的增广矩阵为，对作初等行变换化成阶梯形矩阵得，。显然，若方程组有无穷多解，则有2λ一4=2-λ=0，λ=2。故本题选C。[单选题]51.下列关于有理数系说法错误的是()。A.有理数系具有连续性B.有理数系具有稠密性C.正有理数、0、负有理数统称有理数D.有理数的除法(除数不为0)具有封闭性参考答案：A参考解析：对于任意两个有理数a，b(设a，所以有理数系具有稠密性，B项说法正确；C项是有理数的定义，说法正确；任意两个有理数的商(除数不为0)仍然是有理数，即有理数的除法(除数不为0)具有封闭性，D项说法正确。A项说法错误，因为在有理数系内存在不收敛的柯西数列，例如，取近似到小数点后第n位的近似数组成一个数列，1.4，1.41，1.414，1.4142，…，则这个数列是柯西数列，且每一项都是有理数，但其在有理数系内不存在极限(在实数系内存在极限)：[单选题]52.向量α1=(1，-1，2，4)T，α2=(0，3，1，2)T，α3=(2，1，5，10)T，α4=(1，-1，2.0)T的极大线性无关组为()。A.α1，α2，α4B.α1，α2，α3C.α2，α3，α4D.α1，α2，α3，α4参考答案：A参考解析：对以α1，α2，α3，α4为列向量组的矩阵A进行初等行变换化成阶梯形矩阵：A=。由此可知，α1，α2，α4是α1，α2，α3，α4的一个极大线性无关组。故本题选A。[单选题]53.若直线ι满足：①经过原点；②垂直于直线；③平行于平面π：2x+3y+4z+5=0，则直线ι的方程是()。A.B.C.D.参考答案：A参考解析：由题意可知，向量m=(1，2，3)是直线z’的方向向量；向量n=(2，3，4)是平面π的法向量。因为直线ι与直线ι’垂直，与平面π平行，所以直线ι的方向向量与向量m，n都垂直，于是向量m×就是直线ι的方向向量，再结合直线ι经过原点可得，直线ι的。故本题选A。[单选题]54.点A(4，-3，1)在平面π：x+2y-z-3=0上的投影是()。A.(5，-1，0)B.(5，1，0)C.(-5，1，0)D.(5，-1，1)参考答案：A参考解析：根据平面仃的方程可知，向量(1，2，-1)是平面π的法向量，于是过点A且垂直于平，将直线的参数方程代入平面方程得，(4+t)+2(-3+2t)-(1-t)-3=0，解得t=1。因此，点A(4，-3，1)在平面π上的投影为(4+1，-3+2，1-1)=(5，-1，0)。故本题选A。[单选题]55.若β=(2，1，t)T可由α1=(1，3，1)T，α2=(-1，2，4)T，α3=(-2，1，5)T线性表出，则t=()。A.-2B.-3C.1D.2参考答案：B参考解析：若β可以由向量组线性表出，则线性方程组x1α1+x2α2+x3α3=β有解。对线性方程组x1α1+x2α2+x3α3=β的增广矩阵五作初等行变换化成阶梯形矩阵：，要使方程组有解，则需令t+3=0，即t=-3。故本题选B。[单选题]56.A.合同且相似B.合同但不相似C.不合同但相似D.既不合同也不相似参考答案：B参考解析：分别计算矩阵A和矩阵B的特征值可得，A的特征值为1(二重)，-1；B的特征值为3(二重)，-1。由于A与B的特征值不同，所以A与B不相似，但由A，B的特征值可知，(同阶矩阵)A与B的秩和正、负惯性指数相等，所以A与B合同。故本题选B。[单选题]57.A.1B.2C.3D.4参考答案：A参考解析：故本题选A。[问答题]1.设a1=(1，-1，2，4)，a2=(0，3，1，2)，a3=(3，0，7，14)，a4=(1，-1，2，0)，a5=(2，1，5，6)。(1)证明a1，a2线性无关；(2)把a1，a2扩充成一极大线性无关组。参考答案：无参考解析：[问答题]2.用克拉默法则解方程组：参考答案：无参考解析：[问答题]3.求曲面x2+2y2+3z2=21的切平面，使它平行于平面x+4y+6z=0。参考答案：无参考解析：[问答题]4.求出齐次线性方程组的一个基础解系并用它表示出全部解。参考答案：无参考解析：对方程组的系数矩阵作初等变换，有[问答题]5.无穷多组解时，求出一般解。参考答案：无参考解析：对此线性方程组的系数矩阵A的增广矩阵进行初等变换如下：[问答题]6.参考答案：无参考解析：[问答题]7.设矩阵求矩阵M的逆矩阵M-1。参考答案：无参考解析：下面用两种方法求矩阵M的逆矩阵。[问答题]8.求通过直线且与平面x+y+z-1=0垂直的平面方程。参考答案：无参考解析：[问答题]9.求过点(1，0，4)，且平行于平面3x-4y+z-8=0，又与直线方程。参考答案：无参考解析：(方法一)所求直线记为2，由题意可知，与平面3x-4y+z-8=0平行的平面系方程为3x-4y+z+k=0，又直线ι过点(1，(方法二)设过点(1，0，4)且与平面3x-4y+z-8=0平行的平面为π1，所求直线ι在仃π1内，根据平行平面的关系易得，π1的一般方程为3x-4y+z-7=0。平面π2过点(-1，3，0)和点(1，0，4)，且与向量s=(1，1，2)平行，设π2上任意一点的坐标为(x，y，z)，则向量u=(x+1，y-3，z)和向量v=(2，-3，4)都平行于平面π2，即向量s，u，v共面，即有(s，u，v)=[问答题]10.设ε1，ε2，ε3，ε4为数域P上4维线性空间V的一个基，V的一个线性变换σ在这个基下的矩阵为，求σ的核σ-1(0)与σ的秩。参考答案：无参考解析：σ-1(O)={X|σ(X)=0}，又σ在基ε1，ε2，ε3，ε4下的矩阵为A，所以σ-1(0)为齐次线性方程组AX=0的解[问答题]11.已知向量组(Ⅰ)α1，α2，α3；(Ⅱ)α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)α1，α2，α3，α5，如果它们的秩分别为r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=3，r(Ⅲ)=4，求r(α1，α2，α3，α4+α5)。参考答案：无参考解析：[问答题]12.设三阶矩阵A=(α1，α2，α3)有三个不同的特征值，且α3=α1+2α2。(1)证明：r(A)=2；(2)若β=α1+α2+α3，求方程组Ax=β的通解。参考答案：无参考解析：(1)证明：设矩阵A的特征值为λ1，λ2，λ3(λ1≠λ2≠λ3)，则存在可逆矩阵P使得A=P-1diag(λ1，λ2，λ3)P，所以r(A)=r(diag(λ1，λ2，λ3))，因为λ1≠λ2≠λ3，所以r(diag(λ1，λ2，λ3))≥2，即r(A)≥2，又α3=α1+2α2，也就是α1，α2，α3线性相关，所以r(A)<3。因此r(A)=2。(2)因为r(A)=2，所以齐次线性方程组Ax=0的基础解系中只有一个非零解向量，由于α1+2α2-α3=0，[问答题]13.设3阶实对称矩阵A的特征值为λ1=1，λ2=2，λ3=-2，α1=(1，-1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量。记B=A5-4A3+E，其中E为3阶单位矩阵，求B的全部特征值与特徊向量。参考答案：无参考解析：B的特征向量。B的特征值可以由A的特征值以及B与A的关系得到，所以B的全部特征值为-2，1，1。由前述可知，α1是矩阵B的属于特征值-2的特征向量，而A为实对称矩阵，于是根据B与A的关系可以知道B也是实对称矩阵，而实对称矩阵属于不同的特征值的特征向量正交，故可设B的属于1的特征向量为(x1，x2，x3)T，所以有方程x1-x2+x3=0，求得B的属于1的特征向量为β2=(-1，0，1)T，β3=(1，1，0)T。因而，矩阵B属于特征值-2的特征向量是k1(1，-1，1)T，其中k1是不为零的任意常数。矩阵B属于特征值1的特征向量是k2(-1，0，1)T+k3(1，1，0)T，其中k2，k3是不为零的任意常数。[问答题]14.讨论a取何值时，下述线性方程组有唯一解?有无穷多解?无解?参考答案：无参考解析：当(2+a)(1-a)=0且1-a≠0，即a=-2时，线性方程组对应的系数矩阵的秩r(A)≠r()，此时线性方程组无解：当(2+a)(1-a)=0且1-a=0，即a=1时，r(A)=r()<3，此时线性方程组有无穷多解；当(2+a)(1-a)≠0，即n≠1且a≠-2时，r(A)=r()=3，此时线性方程组有唯一解。[问答题]15.求过直线且平行于2轴的平面方程。参考答案：无参考解析：过直线z的平面束方程为λ(2x-4y+z-1)+μ(x+3y+5z)=0，整理得，(2λ+μ)x+(-4λ+3μ)y+(λ+5μ)z-λ=0(λ，μ不全为0)。因为所求平面与礴由平行，所以于是λ=-5μ≠0，代入平面束方程化简得，所求平面方程为9x-23y-5=0。[问答题]16.求到平面4x-2y-4z-5=0的距离等于2的点的轨迹方程。参考答案：无参考解析：[问答题]17.设α1，α2，α3线性无关，证明α1+α2，α2+α3，α1+α3线性无关。参考答案：无参考解析：[问答题]18.求过点(1，0，4)，且平行于平面3x-4y+z-8=0，又与直线x+1=y-3=相交的直线的方程。参考答案：无参考解析：(方法一)设所求直线为ι，由题意可知，与平面3x-4y+z-8=0平行的平面束方程为3x-4y+z+k=0，又直线ι(方法二)设过点(1，0，4)且与平面3x-4y+z-8=0平行的平面为π1，所求直线ι在π1内，根据平行平面的关系易得，π1的一般方程为3x-4y+z-7=0。直线。过点(-1，3，0)，且一个方向向量为s=(1，1，2)，又平面π1的一个法向量为n=(3，-4，1)，因为sn≠0，所以直线与π1相交，所以直线ι与直线所确定的平面π2与π1相交，相交直线即为ι。平面π2过点(-1，3，0)和点(1，0，4)，且与向量s=(1，1，2)平行，设π2上任意一点的坐标为(x，y，z)，则向量u=(x+1，y-3，z)和向量v=(2，-3，4)都平行于平面π2，即向量s，u，v共面，即有(s，u，v)=[问答题]19.参考答案：无参考解析：[问答题]20.参考答案：无参考解析：因为特征多项式为[问答题]21.参考答案：无参考解析：[问答题]22.(1)求矩阵A的全部特征值和特征向量；(3分)(2)A是否相似于对角阵，若是，写出与其相似的对角阵，并求一可逆矩阵T，使T-1AT为对角阵；(4分)参考答案：无参考解析：(1)由矩阵A的特征多项式[问答题]23.(1)试求a的值；(3分)(2)求正交矩阵Q，使QTAQ为对角矩阵。(7分)参考答案：无参考解析：(1)对线性方程组AX=β的增广矩阵作初等行变换，有[问答题]24.(1)计算行列式|A|；(2)当实数a为何值时，方程组Ax=b有无穷多解，并求其通解。参考答案：无参考解析：(1)(2)对线性方程组的增广矩阵作初等行变换可得要使原线性方程组有无穷多解，则有r(A，b)=r(A)<4，所以有1-a4=0且-a-a2=0，即a=-1。可知导出组的基础解系为(1，1，1，1)T，非齐次线性方程组的特解为(0，-1，0，0)T，故其通解为(0，-1，0，0)T+k(1，1，1，1)T，其中k为任意常数。[问答题]25.设当a，b为何值时，存在矩阵C使得AC-CA=B，并求所有矩阵C。参考答案：无参考解析：由题意可知矩阵C为2×2阶矩阵，故可设求