第六章特征值与特征向量

第四节实对称矩阵的对角化定理5 实对称矩阵的特征值为实数.证明设复数l为对称矩阵A的特征值,复向量x为对应的特征向量,Ax

=

lx

,

x

„

0.即则A

x

=

A

x

=

(Ax)=

(lx)=

l

x.一、实对称矩阵的性质用l

表示l的共轭复数,x表示x的共轭复向量,于是有xT

Ax

=

xT

(Ax

)=

xT

lx

=

l

xT

x,及

xT

Ax

=

xT

AT

x

=

(Ax)T

x

=

(l

x)T

x=

lxT

x.两式相减，得l

-

l

)xT

x

=

0.但因为x

„0,2

„

0,

l

-

l

=

0,即l

=l,由此可得l是实数.

nni

=1

i

=1i

i

ixx

x

=x所以

T

x

=定理5的意义是实系数方程组,由A

-

li

E

=

0知必有实的基础解系,从而对应的特征向量可以取实向量.由于对称矩阵A的特征值li

为实数,所以齐次线性方程组(

A

-

li

E

)

x

=

0定理6

设l1,

l2

是实对称矩阵A的两个特征值

p1,p2是对应的特征向量,

若l1

„

l2

,则p1与p2正交.证明

l1

p1

=

Ap1

,

l2

p2

=

Ap2

,

l1

„

l2

,

A对称,A

=AT

,(

)

(

)TTT11

1=

Ap\

l1

p1

=

l

pA,11=

pA=

pTTT于是

(

)2

21211

1

2l

pTTl

p

p

=

p

T

Ap

=

p2p

,12pT=

l(

)1

2

1

2p

=

0.l

-

l

pT1

2=0.

即p1与p2正交.1

2

l

„

l

,

\

p

T

p定理8

设A为n阶对称矩阵,

则必有正交矩阵P,

使P-1

AP

=

L,

其中L

是以A的

n

个特征值为对角元素的对角矩阵.证明定理7

设A为n阶实对称矩阵,

l

是A的特征方程的r重根,

则矩阵

A

-

lE

的秩

R(

A

-

lE)

=

n

-

r,

从而对应特征值l

恰有r

个线性无关的特征向量.它们的重数依次为r1,

r2

,

,

rs

(r1

+

r2

+

+

rs

=

n).根据定理5（对称矩阵的特征值为实数）和定理7(

如上)可得：设A

的互不相等的特征值为l1

,l2

,

,ls

,对应特征值li

(i

=1,2,

,s),恰有r

i

个线性无关的实特征向量,把它们正交化并单位化,即得ri

个单位正交的特征向量.由r1

+r2

+

+rs

=n知,这样的特征向量共可得n个.由定理2知对应于不同特征值的特征向量正交，故这n

个单位特征向量两两正交.以它们为列向量构成正交矩阵P

，则P

-1

AP

=

P

-1

PL

=

L其中对角矩阵L的对角元素含r1

个l1

,

,rs

个ls

,恰是A的n个特征值.根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化 的方法求A的特征值;由(A

-li

E

)x

=0,求出A的特征向量;将特征向量正交化;3.将特征向量单位化.4.2.1.2

-l

-

2

0A

-lE

=

-

2

1-l0

-

2

-l-

2

=

4-l)l

-1)l

+2)=

0得

l1

=

4,

l2

=

1,

l3

=

-2.0

0

(1)

A

=

-

2

3

0

1

2

-

2

0

4

0

0

1

3-

2

1

-

2

,

(2)

A

=

0例12

对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵P

，使

P

-1

AP为对角阵.

解

(1)第一步

求A

的特征值第二步

由(A

-

li

E

)x

=

0,求出A的特征向量对l1

=4,由A

-4E

)x

=0,得

2

x2

+

4

x3

=

02

x1

+

2

x2

=

01

2

3

2

x

+

3

x

+

2

x

=

0解之得基础解系1

-

1

-

2

x

=

2

.对

l2

=

1,由

A

-

E

)x

=

0,得

2

x2

+

x3

=

0

-

x1

+

2

x2

=

01

3

2

x

+

2

x

=

0解之得基础解系2

2

-

2

x

=

1

.对

l3

=

-2,由

A

+

2E

)x

=

0,得

2

31

2

32

x

-

2

x

=

0

2

x

-

3

x

+

2

x-

4

x1

+

2

x2

=

03

2

1

=

0

解之得基础解系x

=

2

.第三步 将特征向量正交化由于x1

,x2

,x3是属于A的3个不同特征值l1

,l2,l3的特征向量,故它们必两两正交.第四步 将特征向量单位化,

i

=

1,2,3.iii令

h

=xx1

-

1

3

-

2

3

2

2

3

-

2

3

得

h

=

2

3

,

h

=

1

3

,

1

3

3

2

3

h

=

2

3

.

2

1

2

3

3

-

2

2 1

作

P

=

(h

,

h

,

h

)=

1

2

1

2

,

-

1

-

2

0

.

0

-

2

4

0

0

P

-1

AP

=

0

10则

3

0

4

0

0

(2)

A

=

0

3 1

1

4

-

l

0

00 3

-

l

10

1 3

-

lA

-

lE

==

(2

-

l

)(4

-

l

)2

,l1

=

2,

l2

=

l3

=

4.得特征值对l1

=2,由A

-2E

)x

=0,得基础解系

-

1

0

x1

=

1

对

l2

=

l3

=

4,由

A

-

4E

)x

=

0,得基础解系

1

0

0

1

x3

=

1

.

x2

=

0

,x2与x3恰好正交,所以x1

,x2

,x3两两正交.(i

=1,2,3)得iii再将x1

,x2

,x3单位化,令h

=xx02

1

-

1

h

=

1

2

,2

0

1

h

=

0

,03

1 2

h

=

1 2

.于是得正交阵

2

2

0

1

2

-

1

2

0

10

1

0

1

2

3

P

=

(h

,h

,h

)=

14

0

.

0

2

0

0

P

-1

AP

=

0

40则例13

设n阶实对称矩阵A满足A2

=

A,

且A的秩为r,试求行列式det(2E-A)的值.解

由A2

=

A可得A的特征值为1或0,

又A是实对称阵,且秩为r,故存在可逆阵P,

使得其中E

r

是r阶单位阵.从而

det(2E

-

A)

=

det(2P

P

-1

-

PL

P

-1)-1Pr0

=

L

,

0

0

EAP

=

Er

2

En

-r