数学微专题27之21-二轮复习专题 求圆锥曲线的离心率

求圆锥曲线的离心率一、基础梳理：除了利用定义求离心率以外，通常情况下，求离心率的基本方法是：在特殊图形中寻找等量关系，建立关于与的齐次等式。（1）正三角形：高等于边长的倍；（2）直角三角形：勾股定理；（3）等腰三角形（含等腰直角三角形）：两腰相等；（4）正方形：两对角线长相等（实质上是等腰直角三角形的两腰相等）或对角线长等于边长的倍。（5）若出现两条焦半径的比，则采用“赋值法”。（6）若出现直角三角形斜边上的高，则利用等积法。（7）若出现比例关系或相似三角形，则利用“坐标比”或“相似比”。注意：如果找不到特殊图形，一般都是把曲线上的动点坐标用表示出来，然后代入曲线方程建立等式。二、题型分解：（1）正三角形：高等于边长的倍。例1.设和为双曲线()的两个焦点，若，是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为解析：，即，，，所以.（2）直角三角形：勾股定理。例2.已知点分别是椭圆的左焦点、右顶点，满足，则椭圆的离心率等于（）解析：，，。因为，即，所以，，，解得.说明：本题还可以用“等积法”，即求解，也可以用“射影定理”求解。（3）等腰三角形（含等腰直角三角形）：两腰相等。例3.已知点分别是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点，若是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（）解析：因为是等腰直角三角形，所以，，，解得。（4）正方形：两对角线长相等（实质上是等腰直角三角形的两腰相等）或对角线长等于边长的倍。例4.椭圆的两个焦点，，及短轴的两个端点，构成一个正方形，则椭圆的离心率为。解析：，.例5.椭圆的焦距为，以原点为圆心，为半径作圆，过点作圆的两切线互相垂直，则椭圆的离心率等于。解析：四边形是正方形，，.（5）若出现两条焦半径的比，则采用“赋值法”。例6.已知是双曲线的左，右焦点，点在上，与轴垂直，且,则E的离心率为（）（A）（B）（C）（D）解析：在直角中，由于，因此，不妨设，则，。所以。（6）若出现直角三角形斜边上的高，则利用“等积法”。例7.直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的EQ\F(1,4)，则该椭圆的离心率为（）（A）EQ\F(1,3)（B）EQ\F(1,2)（C）EQ\F(2,3)（D）EQ\F(3,4)解析：，，所以，解得.（7）若出现比例关系或相似三角形，则利用“坐标比”或“相似比”。例8.如图，椭圆的中心在原点，焦点在轴上，是椭圆的顶点，是椭圆上的一点，且，，则椭圆的离心率为。解析：因为，所以与相似，则，，，.例9.已知为坐标原点，是椭圆：的左焦点，分别为的左，右顶点.为上一点，且轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点.若直线经过的中点，则的离心率为（）（A） （B） （C） （D）解析：设直线的方程为，，设直线与轴的交点为，由可得：，。由题意可知，点是的中点，所以，解得。（8）已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率。直接利用：例10.若双曲线的中心在原点，渐近线方程为，则双曲线的离心率为_____.解析：由双曲线的渐近线方程为，可知或，所以或。（9）已知椭圆的焦点三角形的两个角，求椭圆的离心率。利用公式：.例11.点是椭圆，，椭圆的离心率为。解析：.三、对点精炼：1.已知点分别是椭圆的左焦点、右顶点，点在椭圆上，且轴，直线交轴于点，若，则椭圆的离心率为（）答案：选2.中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点，则它的离心率是（）答案：选3.设双曲线()的一个焦点为，虚轴的一个端点为，如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）答案：选4.设双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于（）答案：选5．从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，是椭圆与轴正半轴的交点，是椭圆与轴正半轴的交点，且(是坐标原点)，则该椭圆的离心率是()A.eq\f(\r(2),4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(\r(3),2)答案：选6．过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为椭圆的右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,3)答案：选7.已知则当取得最小值时，椭圆的的离心率为答案：8.已知点分别是椭圆的两个焦点，点是椭圆上的一点，且，，则这个椭圆的离心率是答案：9.椭圆的四个顶点为A、B、C、D，若四边形ABCD的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是。答案：10.已知是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点，若是正三角形，则这个椭圆的离心率是答案：11.点是椭圆椭圆的离心率为。答案：12.设、是双曲线的左右焦点，若双曲线上存在点，使，且，则双曲线的离心率为____________.答案：13.过双曲线()的一个焦点作圆的两条切线，切点分别为、，若（是坐标原点），则双曲线的离心率为__________.答案：14.已知双曲线．矩形的四个顶点在上，的中点为的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______．答案：微专题全套27讲见：数学微专题27之1-高考热点之证明数列不等式数学微专题27之2-高考数学微专题立体几何中关于折叠的所有问题数学微专题27之3-关于三角函数最大值问题数学微专题27之4-函数放缩公式集锦数学微专题27之5-函数视角下数列的单调性与最值数学微专题27之6-衡水中学内部数学错题集数学微专题27之7-极化恒等式在向量问题中的应用数学微专题27之8-解析策略-解析几何中的数与形数学微专题27之9-精准培优专练圆锥曲线离心率数学微专题27之10-解析几何中斜率之积为定值的问题探究数学微专题27之11-立体几何求角的三角函数值（非空间向量）数学微专题27之12-平面解析几何：易错点与二级结论数学微专题27之13-求数列通项公式的11种方法数学微专题27之14-三次函数的图像与性质数学微专题27之15-数列求和的8种常用方法(最全)数学微专题27之16-数学手册数学微专题27之17-双变量的“任意性”与“存在性”五种题型的解题方法数学微专题27之18-同构思想在指对型函数中的应用数学微专题27之19-外接球的几种求法数学微专题27之20-