新课改地区高考数学（人教B版）一轮复习攻略核心素养测评十四利用导数研究函数的极值最值

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。核心素养测评十四利用导数研究函数的极值、最值(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.设函数f(x)=2x+lnx则A.x=12为f(x)B.x=12为f(x)C.x=2为f(x)的极大值点D.x=2为f(x)的极小值点【解析】′(x)=2x2+1x=x得x>2,所以f(x)的增区间为2,所以f(x)只有极小值,极小值点为x=2.2.已知函数f(x)是R上的可导函数,f(x)的导函数f′(x)的图象如图,则下列结论正确的是 ()A.a,c分别是极大值点和极小值点B.b,c分别是极大值点和极小值点C.f(x)在区间(a,c)上是增函数D.f(x)在区间(b,c)上是减函数【解析】选C.由极值点的定义可知,a是极小值点,无极大值点;由导函数的图象可知,函数f(x)在区间(a,+∞)上是增函数.3.已知x=1e是函数f(x)=x(lnax+1)的极值点,则实数a的值为A.1e2 B.【解析】选B.因为函数f(x)=x(lnax+1)有极值点,所以f′(x)=(lnax+1)+1=2+lnax;因为x=1e是函数f(x)=x(lnax+1)的极值点,所以f′1e=2+lna所以lna1e=2;解得:a=14.(2020·湘潭模拟)某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元,每年最大规模的种植是8万斤,每种植一斤藕,成本增加元,销售额函数是f(x)=18x3+916ax2+12x,x是莲藕种植量,单位:万斤;销售额的单位:万元,a是常数,若种植2万斤,利润是万元,则要使利润最大万斤 万斤 万斤 万斤【解析】选B.设销售利润为g(x),得g(x)=18x3+916ax2+12x112x=18x3+916ax21,当x=2时,g(2)=18×23所以g(x)=18x3+98xg′(x)=38x2+94x=所以函数g(x)在(0,6)上单调递增,在(6,8)上单调递减.所以当x=6时,函数g(x)取得极大值即最大值.5.(多选)(2020·烟台模拟)已知函数fx=x2+xA.函数fx存在两个不同的零点B.函数fx既存在极大值又存在极小值C.当e<k<0时,方程fx=k有且只有两个实根D.若x∈t,+∞时,fxmax=5e【解析】x=0⇒x2+x1=0,解得x=-1±′x=x2-x-2ex=x故-∞,-1,2,+所以f-1是函数的极小值,f2→+∞时,y→0,根据B可知,函数的最小值是f-1=e,再根据单调性可知,当e<k<0时,方程fx对于D.由图象可知,t的最大值是2,所以不正确.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2019·濮阳模拟)函数f(x)=ex2x的最小值为________.

【解析】f′(x)=ex2,令f′(x)=ex2=0,解得x=ln2.可得:函数f(x)在(∞,ln2)上单调递减,在(ln2,+∞)上单调递增.所以x=ln2时,函数f(x)取得极小值也是最小值,f(ln2)=22ln2.答案:22ln27.函数f(x)=x2-x-1ex(其…是自然对数的底数)的极值点是【解析】由已知得f′(x)=x2-x-1+2x-1e因为ex>0,令f′(x)=0,可得x=2或x=1,当x<2时f′(x)>0,即函数f(x)在(∞,2)上单调递增;当2<x<1时,f′(x)<0,即函数f(x)在区间(2,1)上单调递减;当x>1时,f′(x)>0,即函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增.故f(x)的极值点为2或1,且极大值为f(2)=5e答案:1或258.已知函数f(x)=12x-x3,x≤0,-2x,x>0,当【解析】当x≤0时,f′(x)=3(2+x)(2x),所以当x<2时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;当2<x≤0时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,所以函数f(x)在x=2处取最小值f(2)=16.画出函数的图象,结合函数的图象得2≤m≤8时,函数f(x)总能取到最小值16,故m的取值范围是[2,8].答案:[2,8]三、解答题(每小题10分,共20分)9.若函数y=f(x)在x=x0处取得极大值或极小值,则称x0为函数y=f(x)的极值点.已知a,b是实数,1和1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点.(1)求a,b的值.(2)设函数g(x)的导数g′(x)=f(x)+2,求g(x)的极值点.【解析】(1)由题设知f′(x)=3x2+2ax+b,且f′(1)=32a+b=0,f′(1)=3+2a+b=0,解得a=0,b=3.(2)由(1)知f(x)=x33x,则g′(x)=f(x)+2=(x1)2(x+2),所以g′(x)=0的根为x1=x2=1,x3=2,即函数g(x)的极值点只可能是1或2.当x<2时,g′(x)<0,当2<x<1时,g′(x)>0,当x>1时,g′(x)>0,所以2是g(x)的极值点,1不是g(x)的极值点.10.已知函数f(x)=ax+lnx,其中a为常数. (1)当a=1时,求f(x)的最大值.(2)若f(x)在区间(0,e]上的最大值为3,求a的值.【解析】(1)易知f(x)的定义域为(0,+∞),当a=1时,f(x)=x+lnx,f′(x)=1+1x=1-x当0<x<1时,f′(x)>0;当x>1时,f′(x)<0.所以f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数.所以f(x)max=f(1)=1.所以当a=1时,函数f(x)在(0,+∞)上的最大值为1.(2)f′(x)=a+1x,x∈0,e,1①若a≥1e,则f′(x)≥0,从而f(x)在0,e上单调递增,所以f(x)max②若a<1e,令f′(x)>0得a+1x>0,结合x∈0,令f′(x)<0得a+1x<0,结合x∈0,e,解得1a<x≤e.从而f(x)在所以f(x)max=f-1a=1+ln令1+ln-1a=3,得ln所以a=e2,因为e2<1e,所以a=e2为所求,故实数a的值为e2(15分钟35分)1.(5分)(多选)下列函数中,存在极值点的是 ()A.y=x1x B.y=C.y=2x3x D.y=xlnx【解析】选BD.由题意,函数y=x1x,则y′=1+1x2>0,所以函数y=x1x在(∞,0),(0,+∞)内单调递增,没有极值点.函数y=2x=2x,x≥0,2-x,x<0,根据指数函数的图象与性质可得,当x<0时,函数y=2x单调递减,当x≥0时,函数y=2x单调递增,所以函数y=2x在x=0处取得极小值;函数y=2x3x,则y′=6x21<0,所以函数y=2x3x在R上单调递减,没有极值点;函数y=xlnx,则y′=lnx+1,x>0,当x∈2.(5分)用长为30m的钢条围成一个长方体形状的框架(即12条棱长总和为30m),要求长方体的长与宽之比为3∶2,则该长方体最大体积是()m3 m3 m3 m3【解析】选B.设该长方体的宽是xm,由题意知,其长是3x2m,高是30-10x4=15=154x3+454x2,V′(x)=454x2由V′(x)=0,得到x=2(x=0舍去),且当0<x<2时,V′(x)>0;当2<x<3时,V′(x)<0,即体积函数V(x)在x=2处取得极大值V(2)=15,也是函数V(x)在定义域上的最大值.所以该长方体体积的最大值是15m3.【变式备选】用边长为120cm的正方形铁皮做一个无盖水箱,先在四周分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接成水箱,则水箱的最大容积为 ()000cm3 000cm3000cm3 000cm3【解析】选B.设水箱底长为xcm,则高为120-由120-设水箱的容积为ycm3,则有y=12x3+60x2求导数,有y′=32x2令y′=0,解得x=80(x=0舍去).当x∈(0,80)时,y′>0;当x∈(80,120)时,y′<0.因此,x=80是函数y=12x3+60x23.(5分)(2020·昆明模拟)已知函数f(x)=ax2+bx+clnx(a>0)在x=1和x=2处取得极值,且极大值为52,则函数f(x)在区间(0,4]上的最大值为 524 24【解析】f′(x)=2ax+b+cx=2因为f(x)在x=1和x=2处取得极值,所以f′(1)=2a+b+c=0①,f′(2)=4a+b+c2=0②因为f(x)极大值为52所以由函数性质知当x=1时,函数取得极大值为52则f(1)=a+b+cln1=a+b=52③由①②③得a=12即f(x)=12x2f′(x)=x3+2x=x2-由f′(x)>0得2<x≤4或0<x<1,此时为增函数,由f′(x)<0得1<x<2,此时f(x)为减函数,则当x=1时,f(x)取得极大值,极大值为52又f(4)=812+2ln4=4ln24>52即函数在区间(0,4]上的最大值为4ln24.4.(10分)(2019·成都模拟)已知函数f(x)=alnxx2+a-2x(1)当曲线f(x)在x=3时的切线与直线y=4x+1平行,求曲线f(x)在1,f(2)求函数f(x)的极值,并求当f(x)有极大值且极大值为正数时,实数a的取值范围.【解析】(1)f′(x)=ax由题意得f′(3)=a32×当x=1时,f(1)=12+3-2×132f′(1)=312×故曲线f(x)在1,f(1)(2)f′(x)=ax2x+a2=-①当a≤0时,f′(x)≤0,所以f(x)在0,②当a>0时,由f′(x)=0得x=a2随x的变化,f′(x)、f(x)的变化情况如下:x0aaf′(x)+0f(x)↗极大值↘故f(x)有极大值,无极小值,极大值为fa2=alna2a22+a-2×aa>2e,所以当f(x)有极大值且极大值为正数时,实数a的取值范围是2e,5.(10分)(2020·济宁模拟)已知函数f(x)=lnxxex+ax(a∈R). (1)若函数f(x)在[1,+∞)上单调递减,求实数a的取值范围.(2)若a=1,求f(x)的最大值.【解题指南】(1)由题意分离参数,将原问题转化为函数求最值的问题,然后利用导函数即可确定实数a的取值范围.(2)结合函数的解析式求导函数,将其分解因式,利用导函数研究函数的单调性,最后利用函数的单调性结合函数的解析式即可确定函数的最大值.【解析】(1)由题意知,f′(x)=1x(ex+xex)+a=1x(x+1)ex+a≤0在[1,+所以a≤(x+1)ex1x在[1,+∞令g(x)=1x+(x+1)ex则g′(x)=(x+2)ex+1x所以g(x)在[1,+∞)上单调递增,所以g(x)min=g(1)=2e1,所以a≤2e1.(2)当a=1时,f(x)=lnxxex+x(x>0),则f′(x)=1x(x+1)ex+1=(x+1)1令m(x)=1xex,则m′(x)=1x2所以m(x)在(0,+∞)上单调递减.由于m12所以存在x0>0满足m(x0)=0,即ex0=当x∈(0,x0),m(x)>0,f′(x)>0;当x∈(x0,+∞)时,m(x)<0,f′(x)<0.所以f(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,+∞)上单调递减.所以f(x)max=f(x0)=lnx0x0ex0+x因为ex0=1x0,所以x所以f(x0)=x01+x0=1,所以f(x)max=1.(2019·新乡模拟)已知函数f(x)=12x2(a+1)x+aln(1)当a=4时,求f(x)的单调区间.(2)已知a∈(1,2],b∈R,函数g(x)=x3+bx2(2b+4)x+lnx,若f(x)的极小值点与g(x)的极小值点相等,证明:g(x)的极大值不大于54【解析】(1)当a=4时,f(x)=12x2+3x4lnx,定义域为(0,+∞f′(x)=x+34x=x2+3当x>1时,f′(x)>0,f(x)单调递增,则f(x)的单调递增区